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Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,线性代数,下页,结束,返回,行列式展开定理(dngl)与法则,第一页，共29页。,一、余子式与代数余子式,定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉(q dio)元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij 的余子式，记作Mij.,令,A,ij,(,1),i,j,M,ij,，,Aij称为(chn wi)元素aij的代数余子式.,a,11,a,21,a,31,a,41,a,12,a,22,a,32,a,42,a,13,a,23,a,33,a,43,a,14,a,24,a,34,a,44,再如，求4阶行列式中a13的代数(dish)余子式,a,21,a,31,a,41,a,22,a,32,a,42,a,24,a,34,a,44,M,13,A,13,(,-,1),1,+,3,M,13,=,M,13,下页,第二页，共29页。,观察(gunch)三阶行列式,下页,第三页，共29页。,二、展开(zhn ki)定理,定理3 n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应(duyng)的代数余子式的乘积.即,D,a,ij,A,ij,第四页，共29页。,定理3 n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应(duyng)的代数余子式的乘积.即,D,a,ij,A,ij,二、展开(zhn ki)定理,第五页，共29页。,定理3 n阶行列式D=|aij|，若其第i行(列)的元素除aij外都为0，则行列式等于aij与其对应(duyng)的代数余子式的乘积.即,D,a,ij,A,ij,二、展开(zhn ki)定理,第六页，共29页。,定理4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其(yq)对应,的代数余子式乘积的和.即,D,a,i,1,A,i,1,a,i,2,A,i,2,a,in,A,in,(,i,=,1,2,n,),，,D,a,1,j,A,1,j,a,2,j,A,2,j,a,nj,A,nj,(,j,=,1,2,n,).,下页,二、展开(zhn ki)定理,第七页，共29页。,定理(dngl)4 n阶行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应,的代数余子式乘积的和.即,D,a,i,1,A,i,1,a,i,2,A,i,2,a,in,A,in,(,i,=,1,2,n,),，,D,a,1,j,A,1,j,a,2,j,A,2,j,a,nj,A,nj,(,j,=,1,2,n,).,下页,二、展开(zhn ki)定理,第八页，共29页。,定理5 n阶行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应(duyng)元,素的代数余子式乘积的和等于零.即,a,i,1,A,j,1,a,i,2,A,j,2,a,in,A,jn,0 (,i,j,),，,a,1,i,A,1,j,a,2,i,A,2,j,a,ni,A,nj,0 (,i,j,).,下页,二、展开(zhn ki)定理,？,第九页，共29页。,例1分别(fnbi)按第一行与第二列展开行列式,1,1,-,2,0,1,3,-,2,3,1,D,=,解：按第一行展开(zhn ki),1,3,3,1,1,-,2,3,1,1,-,2,1,3,a,11,A,11,a,12,A,12,a,1,3,A,13,D,=,1,(,-,1),1,+,1,+,0,(,-,1),1,+,2,(,-,1),1,+,3,+,(,-,2),=,1,(,-,8),+,0,+,(,-,2),5,=-,18,.,三、利用展开定理(dngl)计算行列式,下页,第十页，共29页。,按第二列展开(zhn ki),1,-,2,3,1,1,-,2,-,2,1,1,1,-,2,3,=,0,+,1,(,-,3),+,3,(,-,1),5,=-,3,-,15,=-,18,.,例1分别(fnbi)按第一行与第二列展开行列式,1,1,-,2,0,1,3,-,2,3,1,D,=,解：按第一行展开(zhn ki),a,11,A,11,a,12,A,12,a,1,n,A,1,n,D,=,1,(,-,8),+,0,+,(,-,2),5,=-,18,.,(,-,1),3,+,2,+,3,(,-,1),2,+,2,+,1,(,-,1),1,+,2,=,0,a,12,A,12,a,22,A,22,a,32,A,32,D,下页,第十一页，共29页。