学案7空间向量在立体几何中的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,7,空间向量在立体几何,中的应用,空间向量在立体几何中的应用,1.理解直线的方向向量和平面的法向量.,2.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系、平行关系.,3.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理.,4.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.,从近两年的高考看，利用空间向量证明平行与垂直、求异面直线所成的角、线面角及二面角大小是高考的热点，题型主要是解答题，难度属中等偏高，主要考查向量的坐标运算、空间想象能力和运算能力.预计2012年仍将以考查用向量方法证平行与垂直，求三类角大小为主，重点考查数量积运算、空间想象能力和运算能力.,1.,平面的法向量,直线,l,，取直线,l,的,，则,叫做平面,的法向量,.,2.,直线,l,的方向向量是,u=(a,1,b,1,c,1,),，平面,的法向,量,v=(a,2,b,2,c,2,),则,l,.,方向向量,a,向量,a,uv,=0,a,1,a,2,+b,1,b,2,+c,1,c,2,=0,3.,设直线,l,的方向向量是,u=(a,1,b,1,c,1,),，平面,的法向量,v=(a,2,b,2,c,2,),则,l,.,若平面,的法向量,u=(a,1,b,1,c,1,),，平面,的法向量,v=(a,2,b,2,c,2,),，则,.,4.,空间的角,(1),若异面直线,l,1,和,l,2,的方向向量分别为,u,1,和,u,2,，,l,1,与,l,2,所成的角为,，则,cos,=,.,uv,(a,1,b,1,c,1,)=k(a,2,b,2,c,2,),a,1,=ka,2,b,1,=kb,2,c,1,=kc,2,uv,=0,uv,a,1,a,2,+b,1,b,2,+c,1,c,2,=0,|,cos,|,(2),已知直线,l,的方向向量为,v,平面,的法向量为,u,l,与,的夹角为,，则,sin,=,.,(3),已知二面角,l,的两个面,和,的法向量分别为,v,u,则,与该二面角,.,5.,空间的距离,(1),一个点到它在一个平面内,的距离，叫做点到这个平面的距离,.,(2),已知直线,l,平行平面,，则,l,上任一点到,的距离都,，且叫做,l,到,的距离,.,|,cos,|,相等或互补,正射影,相等,(3),和两个平行平面同时,的直线，叫做两个平面的公垂线,.,公垂线夹在平行平面间的部分，叫做两个平面的,.,两平行平面的任两条公垂线段的长都相等，公垂线段的,叫做两平行平面的距离，也是一个平面内任一点到另一个平面的距离,.,(4),若平面,的一个,为,m,，,P,是,外一,点，,A,是,内任一点，则点,P,到,的距离,d=,.,垂直,公垂线段,长度,法向量,如图在多面体,ABCDEF,中，四边形,ABCD,是正方形，,EFAB,EFFB,AB=2EF,BFC=90,，,BF=FC,H,为,BC,的中点,.,(1),求证：,FH,平面,EDB;,(2),求证：,AC,平面,EDB.,考点,1,用向量证明平行、垂直问题,【,证明,】,四边形,ABCD,为正方形,ABBC.,又,EFAB,EFBC.,又,EFFB,EF,平面,BFC.EFFH,ABFH.,又,BF=FC,H,为,BC,的中点,FHBC.FH,平面,ABC.,以,H,为坐标原点，,HB,为,x,轴正方向，,HF,为,z,轴正方向，建立如图所示的坐标系,.,设,BH=1,则,A(1,-2,0),B(1,0,0),C(-1,0,0),D(-1,-2,0),E(0,-1,1),F(0,0,1).,【,分析,】,建立空间直角坐标系，利用向量方法做出证明.,(1),设,AC,与,BD,的交点为,G,，连接,EG,GH,则,G(0,-1,0),GE=(0,0,1).,又,HF=(0,0,1),HFGE.,又,GE,平面,EDB,HF,平面,EDB,FH,平面,EBD.,(2)AC=(-2,2,0),GE=(0,0,1),AC GE=0,ACGE.,又,ACBD,EGBD=G,AC,平面,EDB.,【,评析,】,利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直,.,如图，,ABEDFC,为多面体，平面,ABED,与平面,ACFD,垂直，点,O,在线段,AD,上，,OA=1,，,OD=2,，,OAB,，,OAC,，,ODE,，,ODF,都是正三角形,.,（,1,）证明：直线,BCEF,；,（,2,）求棱锥,F,OBED,的体积,.,【解析】,【,分析,】,根据条件建立空间直角坐标系，利用向量坐标运算证明、求解.,考点,2,用向量方法求线面角,如图，已知三棱锥PABC中，PA平面ABC,ABAC,PA=AC=,AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S分别为PB,BC的中点.,(1)证明：CMSN;,(2)求SN与平面CMN所成角的大小.,【解析】,(1)证明:设PA=1,以A为原点,AB,AC,AP所在直线分别为x,y,z轴正向建立空间直角坐标系如图所示,则P(0,0,1),C(0,1,0),B(2,0,0),M,（,1,0,）,N,（,0,0,）,S,（,1,0,）,.,所以CM=,（,1,-1,）,SN=,（,-,-,0,）,.,因为CMSN=-,+,+0=0,所以CMSN.,(2)NC=,（,-,1,0,）,设a=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量，,a5CM=0,a NC=0,x-y+,z=0,-,x+y=0，,因为|cos|=,所以SN与平面CMN所成角为45.,则,即,令x=2,得a=(2,1,-2).,【,评析,】,（1）本题考查异面直线垂直、线面角的求法、空间直角坐标系的建立等知识，重点考查了在空间直角坐标系中点的坐标的求法，同时考查空间想象能力和推理运算能力，难度适中.,（2）利用向量法求线面角的方法,一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角.,【解析】,如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在线段AB,AD上，AE=EB=AF=,FD=4.