资源描述
,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,3,课时 等比数列,1,等比数列的定义,一般地，如果一个数列从 起，每一项与它的 的比等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫等比数列的 ，公比通常用字母,(q0),表示,基础知识梳理,第,2,项,前一项,同一个,公比,q,2,等比数列的通项公式,设等比数列,an,的首项为,a1,，公比为,q,，则它的通项,an,.,基础知识梳理,a1qn,1,3,等比中项,如果三个数,a,、,G,、,b,组成 ，则,G2,.,基础知识梳理,等比数列,ab,b2,ac,是,a,，,b,，,c,成等比数列的什么条件？,【,思考,提示,】,b2,ac,是,a,，,b,，,c,成等比数列的必要不充分条件，当,b,0,，,a,，,c,至少有一个为零时，,b2,ac,成立，但,a,，,b,，,c,不成等比数列，反之，若,a,，,b,，,c,成等比数列，则必有,b2,ac.,基础知识梳理,思考？,基础知识梳理,na1,1,(2009,年高考广东卷改编,),已知等比数列,an,的公比为正数，且,a3a9,2a52,，,a2,2,，则,a1,(,),三基能力强化,答案：,B,2,设,a1,2,，数列,an,1,是以,3,为公比的等比数列，则,a4,的值为,(,),A,80 B,81,C,54 D,53,答案：,A,三基能力强化,A,递增数列,B,递减数列,C,摆动数列,D,常数列,答案：,B,三基能力强化,三基能力强化,5.,在数列,an,，,bn,中，,bn,是,an,与,an,1,的等差中项，,a1,2,，且对任意,nN*,，都有,3an,1,an,0,，则,bn,的通项公式,bn,_.,三基能力强化,证明一个数列是等比数列的主要方法有两种：一是利用等比数列的定义，即证明,即证明,an,12,anan,20(nN*),在解题中，要注意根据欲证明的问题，对给出的条件式进行合理地变形整理，构造出符合等比数列定义式的形式，从而证明结论,课堂互动讲练,考点一,等比数列的判定,(2009,年高考全国卷,),设数列,an,的前,n,项和为,Sn,，已知,a1,1,，,Sn,1,4an,2.,(1),设,bn,an,1,2an,，证明数列,bn,是等比数列；,(2),求数列,an,的通项公式,课堂互动讲练,例,1,【,思路点拨,】,由已知条件，用,an,1,，,an,表示出,bn,1,，,bn,，从而可以得出证明,【,解,】,(1),证明：由已知有,a1,a2,4a1,2,，,解得,a2,3a1,2,5,，,故,b1,a2,2a1,3.,又,an,2,Sn,2,Sn,1,4an,1,2,(4an,2),4an,1,4an,，,于是,an,2,2an,1,2(an,1,2an),，,即,bn,1,2bn.,因此数列,bn,是首项为,3,，公比为,2,的等比数列，,课堂互动讲练,(2),由,(1),知等比数列,bn,中,b1,3,，公比,q,2,，,所以,an,1,2an,32n,1,，,课堂互动讲练,【,名师点评,】,等比数列的判定方法还可利用通项公式法和前,n,项和公式法,(1),通项公式法：若数列,an,通项公式可写成,an,c,qn(c,，,q,均为不为,0,的常数，,nN*),，则,an,是等比数列,(2),前,n,项和公式法：若数列,an,的前,n,项和,Sn,k,qn,k(k,为常数且,k0,，,q0,1),，则,an,是等比数列,课堂互动讲练,等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量,a1,，,n,，,q,，,an,，,Sn,，一般可以“知三求二”，通过列方程,(,组,),所求问题可迎刃而解解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关公式，并灵活运用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算的过程,课堂互动讲练,考点二,等比数列的基本运算,注意：在使用等比数列的前,n,项和公式时，应根据公比,q,的情况进行分类讨论，切不可忽视,q,的取值而盲目用求和公式,课堂互动讲练,设等比数列,an,的公比,q1,，前,n,项和为,Sn.,已知,a3,2,，,S4,5S2,，求,an,的通项公式,课堂互动讲练,例,2,【,思路点拨,】,课堂互动讲练,课堂互动讲练,由得,1,q4,5(1,q2),，,(q2,4)(q2,1),0,，,(q,2)(q,2)(q,1)(q,1),0,，,因为,q1,时，解得,q,1,或,q,2.,当,q,1,时，代入得,a1,2,，,通项公式,an,2(,1)n,1,；,课堂互动讲练,【,误区警示,】,(1),两边同除以,1,q2,导致失解,(2),忽略,q1,从而增根,课堂互动讲练,例,2,题目条件不变，求,Sn.,课堂互动讲练,互动探究,在等比数列中常用的性质主要有：,(1),对于任意的正整数,m,，,n,，,p,，,q,，若,m,n,p,q,，则,aman,apaq,，特别地，若,m,n,2p,，则,aman,ap2.,(2),对于任意正整数,m,，,n,，有,an,amqn,m.,课堂互动讲练,考点三,等比数列的性质,(4),数列,am,，,am,k,，,am,2k,，,am,3k,，,仍成等比数列,(5),数列,Sm,，,S2m,Sm,，,S3m,S2m,是等比数列,(q,1),课堂互动讲练,(1),在等比数列,an,中，当,a1a89,16,时，,a44a45a46,_.,(2),已知各项均为