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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2020/11/2 Monday,#,第,5,章,三角函数,5.4.2,正弦函数、余弦函数的性质,人教,A,版,2019,高中数学必修第一册,第5章 三角函数5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质人教A版,1,正弦函数、余弦函数的性质,【,导学,1】,一般的函数图像都有哪些性质可以研究？,【,解答,】,图像特点、单调性、奇偶性、最值,(,极值,),等等,【1】,周期性：,观察正弦函数的图像，可以发现，在图像上，横坐标每隔,2,个单位,长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的,变化规律,.,实际上，这一点既可以从定义中看出，也能从诱导公式中得到反映,.,即自,变量 的值加上,2,的整数倍时所对应的函数值，与 所对应的函数值相等,.,数学,上用周期性来定量地刻画这种“周而复始”的规律,.,【,导学,2】,正弦函数 和余弦函数 的定义域和值域是什么？,【,解答,】,定义域都是,R,，值域都是,-1,，,1,正弦函数、余弦函数的性质【导学1】一般的函数图像都有哪些性质,2,正弦函数、余弦函数的性质,【,定义,】,一般地，设函数 的定义域为,D,，如果存在一个非零常数,T,，使得对每一,个 都有 ，且,.,那么函数 就叫做,周期函数,.,非零常数,T,叫做这个函数的,周期,.,周期函数的周期不止一个,.,例如,2,，,4,，,6,以及,-2,，,-4,，,-6,等,.,都是正弦,函数的周期,.,如果在周期函数 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数,就叫做 的,最小正周期,.,根据上述定义，有如下结论：,【1】,正弦函数是周期函数，,2k(k,Z,且,k,0),都是它的的周期，最小正周期是,2,【2】,余弦函数是周期函数，,2k(k,Z,且,k,0),都是它的的周期，最小正周期是,2,正弦函数、余弦函数的性质【定义】一般地，设函数,3,正弦函数、余弦函数的性质,【,周期函数的理解,】,对周期函数与周期定义中的“当 取定义域内的每一个值时”，要特别注意其中,“每一个”的要求,.,如果只是对某些 有 ，那么,T,就不是 的周期,.,自变量 本身加的常数才是最小正周期,.,如 中,T,不是最小正周,期，因为 ，所以 才是最小正周期,.,周期函数的周期不唯一,.,若,T,是函数 的最小正周期，则 也是,函数 的周期,.,并不是所有的周期函数都有最小正周期,.,例如，对于函数,所有非零实数,T,都是它的周期，而最小正周期是不存在的，所以常数函数没有最小,正周期,.,正弦函数、余弦函数的性质【周期函数的理解】对周期函数与周期,4,正弦函数、余弦函数的性质,【,例,1】,求下列函数的周期：,【,解,】,正弦函数、余弦函数的性质【例1】求下列函数的周期：【解】,5,奇偶性,【,探究,】,观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点,O,对称，余弦曲线,关于,y,轴对称,.,所以,正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数,.,【,注意,】,判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，,只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性,.,由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点,(0,0),对称，余弦曲线关于,y,轴,(x=0),对称,.,正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形,.,奇偶性【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原,6,7,【2】,求下列函数的周期,【,注意,】,本题也可以直接用公式求解：,【2】求下列函数的周期【注意】本题也可以直接用公式,8,【3】,下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？,【,解,】(1),奇函数,(2),偶函数,(3),奇函数,(4),奇函数,【3】下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？【解】(1)奇,9,探究与发现,探究与发现,10,探究与发现,探究与发现,11,单调性,【,探究,】,由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周期的区间里如,讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域,.,如图可以看到：当 由 增大到,时，曲线逐渐上升，的值由,1,减小,到,-1.,的值变化情况如图所示：,这也就是说，正弦函数 在区间 上单调递增，在区间,上单调递减,.,单调性【探究】由于正弦函数是周期函数，我们可以先在它的一个周,12,单调性,正弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从,-1,增,大到,1,；在每一个闭区间 上都单调递减，其值从,1,减小到,-1.,由上述结果结合正弦函数的周期性我们可以知道：,单调性 正弦函数在每一个闭区间,13,单调性,余弦函数在每一个闭区间 上都单调递增，其值从,-1,增大到,1,；,在每一个闭区间 上都单调递减，其值从,1,减小到,-1.,同样的道理结合余弦函数的周期性我们可以知道：,单调性 余弦函数在每一个闭区间,14,最大值与最小值,【,整理,】,从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到：,正弦函数当且仅当 时取得最大值,1,，,当且仅当 时取得最小值,-1,；,余弦函数当且仅当 时取得最大值,1,，,当且仅当 时取得最小值,-1,；,【,拓展,】,正弦、余弦函数图像上最大值处一般称为波峰，最小值处称为波谷,.,正弦函数和余弦函数都不是定义域上的单调函数,.,正弦函数和余弦函数的图像既是轴对称图形也是中心对称图形,.,最大值与最小值【整理】从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨,15,R,R,-1,，,1,-1,，,1,最小正周期为,2,最小正周期为,2,奇函数,偶,函数,【,正弦函数和余弦函数的性质对比,】,RR-1，1-1，1最小正周期为2最小正周期为2,16,THANKS,“,”,THANKS“”,17,
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