13.1.2线段的垂直平分线的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,13.1.2线段的垂直平分线的性质,学习目标：,1,理解线段垂直平分线的性质和判定,2,能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问,题,3,会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，,了解作图的道理,4,能用尺规作线段的垂直平分线,你能用不同的方法验证这一结论吗,？,探索并证明线段垂直平分线的性质,如图，直线,l,垂直平分线段,AB,，,P,1,，,P,2,，,P,3,，,是,l,上的点，请猜想点,P,1,，,P,2,，,P,3,，,到点,A,与点,B,的,距,离之间的数量关系,相,等,A,B,l,P,1,P,2,P,3,用几何语言表示为：,CA,=,CB,，,l,AB,，,PA,=,PB,证明：,A,B,P,C,l,线段垂直平分线的性质：,已知：如图，直线,l,AB,，垂足为,C,，,AC,=,CB,，点,P,在,l,上,求证：,PA,=,PB,证明：,“,线段垂直平分线上的点到线段两端点的距,离相等,”,l,AB,，,PCA,=,PCB,=90,0,又,AC,=,CB,，,PC,=,PC,，,PCA,PCB,（,SAS,）,PA,=,PB,线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等,8,课堂练习,练习,1,如图，,在,ABC,中,，,BC,=,8,，,AB,的中垂线,交,BC,于,D,，,AC,的中垂线交,BC,与,E,，,则,ADE,的周长等,于,_,A,B,C,D,E,P,A,B,C,已知：如图，,PA,=,PB,求证：点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,证明：,如图,作,PC,AB,则,PCA,=,PCB,=,90,在,Rt,PCA,和,Rt,PCB,中，,Rt,PCA,Rt,PCB,（,HL,）,AC,=,BC,又,PC,A,B,，,点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,PA,=,PB,，,PC,=,PC,，,反过来，如果,PA,=,PB,，那么点,P,是否在线段,AB,的垂直平分线上呢？,点,P,在线段,AB,的垂直平分线上,探索并证明线段垂直平分线的判定,用几何语言表示为,：,P,A,B,C,线段垂直平分线的判定,与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,PA,=,PB,，,点,P,在,AB,的垂直平分线上,这些点能组成什么几何图形？,你能再找一些到线段,AB,两端点的距离相等的点吗？,能找到多少个到线段,AB,两端点距离相等的点？,在线段,AB,的垂直平分线,l,上的,点与,A,，,B,的距离都相等；反过来，,与,A,，,B,的距离相等的点都在直线,l,上，所以,直线,l,可以看成与两点,A,、,B,的距离相等的所有点的集合,P,A,B,C,解：,AD,BC,，,BD,=,DC,AD,是,BC,的垂直平分线,AB,=,AC,点,C,在,AE,的垂直平分线上,AC,=,CE,AB,=,AC,=,CE,课堂练习,P62,2,如图，,AD,BC,，,BD,=,DC,，,点,C,在,AE,的垂直平分线上，,AB,，,AC,，,CE,的长度有什么关系？,AB,+,BD,与,DE,有什么关系,？,A,B,C,D,E,AB,=,CE,，,BD,=,DC,，,AB,+,BD,=,CD,+,CE,即,AB,+,BD,=,DE,解：,AB,=,AC,，,点,A,在,BC,的垂直平分线,MB,=,MC,，,点,M,在,BC,的垂直平分线上直线,AM,是线段,BC,的垂直,平分线,课堂练习,P62 2,练习,3,如图，,AB,=,AC,，,MB,=,MC,直线,AM,是线段,BC,的垂直平分线吗,？,A,B,C,D,M,（,1,）任意取一点,K,，,使点,K,与点,C,在直线AB两旁.,尺规作图,经过已知直线外一点作这条直线的垂线。,（,2,）以点C为圆心，CK为半径作弧，交AB于点D和点E.,（,4,）作直线CF，直线,CF,就是所求作的垂线。,C,A,B,K,F,D,E,已知：直线AB和AB外一点C 求作：AB的垂线，使它经过点C.,做法：,（,3,）分别以点D和点E为圆心，大于,的长为半径作弧，两弧相交于点F.,（,1,）作一条线段等于已知线,段；,（,2,）作一个角等于已知,角；,（,3,）作一个角的平分,线；,（,4,）经过已知直线外一点作这条直线的垂,线,那么利用尺规还能解决什么作图问题呢,？,我们已能用尺规完成,：,作线段的垂直平分线,如果两个图形成轴对称，其对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线因此，只要找到任意一组对应点，作出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形的对称轴,如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？,作线段的垂直平分线,例,1,如图，点,A,和点,B,关于某条直线成轴对称，,你能作出这条直线吗？,A,B,这种作法的依据是什么？,作线段的垂直平分线,A,B,C,D,作法：,（,1,）分别以点,A,，,B,为圆心，以大于,AB,的长为半径,作弧，两弧相交于,C,，,D,两点；,（,2,）作直线,CD,CD,就是所求作的直线,这种作图方法还有哪些作用？,确定线段的中,点,五角星的对称轴有什么特点？,你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条,对称轴,？,相交于一,点,如图中的五角星，请作出它的一条对称轴,.,课堂练习,练习,1,作出下列图形的一条对称轴，和同学比较,一下，你们作出的对称轴一样吗,？,课堂练习,练习,2,如图，角是轴对称图形吗,？如果是，它的,对称轴是什么？,课堂练习,练习,3,如图，与图形,A,成轴对称的是哪个图形？,画出它的对称轴,A,B,C,D,已知：,ABC,中，边,AB,、,BC,的垂直平分线交于点,P,。求证：,PA=PB=PC.,P,A,B,C,结论：,三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等。,拓展,：,如图所示，在,ABC,中，,AB=AC,32,，,MN,是,AB,的垂直平分线，且有,BC=21,，求,BCN,的周长。,如图，七（,1,）班与七（,2,）班两个班的学生分别在,M,、,N,两处参加植树劳动，现要在道路,AB,、,AC,的交叉区域内设一个茶水供应点,P,，使,P,到两条道路的距离相等，且,PM,=,PN,，请你用折纸的方法找出,P,点并说明理由。,M,N,B,C,A,做一做,P,3,、如图,PA=PB,，则直线,MN,是线段,AB,的垂直平分线。,结论,:,线段垂直平分线,上的点,与这条线段两个端点的距离相等。,反之，与线段两个端点的距离相等的点,在这条,线段垂直平分线,上。,所以，线段垂直平分线可以看作到线段两端的距离相等的所有点的,集合,。,课堂小结,11.3,角的平分线,O,D,E,A,B,P,C,定理,1,在角的平分线上的点到这个角的两边的,距离相等,。,定理,2,到一个角的两边的,距离相等,的点，在这个角的平分线上。,角的平分线是到角的,两边,距离,相等,的所有点的集合,12.1,线段的垂直平分线,定 理,线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的,距离相等,。,逆定理,和一条线段两个端点,距离相等,的点，在这条线段的垂直平分线上。,线段的垂直平分线可以看作是和线段,两个端点,距离相等,的所有点的集合,A,B,M,N,P,点的集合是一条射线,点的集合是一条直线,再见,