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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,情境引入,学习目标,1.,掌握多边形的定义及有关概念，能区分凹凸多边形,.,2.,会求多边形的对角线的条数,.,（难点）,3.,能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式,.,（重点、难点）,4.,掌握正多边形的概念及内角的计算,.,（重点）,5.,了解四边形的不稳定性,.,导入新课,情景引入,在实际生活当中，除了三角形，还有许多由线段围成的图形,.,观察图片，你能找到由一些线段围成的图形吗？,中国第一奇村诸葛八卦村,美国国防部大楼,五角大楼,讲授新课,多边形的定义及相关概念,一,问题,2,观察画某多边形的过程，类比三角形的概念，你能说出什么是多边形吗？,在平面内，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形叫做,多边形,.,问题,1,什么是三角形？,由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形,.,思考：,比较,多边形的定义与三角形的定义，为什么要强调“在平面内”呢？怎样命名多边形呢？,这是因为三角形中的三个顶点肯定都在同一个平面内，而四点，五点，甚至更多的点就有可能不在同一个平面内,.,多边形用图形名称以及它的各个顶点的字母表示,.,字母要按照顶点的顺序书写，可以按顺时针或逆时针的顺序,.,内角：,多边形相邻两边组成的角,问题,3,根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是多边形的边、顶点、内角、外角,顶点,边,外角：,多边形的边与它的邻边的延长线组成的角,.,n,边形有,n,个顶点，,n,条边，,n,个内角，,2,n,个外角,多边形按它的边数可分为：三角形，四边形，五边形等等,.,其中三角形是,最简单,的多边形,.,问题,4,请分别画出下列两个图形各边所在的直线,你能得到什么结论？,（,1,）,（,2,）,如图（,1,）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，,整个多边形,都在这条直线的,同一侧,，那么这个多边形就,是,凸多边形,.,本节我们只讨论凸多边形,.,A,B,C,D,E,F,G,H,此类,多边形被,一条边所在的直线分成了两部分，不在这条直线同侧,是凹多边形,.,例,1,凸六边形纸片剪去一个角后，得到的多边形的边数可能是多少？画出图形说明,解：六边形截去一个角的边数有增加1、减少1、不变三种情况，新多边形的边数为7、5、6三种情况，,如图所示,.,一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条,.,总结,典例精析,多边形的对角线,二,A,B,C,D,E,定义：,连接,多边形,不相邻两个顶点的线段叫做,多边形的对角线,.,线段,AC,是五边形,ABCDE,的一条对角线，多边形的对角线通常用虚线表示,.,注意,三角形,六边形,四边形,八边形,五边形,探究：,请画出下列图形从某一顶点出发的对角线的条数：,0,1,2,3,5,n,-3,1,2,3,4,6,n,-2,从,n,(,n,3),边形的一个顶点可以作出,(,n,-3),条对角线,.,将多边形分成,(,n,-2),个三角形,.,n,(,n,3),边形共有对角线 条,.,归纳总结,画一画：,画出下列多边形的全部对角线,.,问题,2,你知道长方形和正方形的内角和是多少 度？,问题,1,三角形内角和是多少度？,三角形内角和是,180.,都是,360.,问题,3,猜想任意四边形的内角和是多少度？,多边形的内角和,三,猜想：,四边形,ABCD,的内角和是,360.,问题,4,你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？,猜想与证明,方法,1,：如图，连接,AC,所以四边形被分为两个三角形，,所以四边形,ABCD,内角和为,180,2=360,.,A,B,C,D,A,B,C,D,E,方法,2,：如图，在,CD,边上任取一点,E,，连接,AE,DE,，,所以该四边形被分成三个三角形，,所以四边形,ABCD,的内角和为,180,3-(,AEB,+,AED,+,CED,),=,180,3-180,=,360,.,方法,3,：如图，在四边形,ABCD,内部取一点,E,，,连接,AE,BE,CE,DE,，,把四边形分成四个三角形：,ABE,ADE,CDE,CBE,.,所以四边形,ABCD,内角和为：,180,4-(,AEB,+,AED,+,CED,+,CEB,),=180,4-360,=360,.,A,B,C,D,E,A,B,C,D,P,方法,4,：如图，在四边形外任取一点,P,连接,PA,、,PB,、,PC,、,PD,将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形,.,所以四边形,ABCD,内角和为,180 3,180=360.,这四种方法都运用了,转化思想,，把,四边形分割成三角形,，转化到已经学了的,三角形内角和,求解,.,结论：,四边形的内角和为,360,.,例,2,：,如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由,.,解：,如图，四边形,ABCD,中，,A,+,C,=180.,A,+,B,+,C,+,D,=(4,2)180=360,，,因为,B,D,=360,（,A,C,）,=360,180=,180.,所以,A,B,C,D,如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补,.,【变式题】,如图，在四边形,ABCD,中，,A,与,C,互补，,BE,平分,ABC,，,DF,平分,ADC,，若,BE,DF,，求证：,DCF,为直角三角形,证明：在四边形,ABCD,中，,A,与,C,互补，,ABC,+,ADC,=180，,BE,平分,ABC,，,DF,平分,ADC,，,CDF,+,EBF,=90，,BE,DF,，,EBF,=,CFD,，,CDF,+,CFD,=90，,故,DCF,为直角三角形,运用了整体思想,A,C,D,E,B,A,B,C,D,E,F,问题,5,你能仿照求四边形内角和的方法，选一种方,法求五边形和六边形内角和吗,?,内角和为,180 3=540.,内角和为,180 4=720.,n,边形,六边形,五边形,四边形,三角形,多边形内角和,分割出三角形的个数,从多边形的一顶点引出的对角线条数,图形,边数,0,n,-,3,1,2,3,1,2,3,4,n,-,2,（,n,-,2,）,180,1,180,=,180,2,180,=,360,3,180,=,540,4,180,=,720,由特殊到一般,分割,多边形,三角形,分割点与多边形的位置关系,顶点,边上,内部,外部,转化思想,总结归纳,多边形的内角和公式,n,边形内角和等于,(,n,-2)180(,n,3).,例,3,一个多边形的内角和比四边形的内角和多720，并且这个多边形的各内角都相等，这个多边形的每个内角是多少度？