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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,八年级 上册,13.4,课题学习 最短路径问题,八年级 上册13.4 课题学习 最短路径问题,引言：,前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线,段最短”、,“,连接直线外一点与直线上各点的所有线段,中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问,题现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节,将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”,引入新知,引言：引入新知,问题,1,相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久,负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访,海伦，求教一个百思不得其解的问题：,从图中的,A,地出发，到一条笔直的河边,l,饮马，然,后到,B,地到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程,最短？,探索新知,B,A,l,问题1相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久探索新知BA,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的,知识回答了这个问题这个问题后来被称为“将军饮马,问题”,你能将这个问题抽象为数学问题吗？,探索新知,B,A,l,精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 探索新知B,追问,1,这是一个实际问题，你打算首先做什么？,将,A,，,B,两地抽象为两个点，将河,l,抽象为一条直 线,探索新知,B,A,l,追问1这是一个实际问题，你打算首先做什么？将A，,（,1,）从,A,地出发，到河边,l,饮马，然后到,B,地；,（,2,）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与,A,，,B,连接起来的两条线段的长度之和，就是从,A,地,到饮马地点，再回到,B,地的路程之和；,探索新知,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地；探索新知,探索新知,追问,2,你能用自己的语言说明这个问题的意思，,并把它抽象为数学问题吗？,（,3,）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最,短的直线,l,上的点设,C,为直线上的一个动点，上,面的问题就转化为：当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小（如图）,B,A,l,C,探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，（3,追问,1,对于问题,2,，如何,将点,B,“,移”到,l,的另一侧,B,处，满足直线,l,上的任意一点,C,，都保持,CB,与,CB,的长度,相等？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,追问1对于问题2，如何探索新知问题2 如图，点A,追问,2,你能利用轴对称的,有关知识，找到上问中符合条,件的点,B,吗？,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,追问2你能利用轴对称的探索新知问题2 如图，点A,作法：,（,1,）作点,B,关于直线,l,的对称,点,B,；,（,2,）连接,AB,，与直线,l,相交,于点,C,则点,C,即为所求,探索新知,问题,2,如图，点,A,，,B,在直线,l,的同侧，点,C,是直,线上的一个动点，当点,C,在,l,的什么位置时，,AC,与,CB,的和最小？,B,l,A,B,C,作法：探索新知问题2 如图，点A，B 在直线l 的,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,证明：,如图，在直线,l,上任取一点,C,（与点,C,不,重合），连接,AC,，,BC,，,B,C,由轴对称的性质知，,BC,=,B,C,，,BC,=,B,C,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,=,AB,，,AC,+,BC,=,AC,+,B,C,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,证明：如图，在直线l 上任取一点C（与点C 不探索新知,探索新知,问题,3,你能用所学的知识证明,AC,+,BC,最短吗？,B,l,A,B,C,C,证明：,在,AB,C,中,，,AB,AC,+,B,C,，,AC,+,BC,AC,+,BC,即,AC,+,BC,最短,探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？,若直线,l,上任意一点（与点,C,不重合）与,A,，,B,两点的距离,和都大于,AC,+,BC,，就说明,AC,+,BC,最小,探索新知,B,l,A,B,C,C,追问,1,证明,AC,+,BC,最短时，为什么要在直线,l,上,任取一点,C,（与点,C,不重合），证明,AC,+,BC,AC,+,BC,？这里的“,C,”,的作用是什么？,若直线l 上任意一点（与点探索新知BlABCC,探索新知,追问,2,回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的,过程、借助什么解决问题的？,B,l,A,B,C,C,探索新知追问2回顾前面的探究过程，我们是通过怎样的 B,运用新知,练习如图，一个旅游船从大桥,AB,的,P,处前往山,脚下的,Q,处接游客，然后将游客送往河岸,BC,上，再返,回,P,处，请画出旅游船的最短路径,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,运用新知练习如图，一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山,运用新知,基本思路：,由于两点之间线段最短，所以首先可连接,PQ,，线,段,PQ,为旅游船最短路径中的必经线路将河岸抽象为,一条直线,BC,，这样问题就转化为“点,P,，,Q,在直线,BC,的同侧，如何在,BC,上找到,一点,R,，使,PR,与,QR,的和最,小”,A,B,C,P,Q,山,河岸,大桥,运用新知基本思路：ABCPQ山河岸大桥,造桥选址问题,如图，,A,和,B,两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥,MN.,乔早在何处才能使从,A,到,B,的路径,AMNB,最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）,B,A,造桥选址问题如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座,思维分析,B,A,1,、如图假定任选位置造桥，连接和，从,A,到,B,的路径是,AM+MN+BN,，那么怎样确定什么情况下最短呢？