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单击此处编母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2019/8/9,#,28.4,垂径定理,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,2024/11/11,1,28.4 垂径定理 导入新课讲授新课当堂练习课堂小结2023,1.,复习并巩固圆心角和圆周角的相关知识,.,2.,理解并掌握垂径定理及其推论的推导过程,.(,重点,),3.,能够运用垂径定理及其推论解决实际问题,.,（难点）,学习目标,2024/11/11,2,1.复习并巩固圆心角和圆周角的相关知识.学习目标2023/9,问题,赵州桥的半径是多少？,它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4 m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2 m,，,你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？,导入新课,2024/11/11,3,问题 赵州桥的半径是多少？它的主桥是圆弧形,它的跨度(,问题,1,如图，,AB,是,O,的一条弦，做直径,CD,，使,CD,AB,，垂足为,E,（,1,）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,（,2,）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,垂径定理及其应用,（,1,）圆是轴对称图形直径,CD,所在的直线是它的对称轴,（,2,）线段：,AE=BE,O,A,B,C,D,E,讲授新课,2024/11/11,4,问题1 如图，AB是O的一条弦，做直径CD，使CDAB,O,A,B,C,D,E,弧：弧,AC,=,弧,BC,，弧,AD,=,弧,BD,把圆沿着直径,CD,折叠时，,CD,两侧的两个半圆重合，,点,A,与点,B,重合，,AE,与,BE,重合，弧,AC,、弧,AD,分别与弧,BC,、弧,BD,重合,2024/11/11,5,OABCDE弧：弧AC=弧BC，弧AD=弧BD把圆沿着直径,O,A,B,C,E,由此，我们得到下面的定理：,即直径,CD,平分弦,AB,，并且平分弧,AB,及弧,ACB,垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧,AE=BE,，弧,AD,=,弧,BD,，弧,AC,=,弧,BC,D,我们还可以得到结论：,平分这条弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,这个定理也叫垂径定理，利用这个定理，你能平分一条弧吗？,2024/11/11,6,OABCE由此，我们得到下面的定理：即直径CD平分弦AB，,垂径定理的本质是:,满足其中任两条，必定同时满足另三条,（,1,）一条直线过圆心,（,2,）这条直线垂直于弦,（,3,）这条直线平分,不是直径的,弦,（,4,）这条直线平分,不是直径的,弦所对的优弧,（,5,）这条直线平分,不是直径的,弦所对的劣弧,2024/11/11,7,垂径定理的本质是:满足其中任两条，必定同时满足另三条（1）一,解决求赵州桥拱半径的问题：,如图，用弧,AB,表示主桥拱，设弧,AB,所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与弧,AB,相交于点,C,.,根据前面的结论可知，,D,是弦,AB,的中点，,C,是弧,AB,的中点，,CD,就是拱高,它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4 m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2 m,2024/11/11,8,解决求赵州桥拱半径的问题：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB,解得,R,27.9.,O,D,A,B,C,R,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,因此，赵州桥的主桥拱半径约为,27.9 m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4 m,，,CD,=7.2 m,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,在图中,（,m,）,2024/11/11,9,解得R27.9.ODABCR在RtOAD中，由勾股定理，,垂径定理的推论,问题,命题：“平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧。”是真命题吗?若是，请证明；若不是请举出反例.,CDAB,CD,是直径，,AE=BE,AC=BC,AD=BD.,O,A,B,C,D,E,2024/11/11,10,垂径定理的推论问题 命题：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,（,1,）如何证明？,O,A,B,C,D,E,已知：,如图，,CD,是,O,的直径，,AB,为弦,，且,AE=BE,.,证明：,连接,OA,，,OB,，则,OA=OB,AE=BE,CD,AB,，,AOD=BOD.,AD=BD,求证：,CD,AB,，且,AD=BD,AC=BC,AC=BC,2024/11/11,11,（1）如何证明？OABCDE已知：如图，CD是O的直径，,（,2,）“,不是直径,”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例,.,平分弦,（不是直径）,的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧,.,O,A,B,C,D,2024/11/11,12,（2）“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.,CD,是直径,CD,AB,AM=BM,AC=BC,AD=BD,.,如果具备上面五个条件中的任何两个，那么一定可以得到其他三个结论吗？,一条直线,满足,:(1),过圆心,;(2),垂直于弦,;(3),平分弦,（不是直径）,;(4),平分弦所对优弧,;(5),平分弦所对的劣弧,.,O,A,B,C,D,M,2024/11/11,13,CD是直径,CDAB,AM=BMAC,1,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8 cm,，圆心,O,到弦,AB,的距离为,3 cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,解：,答：,O,的半径为,5 cm.,在,Rt,AOE,中，,当堂练习,2024/11/11,14,1如图，在O中，弦AB的长为8 cm，圆心O到弦AB的距,2,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证：四边形,ADOE,是正方形,O,A,B,C,D,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,，,AE=AD.,四边形,ADOE,为正方形,.,2024/11/11,15,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD,直径平分弦,直径垂直于弦,=,直径平分弦所对的弧,直径垂直于弦,直径平分弦（不是直径）,直径平分弦所对的弧,直径平分弧所对的弦,直径平分弧,直径垂直于弧所对的弦,=,=,垂径定理及其逆定理,课堂小结,2024/11/11,16,直径平分弦=垂径定理及其逆定理,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备,（,1,）过圆心,（,2,）垂直于弦,（,3,）平分弦,（,4,）平分弦所对的优弧,（,5,）平分弦所对的劣弧,上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论,2024/11/11,17,根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备（1,
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