,解：设这个多边形边数为,n,，则,（,n,-2）180=360+720，,解得,n,=8，,这个多边形的每个内角都相等，,（,8,-2）180,=,1080，,它每一个内角的度数为10808=135,例,4,如图，在五边形,ABCDE,中，,C,=100，,D,=75，,E,=135，,AP,平分,EAB,，,BP,平分,ABC,，求,P,的度数,解析：根据五边形的内角和等于540，由,C,D,E,的度数可求,EAB,+,ABC,的度数，再根据角平,分线的定义可得,P,AB,与,P,BA,的角度和，进一步求,得,P,的度数,可运用了整体思想,解：,EAB,+,ABC,+,C,+,D,+,E,=540，,C,=100，,D,=75，,E,=135，,EAB,+,ABC,=540-,C,-,D,-,E,=230,.,AP,平分,EAB,PAB,EAB,，,同理可得,ABP,ABC,，,P,+,PAB,+,PBA,=180，,P,=180-,PAB,-,PBA,=180 (,EAB,+,ABC,)=180 230=65,多边形的外角和,四,小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？,多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个,多边形的外角,.,如图，,A,的外角是,1.,E,B,C,D,1,2,3,4,5,A,多边形所有外角的和叫做这个多边形的,外角和,.,概念学习,如图，在五边形的每个顶点处各取一个外角,问题,1,：,任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？,问题,2,：,五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少？,E,B,C,D,1,2,3,4,5,A,互补,5,180,=900,E,B,C,D,1,2,3,4,5,A,五边形外角和,=360,=,5,个平角,五边形内角和,=,5180,(5,2)180,结论：五边形的外角和等于,360,.,问题,3,：,这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系？,在,n,边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做,n,边形的外角和,n,边形外角和,n,边形的外角和等于,360,.,(,n,2)180,=360,=,n,个平角,-,n,边形内角和,=n,180,A,n,A,2,A,3,A,4,1,2,3,4,n,A,1,思考：,n,边形的外角和又是多少呢？,与边数无关,例,5,已知一个多边形的每个内角与外角的比都,是,7:2,，求这个多边形的边数,.,解法一：设这个多边形的内角为,7,x,外角为,2,x,根据题意得,7,x,+2,x,=180,，,解得,x,=20.,即每个内角是,140,，,每个外角是,40.,360,40=9.,答：这个多边形是九边形,.,还有其他解法吗？,解法二：设这个多边形的边数为,n,根据题意得,解得,n,=9.,答：这个多边形是九边形,.,当堂练习,1.,下列多边形中，不是凸多边形的是（）,A,B,C,D,B,2.,把一张形状是多边形的纸片剪去其中一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）,A.,六边形,B.,五边形,C.,四边形,D.,三角形,A,3.,九边形的对角线有（）,A.25,条,B.31,条,C.27,条,D.30,条,C,4.,若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引,10,条对角线，则这是,边形,.,十三,5.,过八边形的一个顶点画对角线，把这个八边形分割成,个三角形,.,六,6.,如图所示，小华从点,A,出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24，照这样走下去，他第一次回到出发地点,A,时，走的路程一共是,_,米,150,7.,一个多边形的内角和不可能是（）,A.1800 B.540 C.720 D.810,D,8.,一个多边形从一个顶点可引对角线,3,条，这个多边形,内角和等于（）,A.360 B.540 C.720 D.900,C,9.,一个多边形的内角和为,1800,，截去一个角后，求得到的多边形的内角和,.,解：,1800180,10,，,原多边形边数为,10,2,12.,一个多边形截去一个内角后，边数可能减,1,，可能不变，也可能加,1,，,新多边形的边数可能是,11,，,12,，,13,，,新多边形的内角和可能是,1620,，,1800,，,1980.,能力提升：,如图，求,1,2,3,4,5,6,7,的度数,.,解：如图，,3,4,8,9,，,1,2,3,4,5,6,7,1,2,8,9,5,6,7,五边形的内角和,540.,8,9,课堂小结,多边形,定义,前提条件是在一个平面内,对角线,它是多边形的一条重要线段，在今后通常作对角线把多边形的问题转化为三角形和四边形的问题,内角和计算公式,(,n,-2)180(,n,3,的整数）,外角和,多边形的外角和等于,360,特别注意：与边数无关,.,见,学练优,本课时练习,课后作业,
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