,2,、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？,思维分析BA 1、如图假定任选位置造桥，连接,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下,把桥转化到一侧,呢？什么图形变换能帮助我们呢？,思维火花,各抒己见,1,、把,A,平移到岸边,.,2,、把,B,平移到岸边,.,3,、把桥平移到和,A,相连,.,4,、把桥平移到和,B,相连,.,我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥,上述方法都能做到使,AM+MN+BN,不变呢？请检验,.,合作与交流,1,、,2,两种方法改变了,.,怎样调整呢？,把,A,或,B,分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢,?,上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.合作与交流,问题解决,B,A,A,1,M,N,如图，平移,A,到,A1,，使,A1,等于河宽，连接,A1,交河岸于作桥，此时路径最短,.,理由；另任作桥,，连接,，,，,.,由平移性质可知，,，,，,.,AM+MN+BN,转化为,，而,转化为,.,在,中，由线段公理知,A,1,N,1,+BN,1,A,1,B,因此,AM+MN+BN,问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使A1等于河宽，连,问题,延伸一,如图，A和B两地,之间有两,条河，现要在,两条,河上,各,造一座桥MN,和PQ,.,桥分别建,在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河,岸,垂直）,问题延伸一如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+,桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处,思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+,思维方法一,1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点至AA1使AA1=MN，此时问题转化为问题基本题型两点（A1、B点）和一条河建桥（PQ）,思维方法一 1、沿垂直于第一条河岸的方向平移A点,2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：,（1）在沿垂直于第二条河岸的方向平移A1至A2，,使A1A2=PQ.,（2）连接A2B交A2的对岸Q点，在点处建桥PQ.,2、利用基本问题的解决方法确定桥PQ：,3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A点、P点和第一条河确定桥MN的位置.,连接A1P交的对岸于点，在点处建桥,3、确定PQ的位置，也确定了BQ和PQ，此时问题可转化为由A,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把点、，使，；,连接交于点相邻河岸于点，建桥；,连接交的对岸于点，建桥；,从点到点的最短路径为MMN,问题解决沿垂直于河岸方向依次把点、，使,思维方法二,沿垂直于第一条河岸方向平移点至点，沿垂直于第二条河岸方向平移点至点，连接A1B1 分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.,最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.,思维方法二 沿垂直于第一条河岸方向平移点至,思维方法三,沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B、B，使BBPQ，BBMN；,连接BA交于A点相邻河岸于M点，建桥MN；,连接BN交B的对岸于P点，建桥PQ；,从点到点的最短路径为MMNNP转化为AB2+B2B1+B1B,思维方法三沿垂直于河岸方向依次把B点平移至B、B，使BB,问题,延伸二,如图，A和B两地,之间有三,条河，现要在,两条,河上,各,造一座桥MN,、PQ和GH,.,桥分别建,在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河,岸,垂直）,问题延伸二如图，A和B两地之间有三条河，现要在两条河上各造一,思维分析,如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB,桥MN、PQ和GH在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.,平移的方法有四种：三个桥长都平移到A点处；都平移到B点处；MN、PQ平移到A点处；PQ、GH平移到B点处,思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+G,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；,连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；,连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；,连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.,此时从A到B点路径最短.,问题解决沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AAMN，AAPQ，A2A3=GH；,连接A3B交于B点相邻河岸于H点，建桥GH；,连接A2G交第二河与G对岸的P点，建桥PQ；,连接A1P交第一条河与A的对岸于N点，建桥MN.,此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A、A3，使AA,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A，使AAMN，平移B点至B1、B2,使BB1GH，B1B2=PQ；,连接A1B2交第一条河与A点相对河岸于N点，交第二条河与N相邻河岸于P点，建桥MN、PQ；,连接B1Q交第三条河与Q相邻河岸的G点，建桥GH；,此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A，使AAMN，平移B,沿垂直于河岸方向依次把A点平移至A、A2，使AAMN，平移B点至B1,使BB1GH；,连接AB交第三条河与点相对河岸于点，交第二条河与相邻河岸于点，建桥、PQ；,连接1交第一条河与相邻河岸的点，建桥；,此时从A到B点路径最短.,问题解决,沿垂直于河岸方向依次把A
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