正数的等比数列,an,的前,n,项和为,Sn,，若,Sn,2,，,S2n,14,，则,S3n,等于,_,课堂互动讲练,例,3,【,思路点拨,】,运用等比数列的性质：,(1),若,k,l,m,n,，则,ak,al,am,an,；,(2),若,Sn,是正项等比,(,公比不等于,1),数列,an,的前,n,项和，则,Sn,，,S2n,Sn,，,S3n,S2n,，,仍成等比数列，求解,课堂互动讲练,【,解析,】,(1)a1,a89,a44,a46,a452,16,，,a45,4.,a44,a45,a46,64.,(2)an,为正项等比数列，,Sn,，,S2n,Sn,，,S3n,S2n,成等比数列,(S2n,Sn)2,Sn,(S3n,S2n),，,即,122,2(S3n,14),，得,S3n,86.,【,答案,】,(1),64,(2)86,课堂互动讲练,【,名师点评,】,(1),等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前,n,项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口,(2),巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要,课堂互动讲练,在解决等差、等比数列的综合题时，重点在于读懂题意，而正确利用等差、等比数列的定义、通项公式及前,n,项和公式是解决问题的关键。,课堂互动讲练,考点四,等比数列的综合应用,(,解题示范,)(,本题满分,12,分,),已知数列,an,的前三项与数列,bn,的前三项对应相同，且,a1,2a2,22a3,2n,1an,8n,对任意的,nN*,都成立，数列,bn,1,bn,是等差数列,(1),求数列,an,与,bn,的通项公式；,(2),问是否存在,kN*,，使得,(bk,ak)(0,1),？请说明理由,课堂互动讲练,例,4,【,思路点拨,】,(1),利用已知条件求得,a1,与,an,，注意看,a1,是否适合,an,，通过,an,求得,bn,1,bn,的公差，利用迭代法或累加法求,bn.,(2),利用,bk,ak,的单调性加以判断,课堂互动讲练,【,解,】,(1),已知,a1,2a2,22a3,2n,1an,8n(nN*),当,n2,时，,a1,2a2,22a3,2n,2an,1,8(n,1)(nN*),2,分,得,2n,1an,8,，求得,an,24,n,，,在中令,n,1,，可得,a1,8,24,1,，,an,24,n(nN*).3,分,由题意知,b1,8,，,b2,4,，,b3,2,，,b2,b1,4,，,b3,b2,2,，,课堂互动讲练,数列,bn,1,bn,的公差为,2,(,4),2,，,bn,1,bn,4,(n,1)2,2n,6,，,4,分,法一：迭代法得：,bn,b1,(b2,b1),(b3,b2),(bn,bn,1),8,(,4),(,2),(2n,8),n2,7n,14(nN*).6,分,课堂互动讲练,法二：可用累加法，即,bn,bn,1,2n,8,，,bn,1,bn,2,2n,10,，,b3,b2,2,，,b2,b1,4,，,b1,8,，,相加得,bn,8,(,4),(,2),(2n,8),课堂互动讲练,(2)bk,ak,k2,7k,14,24,k,，,设,f(k),k2,7k,14,24,k,，,8,分,当,k4,时，,当,k4,时，,f(k),k2,7k,14,24,k1,，,10,分,又,f(1),f(2),f(3),0,，,不存在,kN*,，使得,(bk,ak)(0,1).12,分,课堂互动讲练,【,思维总结,】,由于数列和函数之间有着密切的联系，所以在解决许多数列问题时，可以借鉴函数的有关思想和方法本例第,(2),问的解答，就是将,bk,ak,视为关于,k,的函数,f(k),，然后研究函数,f(k),的单调性，通过单调性，求出,f(k),的取值范围，再结合已知的几个函数值，判断出函数,f(k),在,kN*,时的取值范围，从而加以判断得出结论，所以在解决数列问题时，应善于运用函数的思想方法解决问题,课堂互动讲练,(,本题满分,12,分,),已知等差数列,an,的首项,a1,1,，公差,d,0,，且第,2,项、第,5,项、第,14,项分别是等比数列,bn,的第,2,项、第,3,项、第,4,项,(1),求数列,an,与,bn,的通项公式；,课堂互动讲练,高考检阅,解：,(1),由已知有,a2,1,d,，,a5,1,4d,，,a14,1,13d,，,(1,4d)2,(1,d)(1,13d),解得,d,2(d,0).2,分,an,1,(n,1),2,2n,1.3,分,又,b2,a2,3,，,b3,a5,9,，,数列,bn,的公比为,3.,bn,3,3n,2,3n,1.5,分,课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,1,等比数列的相关问题,(1),等比中项,在一个等比数列中，从第二项起每一项,(,有穷数列最后一项除外,),都是它前一项与后一项的等比中项，即,an2,an,1an,1(nN*,且,n2),规律方法总结,(2),等比数列的单调性,若,a1,0,，,q,1,或,a1,0,0,q,1,，则数列,an,是递增数列,若,a1,0,0,q,1,或,a1,0,，,q,1,，则数列,an,是递减数列,若,q,1,，则数列,an,是常数列,若,q,0,，则数列,an,是摆动数列且各项的正负号间隔,规律方法总结,2,等比数列的前,n,项和,Sn,(1),等比数列的前,n,项和,Sn,是用错位相减法求得的，注意这种思想方法在数列求和中的运用,规律方法总结,规律方法总结,
展开阅读全文