线性代数讲义(第一章)课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 行列式,二阶、三阶行列式,n阶行列式的定义,行列式的性质,行列式按行（列）展开,Cramer法则,第一章 行列式二阶、三阶行列式,1,用消元法解二元线性方程组,1、二阶行列式,1.二阶与三阶行列式,用消元法解二元线性方程组1、二阶行列式1.二阶与三阶行列,2,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,方程组的解为由方程组的四个系数确定.,3,为便于记忆，引入,记号,其中，数,称为行列式的元素。,该记号为一个数表，横排称为行，竖排称为列，共有两行,两列，故称之为,二阶行列式,。,每一元素有两个下标，第一个下标,i,称为 行标，表明,该元素位于行列式的第,i,行；第二个下标,j,称为列标，,表明该元素位于行列式的第,j,列；,为便于记忆，引入记号 其中，数称为行列式的元素。该记号为一,4,主对角线,辅对角线,若记,对于二元线性方程组,主对角线辅对角线若记对于二元线性方程组,5,则二元线性方程组的解为,则二元线性方程组的解为,6,三阶行列式的计算:,对角线法则,三阶行列式的计算:对角线法则,7,2 n阶行列式的定义,1.全排列与逆序数,定义1,如，1234和4312都是4阶排列，而53142为一个5阶排列。,显然，n阶全排列的个数为n！个,。,定义2,2 n阶行列式的定义1.全排列与逆序数定义1 如,8,例1,求下列排列的逆序数,逆序数为奇数的排列称为,奇排列,;,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,.,2.,n,阶行列式的定义,考察三阶行列式的定义,例1 求下列排列的逆序数 逆序数为奇数的排列称为奇,9,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，,其中，行标均按自然顺序排列，列标为3阶排列，,当列标取遍所有的3阶排列后，就得到三阶行列,式代数和中的所有项；,（,3）每项的正负号都取决于三个元素的列标排列的,奇偶性,（1）三阶行列式共有6项，即3阶排列的个数；,故,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积，（3）每项的,10,定义3,定义3,11,例2,计算,下三角形行列式,解,展开式的一般项为,不为零的项只有,例2 计算下三角形行列式解展开式的一般项为不为零的项只有,12,定义4,将一个排列中的两个数位置对调称为对换，,将相邻两个数位置对调称为相邻对换。,定理1,一次对换改变排列的奇偶性。,定理2,定理3,定义4 将一个排列中的两个数位置对调称为对换，定理1,13,3,行列式的性质,称之为,D,的转置行列式。,记,性质1,行列式与它的转置行列式相等.,3 行列式的性质称之为 D 的转置行列式。记性质1,14,性质2,交换行列式的两行（列）,行列式变号.,说明,行列式中行与列具有同等的地位,因此行列,式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.,例如,推论1,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,性质2 交换行列式的两行（列）,行列式变号.说明 行,15,性质,3,行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数,k,，,等于用数,k,乘此行列式.,推论2,行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于,16,推论,3,行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,推论3 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,17,性质4,若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则,D,等于下列两个行列式之和：,例如,性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.则D等于下,18,例,3,例3,19,解,解,20,线性代数讲义(第一章)课件,21,性质5,把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一,22,1、行列式与其转置行列式的值相等;,2、交换行列式的两行或两列,行列式的值变号;,3、用数k乘行列式的某一行(列),等于以数k乘此,行列式;,5、将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数,k,后加到另一行的对应元素上，行列式的值不变.,行列式的性质,4、如果行列式的某一列(行)的每一个元素都可写成两个数的和，则此行列式可以写成两个行列式的和;,1、行列式与其转置行列式的值相等;2、交换行列式的两行或两列,23,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,例,4,计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式,24,解,将第 列都加到第一列得,例,5,计算,n,阶行列式,解将第 列都加到第一列得例5,25,线性代数讲义(第一章)课件,26,4,行列式按行(列)展开,余子式与代数余子式,行列式按行（列）展开法则,4 行列式按行(列)展开 余子式与代数余子式,27,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第 列划去后，余下来的 阶行列式叫做元素 的,余子式,，记作,叫做元素 的,代数余子式,例如,1、,余子式与代数余子式,在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和,28,线性代数讲义(第一章)课件,29,2、行列式按行（列）展开法则,2、行列式按行（列）展开法则,30,例,6,定理4,行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即,例6定理4 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代,31,线性代数讲义(第一章)课件,32,推论,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,证,相同,考察下述行列式,推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代,33,同理,同理,34,关于代数余子式的重要性质,关于代数余子式的重要性质,35,证,用数学归纳法,例,7,证明范德蒙德(Vandermonde)行列式,证用数学归纳法例7证明范德蒙德(Vandermonde)行,36,线性代数讲义(第一章)课件,37,n-,1阶范德蒙德行列式,n-1阶范德蒙德行列式,38,例,8,计算n+1阶行列式,例8 计算n+1阶行列式,39,练习：,计算n阶行列式,练习：计算n阶行列式,40,5,Cramer,法则,非齐次与齐次线性方程组的概念,Cramer法则,齐次线性方程组的相关定理,5 Cramer法则 非齐次与齐次线性方程组的,41,设线性方程组,则称此方程组为,n元,非,齐次线性方程组,;,则称方程组为,n元,齐次线性方程组,.,1、非齐次与齐次线性方程组的概念,设线性方程组则称此方程组为n元非 齐次线性方程组;则称方程,42,2,、Cramer,法则,定理,5,如果,n,元线性方程组,的系数行列式,2、Cramer法则定理5 如果n元线性方程组的系数行,43,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解,可以表为,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方,44,例 9,解线性方程组,解,例 9 解线性方程组解,45,线性代数讲义(第一章)课件,46,线性代数讲义(第一章)课件,47,