复数的三角形式与指数形式ppt课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,初等数学专题研究,复数的三角形式与指数形式,4.1,复数的三角形式,4.2,复数的指数形式,4.3,复数的应用,在中学，我们已经学习过复数及其用代数形式,a+bi,表达的四则运算法则及算律。量子力学中波函数普遍来说是复数形式的，而上述实部加虚部的形式在很多情况下不方便使用，因此我们有必要对复数了解得更多些。本讲讲三个问题,复数的三角形式与指数形式4.1复数的三角形式在中学，我们已经,4.1,、复数的三角形式,一、复数的幅角与模,我们知道,复数,a,+,bi,对应着复平面上的,点,(,a,b,),，也对应复平面上一个,向量,（如右图所示）,这个向量的长度叫做复数,a,+,b,i,的,模,，记为,|,a,+,b,i|,，一般情况下，复数的模用字母,r,表示。,x,y,同时，这个向量针对,x,轴的正方向有一个方向角，我们称为,幅角,，记为,arg(,a,+,b,i),，幅角一般情形下用希腊字母,表示。,显然,把它们代入复数的代数形式得：,4.1、复数的三角形式一、复数的幅角与模我们知道复数a+bi,4.1,、复数的三角形式,这样，我们把 叫做复数,a,+,bi,的,三角形式,二、复数三角形式的运算法则,引入复数三角形式的一个重要原因在于用三角形式进行乘除法、乘方、开方相对于代数形式较为简单。,所以这里只介绍三角形式的乘法、除法、乘方与开方的运算法则。,1,、复数的乘法,设,那么,4.1、复数的三角形式这样，我们把,4.1,、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,1,、复数的乘法,这说明，两个复数相乘等于它们的模相乘而幅角相加,即,这个运算在几何上可以用下面的方法进行：,将向量,z,1,的模扩大为原来的,r,2,倍，然后再将它绕原点逆时针旋转角,2,，就得到,z,1,z,2,。,4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则1、复数的乘,4.1,、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,2,、复数的除法,4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则2、复数的除,4.1,、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,2,、复数的除法,即,这说明，两个复数相除等于它们的模相除而幅角相减,这个运算在几何上可以用下面的方法进行：,将向量,z,1,的模缩小为原来的,r,2,分之一，然后再将它绕原点顺时针旋转角,2,，就得到,z,1,z,2,。,3,、复数的乘方。,利用复数的乘法不难得到,这说明，复数的,n,次方等于它模的,n,次方，幅角的,n,倍。,4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法则2、复数的除,4,、复数的开方,对于复数 ，根据代数基本定理及其推论知，任何一个复数在复数范围内都有,n,个不同的,n,次方根。,将向量,z,1,的模变为原来的,n,次方，然后再将它绕原点逆时针旋转角,n,，就得到,z,n,。,4.1,、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,3,、复数的乘方。,这个运算在几何上可以用下面的方法进行：,设 的一个,n,次方根为,4、复数的开方对于复数,4,、复数的开方,4.1,、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,那么,所以,即,显然，当,k,从,0,依次取到,n,1,所得到的角的终边互不相同，但,k,从,n,开始取值后，前面的终边又周期性出现。,因此，复数,z,的,n,个,n,次方根为,4、复数的开方4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法,4,、复数的开方,4.1,、复数的三角形式,二、复数三角形式的运算法则,从求根公式可以看出，相邻两个根之间幅角相差,所以复数,z,的,n,个,n,次方根均匀地分布在以原点为圆心，以它的模的,n,次算术根为半径的圆周上。,因此，求一个复数,z,的全部,n,次方根，可以用下面的几何手段进行：,先作出圆心在原点，半径为 的圆，然后作出角 的终边,以这条终边与圆的交点为分点，将圆周,n,等分，那么，每个等分点对应的复数就是复数,z,的,n,次方根。,4、复数的开方4.1、复数的三角形式二、复数三角形式的运算法,4.2,、复数的指数形式,在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们发现，复数的三角形式将复数的乘法“部分地”转变成加法（模相乘，幅角相加）,这种改变运算等级的现象在初等函数中有过体现：,对数函数与指数函数,前者将两个同底幂的乘积变成同底的指数相加；后者将两个真数积的对数变成两个同底对数的和。,从形式上看，复数的乘法与指数函数的关系更为密切,些：,4.2、复数的指数形式在对复数三角形式的乘法规则讨论中，我们,4.2,、复数的指数形式,根据这个特点，复数 应该可以表示成某种指数形式,即复数应该可以表示成 的形式,这里有三个问题需要解决：,（,1,）反映复数本质特征的三个因素：模,r,、幅角,、虚数单位,i,应各自摆放在什么位置？,（,2,）在这些位置上它们应呈现什么形态？,（,3,）作为指数形式的底应该用什么常数？