,解：,将某行(列)化为一个(y)非零元后展开,例2计算(j sun)行列式,1,2,3 4,1 2 0,-,5,3,-,1,-,1 0,1,0 1 2,D,=,=,-,2,-,2,-,2,0,-,3,-,9,-,7,-,10,-,12,1,1 1,0,-,3,-,9,-,2 0,-3,-,5,=-,24,.,1,2,3 4,0 0,-,3,-,9,0,-,7,-,10,-,12,0,-,2,-,2,-,2,1,2,3 4,1 2 0,-,5,3,-,1,-,1 0,1,0 1 2,D,=,下页,第十二页，共29页。,解：,将某行(列)化为一个(y)非零元后展开,例2计算(j sun)行列式,1,2,3 4,1 2 0,-,5,3,-,1,-,1 0,1,0 1 2,D,=,=,(,-,1)(,-,1),3,+,2,7,1 4,7,-,2,-,5,1,1 2,6,0 2,9,0,-1,1,1 2,=,1,(,-,1),2,+,2,6,9,2,-,1,=-,6,-,18,=-,24,.,7,0,1 4,7 0,-,2,-,5,3,-,1,-,1 0,1,0 1 2,1,2,3 4,1 2 0,-,5,3,-,1,-,1 0,1,0 1 2,D,=,下页,第十三页，共29页。,例3.计算(j sun)行列式,解：,下页,第十四页，共29页。,例4 计算(j sun)行列式,解：,下页,第十五页，共29页。,加法 乘法和除法,(j=1,2,n).,0-2 -2 -2,降阶法 利用按行(列)展开定理，把高阶行列式转化(zhunhu)为低阶行列式进行计算,定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉(q dio)元素a i j 所在的第i行和第j列后,1 2 0-5,1 1 1,三、利用展开定理(dngl)计算行列式,285 339,定理1 含有(hn yu)n个未知量n个方程的线性方程组,二、展开(zhn ki)定理,令Aij(1)ijMij，,其中，Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数列b1,b2,bn,1 3,有且仅有一个(y)解,定义1 在n阶行列式D=|aij|中去掉(q dio)元素a i j 所在的第i行和第j列后,下页,第十六页，共29页。,(,D,2,=5),解：,例5.计算(j sun)行列式,下页,第十七页，共29页。,证明：从最后(zuhu)一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得,例6.证明(zhngmng)范得蒙德（Vandermonde）行列式,下页,第十八页，共29页。,下页,第十九页，共29页。,下页,第二十页，共29页。,由此推得,即,下页,第二十一页，共29页。,例,7,下页,解,第二十二页，共29页。,例8 过平面上的n个互异(h y)点能否惟一确定一条n-1次曲线：,解 假设曲线(qxin)过平面上的n个点分别为：,下页,即得：过平面(pngmin)上的n个互异点惟一确定一条n-1次曲线。,第二十三页，共29页。,求解行列式的基本方法,对角线法 仅对二、三阶行列式适合,定义法 对一般行列式可利用定义进行求解，利用该方法对行列式进行计算通常会比较麻烦,公式法 对一些行列式可利用性质将其转化(zhunhu)为上(下)三角形行列式、范德蒙德(Vandermonde)行列式等特殊行列式，利用公式进行计算,降阶法 利用按行(列)展开定理，把高阶行列式转化(zhunhu)为低阶行列式进行计算,递推法 对规律性强且元素多的行列式，可用按行(列)展开公式建立递推关系式求解行列式的值,下页,第二十四页，共29页。,行列式阶数,余子式,消元法,加法 乘法,加法 乘法和除法,2,1 2,1 3,3,5 9,5 10,4,23 40,14 23,5,119 205,30 44,10,368799 6235300,285 339,公式法与降阶法计算(j sun)效率的比较：,下页,第二十五页，共29页。,j=,1,2,n.,有且仅有一个(y)解,第3节 克拉默法则(fz),定理1 含有(hn yu)n个未知量n个方程的线性方程组,当其系数行列式,时,其中，,D,j,是把系数行列式,D,的第,j,列换为方程组的常数列,b,1,b,2,b,n,所得到的,n,阶行列式（,j,=1,2,n,）,.,下页,第二十六页，共29页。,例,1.,解线性方程组,下页,解:方程组的系数(xsh)行列式,因为(yn wi)D0,故方程组有唯一解.,.,第二十七页，共29页。,故方程组的解为,下页,进一步计算(j sun)(计算(j sun)过程，略)，有,第二十八页，共29页。,推论 含有(hn yu)n个未知量n个方程的线性方程组,如果无解或非唯一(wi y)解,则系数行列式D=0.,例如(lr)解线性方程组,下页,显然，此方程组无解,.,其系数行列式为,第二十九页，共29页。,
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