沿直线EF,将AEF翻折成AEF，,使平面AEF平面BEF.,(1)求二面角AFDC的余弦值；,(,2,)点M,N分别在线段FD,BC上，若沿直线MN将四边形MNCD向上翻折，使C与A重合，求线段FM的长.,考点,3,用向量方法求二面角,【,分析,】,（,1,）建立空间直角坐标系后，求两个面的法向量所成的角,.,（,2,）用待定系数法求解,.,【,解析,】,（,1,）取线段,EF,的中点,H,，连接,AH.,AE=AF,及,H,是,EF,的中点，,AHEF.,又平面,AEF,平面,BEF,AH,平面,AEF,AH,平面,BEF.,如图,建立空间直角坐标系,Axyz,则,A(2,2,2 ),C(10,8,0),F(4,0,0),D(10,0,0).,故,FA=(-2,2,2 ),FD=(6,0,0).,设,n=(,x,y,z,),为平面,AFD,的一个法向量,nFA,=0,nFD=0,-2x+2y+22z=0,6x=0.,取,z=,则,n=(0,-2,).,又平面,BEF,的一个法向量,m=(0,0,1),故,cos,=,二面角,AFDC,的余弦值为,.,(2)设FM=x，则M(4+x,0,0).,翻折后C与A重合，CM=AM，,故(6-x),2,+8,2,+0,2,=(-2-x),2,+2,2,+(2,),2,得x=,经检验，此时点N在直线BC上.,FM=,.,【,评析,】,利用空间向量方法求二面角，可以有两种办法：,一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个面的法向量分别为,n,1,和,n,2,，则二面角的大小等于,（或,-).,注意：利用空间向量方法求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角,.,【,解析,】,考点,4,简单的距离问题,如图，BCD与MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD平面BCD,AB平面BCD,AB=2,.,（1）求点A到平面MBC的距离；,（2）求平面ACM与平面BCD,所成二面角的正弦值.,【分析】,建立坐标系后，代入点到平面的距离公式，可求点A到平面MBC的距离.,【,解析,】,取,CD,中点,O,，连接,OB,OM,则,OBCD,OMCD.,又平面,MCD,平面,BCD,所以,MO,平面,BCD.,取,O,为原点，直线,OC,BO,OM,为,x,轴，,y,轴，,z,轴，建立空间直角坐标系如图,.OB=OM=,则各点坐标分别为,C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2 ).,(1),设,n=(,x,y,z,),是平面,MBC,的法向量，则,BC=(1,3,0),BM=(0,3,3).,由,nBC,得,x+y=0;,由,nBM,得,y+z=0.,取,n=(,-1,1),BA=(0,0,2 ),，则,d=,(2)CM=(-1,0,),CA=(-1,-,2,).,设平面ACM的法向量为n,1,=(x,1,y,1,z,1,),由n,1,CM,n,1,CA-,x,1,+3z,1,=0,-x,1,-3y,1,+2,z,1,=0,解得x,1,=3z,1,y,1,=z,1,取n,1,=(,1,1).,又平面BCD的法向量为n,2,=(0,0,1),所以cos=,设所求二面角为，则sin=,.,故所求二面角的正弦值为,.,取,z=1,得,【,评析,】,点到平面的距离、直线到平面的距离、两平行平面间的距离、异面直线间的距离等都是高考考查的重点内容，可以和多种知识相结合，是诸多知识的交汇点.本题考查了点到平面的距离和垂直、夹角问题，这是命题的方向，要给予高度重视.,【,解析,】,考虑到高考命题重点内容常考常新、稳中求变的原则，在高考复习中要特别注意空间向量的应用，但不能忽视传统的几何证明方法,综合法，而且任意把两种方法有机地融合在一起，寻找最佳的解题策略,.,由于在向量运算中可以出现变量，因此注意函数思想在立体几何中的应用以及开放性问题、探索性问题等,.,由于几何模型的引入，有关概率与立体几何的综合应用也不应当忽视,.,立体几何中的向量方法与算法的融合、三角变换的融合也应当引起足够的重视,.,1.,用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路：一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量，共分三步：（,1,）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问题；（,2,）通过向量运算，研究点、线、面之间的位置关系；（,3,）根据运算结果的几何意义来解释相关问题,.,2.,角的计算与度量总要进行转化，这体现了转化的思想，主要将空间角转化为平面角或两向量的夹角,.,3.,用向量的数量积来求解两异面直线所成的角，简单、易掌握,.,其基本程序是选基底，表示两直线方向向量，计算数量积，若能建立空间直角坐标系，则更为方便,.,4.,找直线和平面所成的角常用方法是过线上一点作面的垂线或找线上一点到面的垂线，或找（作）垂面，将其转化为平面角，或用向量求解，或解直角三角形,.,祝同学们学习上天天有进步！,