,先来研究第一个问题,.,4.2、复数的指数形式根据这个特点，复数,4.2,、复数的指数形式,再重新观察下面的等式,首先，显然模,r,应该占据 中系数,y,的位置,其次，幅角,应该占据 中指数,x,的位置,对于虚数单位,i,，如果放到系数,y,的位置会怎样？,由于,等式右边是实数，对于任意虚数而言，这是不可能的。,因此幅角,也应该占据指数的位置。,这样第二个问题就产生了：它与幅角一起在指数的位置上是什么关系？（相加？相乘？）,4.2、复数的指数形式再重新观察下面的等式首先，显然模r应该,4.2,、复数的指数形式,幅角,与虚数单位,i,是相加的关系会怎样？,先考察模为,1,的复数,如果写成 的形式,一方面，由于,与 的形式差别不是很大，,其次,在复数的乘方法则中，应该仅是幅角的,n,倍而没有虚数单位也要,n,倍，所以虚数单位与幅角不应该是相加关系，而应该是相乘关系,现在来审查乘法、除法和乘方法则是否吻合,4.2、复数的指数形式幅角与虚数单位i是相加的关系会怎样？,4.2,、复数的指数形式,乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘方保持“模的,n,次方、幅角的,n,倍”的本质特征,下面来解决最后一个问题：应该选用哪个常数作为底数？,我们暂时将 形式化地看做,r,与,的“二元函数”,数学是“形式化的科学”，因此，一些形式化的性质应该“形式化”地保持不变。,下面我们将 等式两边对,形式化地求“偏微分”,4.2、复数的指数形式乘除法保持“模相乘除、幅角相加减”、乘,4.2,、复数的指数形式,于是由,这样我们利用不太严格的推理得到了复数的第三种表现形式,指数式,从复数的模与幅角的角度看，复数的指数形式其实是三角形式的简略化,对于指数形式的严格证明可以参读,复数的指数形式的证明,4.2、复数的指数形式于是由这样我们利用不太严格的推理得到了,的证明：,泰勒级数,法,写成泰勒级数形式：,将,代入可得：,e,iz,=,cos z+i sin z,（,欧拉公式,）,z,R,将函数,的证明：泰勒级数法 写成泰勒级数形式：将代入可得：e i,4.2,、复数的指数形式,由复数的三角形式与指数形式，我们很容易得到下面的两个公式：,这两个公式被统称为欧拉公式,在复数的指数形式中，令,r=1,=,，就得到下面的等式,或,4.2、复数的指数形式由复数的三角形式与指数形式，我们很容易,数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看着它但却不能理解它。,它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的五个数字就这么神秘地联系到了一起：两个超越数,自然对数的底,e,，圆周率,；三个单位,虚数单位,i,、自然数的乘法单位,1,和加法单位,0,。,或,4.2,、复数的指数形式,关于自然对数的底,e,和圆周率,，这里我想多说那么几句：它们是迄今为止人类所发现的两个彼此独立的超越数，尽管从理论上我们知道，超越数比有理数、代数数（可以表示为有理系数一元多项式的根的数）要多得多，但为人类所认识的超越数却仅此两个！,令人不可思议的是，它们居然凭借这么一个简单关系彼此联系着。,在复数的指数形式中，令,r=1,=,，就得到下面的等式,数学家们评价它是“上帝创造的公式”，我们只能看着它但却不能理,4.3,、复数的应用,利用复数的三角形式，我们可以比较容易地解决一些数学其他领域里的问题。由于我们这门课的特点，我们仅限于在初等数学领域里举两个例子。,例,1,：三角级数求和,解：,令,那么对任何自然数,k,，有,于是,4.3、复数的应用利用复数的三角形式，我们可以比较容易地解决,4.3,、复数的应用,例,1,：三角级数求和,解：,另一方面,4.3、复数的应用例1：三角级数求和解：另一方面,4.3,、复数的应用,例,1,：三角级数求和,解：,4.3、复数的应用例1：三角级数求和解：,4.3,、复数的应用,例,1,：三角级数求和,即,所以,4.3、复数的应用例1：三角级数求和即所以,4.3,、复数的应用,例,2,：设,M,是单位圆周,x,2,+,y,2,=1,上的动点，点,N,与定点,A(2,0),和点,M,构成一个等边三角形的顶点，并且,MNAM,成逆时针方向，当,M,点移动时，求点,N,的轨迹。,分析：此题若用一般解析几何的方法寻找点,M,与,N,之间的显性关系是比较困难的。下面用复数的乘法的几何意义来寻找这种关系。,设,M,、,N,、,A,对应的复数依次为：,那么向量,AM,可以用向量,AN,绕,A,点逆时针旋转,300,度得到,用复数运算来实现这个变换就是,4.3、复数的应用例2：设M是单位圆周 x2+y2,4.3,、复数的应用,例,2,：设,M,是单位圆周,x,2,+,y,2,=1,上的动点，点,N,与定点,A(2,0),和点,M,构成一个等边三角形的顶点，并且,MNAM,成逆时针方向，当,M,点移动时，求点,N,的轨迹。,即,所以,但,4.3、复数的应用例2：设M是单位圆周 x2+y2,故,4.3,、复数的应用,例,2,：设,M,是单位圆周,x,2,+,y,2,=1,上的动点，点,N,与定点,A(2,0),和点,M,构成一个等边三角形的顶点，并且,MNAM,成逆时针方向，当,M,点移动时，求点,N,的轨迹。,整理得：,或,故4.3、复数的应用例2：设M是单位圆周 x2+y2,思考与练习,2,：设,M,是单位圆周,x,2,+,y,2,=1,上的动点，点,N,与定点,A(2,0),和点,M,构成一个等腰直角三角形斜边的端点，并且,MNAM,成逆时针方向，当,M,点移动时，求点,N,的轨迹。,1,、利用复数推导三倍角公式,3,、设,z,1,、,z,2,、,z,3,是复平面上三个点,A,、,B,、,C,对应的复数，证明三角形,ABC,是等边三角形的充分必要条件是,思考与练习2：设M是单位圆周 x2+y2=1上的,