椭圆的简单几何性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1.2椭圆的简单几何性质(1),复习：,1.,椭圆的定义,:,到两定点,F,1,、,F,2,的距离之和为常数（大于,|,F,1,F,2,|,）,的动点的轨迹叫做椭圆。,2.,椭圆的标准方程是：,3.,椭圆中,a,b,c,的关系是,:,a,2,=b,2,+c,2,当焦点在,X,轴上时,当焦点在,Y,轴上时,1、椭圆的方程中x与y的取值是否有限？,探究：,2、椭圆在坐标平面中的图形与x、y有什么关系？,二、,椭圆 简单的几何性质,-axa,-byb,知,椭圆落在,x=a,y=b,组成的矩形中,o,y,B,2,B,1,A,1,A,2,F,1,F,2,c,a,b,1,、范围：,椭圆的对称性,Y,X,O,P（x，y）,P,1,（-x，y）,P,2,（-x，-y）,2,、对称性,：,o,y,B,2,B,1,A,1,A,2,F,1,F,2,c,a,b,从图形上看，,椭圆关于,x,轴、,y,轴、原点对称。,从方程上看：,（,1,）把,x,换成,-x,方程不变，图象关于,y,轴对称；,（,2,）把,y,换成,-y,方程不变，图象关于,x,轴对称；,（,3,）把,x,换成,-x,，,同时把,y,换成,-y,方程不变，图象关于原点成中心对称。,3,、椭圆的顶点,令,x=0,，,得,y=,？，,说明椭圆与,y,轴的交点？,令,y=0,，,得,x=,？,说明椭圆与,x,轴的交点？,*,顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。,*长轴、短轴：线段,A,1,A,2,、,B,1,B,2,分别叫做椭圆的长轴和短轴。,a,、,b,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。,o,y,B,2,B,1,A,1,A,2,F,1,F,2,c,a,b,(0,b),(a，0),(0,-b),(-a，0),1,2,3,-1,-2,-3,-4,4,y,1,2,3,-1,-2,-3,-4,4,y,1,2,3,4,5,-1,-5,-2,-3,-4,x,1,2,3,4,5,-1,-5,-2,-3,-4,x,根据前面所学有关知识画出下列图形,（1）,（2）,A,1,B,1,A,2,B,2,B,2,A,2,B,1,A,1,4,、,椭圆的离心率,e,(,刻画椭圆扁平程度的量,),离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：,叫做椭圆的离心率。,1,离心率的取值范围：,2,离心率对椭圆形状的影响：,0eb,a,2,=b,2,+c,2,标准方程,范围,对称性,顶点坐标,焦点坐标,半轴长,离心率,a,、,b,、,c,的关系,|x|a,|y|b,关于,x,轴、,y,轴成轴对称；关于原点成中心对称,(a,0)、(-a,0)、(0,b)、(0,-b),(c,0)、(-c,0),长半轴长为,a,短半轴长为,b.,ab,a,2,=b,2,+c,2,|x|b,|y|a,同前,(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a),(0,c)、(0,-c),同前,同前,同前,例,1,已知椭圆方程为,9x,2,+25y,2,=225,它的长轴长是,：,。,短轴长是,：,。,焦距是,：,。,离心率等于,：,。,焦点坐标是,：,。,顶点坐标是,：,。,外切矩形的面积等于,：,。,10,6,8,60,解题的关键：,1,、将椭圆方程转化为标准方程 明确,a,、,b,2,、确定焦点的位置和长轴的位置,练习：已知椭圆 的离心率,求,m,的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐,标、顶点坐标。,练习,求下列椭圆的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率。,（,1,）,x,2,+9y,2,=81 (2)25x,2,+9y,2,=225,(3)16x,2,+y,2,=25 (4)4x,2,+5y,2,=1,例,2,求适合下列条件的椭圆的标准方程,经过点,P(,3,0),、,Q(0,2),；,长轴长等于,20,，离心率,3/5,。,一焦点将长轴分成,：,的两部分，且经过点,解,：方法一：设方程为,mx,2,ny,2,1,（,m,0,，,n,0,，,mn,），,将点的坐标方程，求出,m,1/9,n,1/4,。,方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在,x,轴上，且点,P,、,Q,分别是椭圆长轴与短轴的一个端点,，故,a,3,，,b,2,，,所以椭圆的标准方程为,注,：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：定位；定量,或,或,练习：,1.,根据下列条件，求椭圆的标准方程。,长轴长和短轴长分别为,8,和,6,，焦点在,x,轴上,长轴和短轴分别在,y,轴，,x,轴上，经过,P(-2,0),，,Q(0,-3),两点,.,一焦点坐标为（,3,，,0,）一顶点坐标为（,0,，,5,）,两顶点坐标为（,0,，,6,），且经过点（,5,，,4,）,焦距是,12,，离心率是,0.6,，焦点在,x,轴上。,2.,已知椭圆的一个焦点为,F,（,6,，,0,）点,B,，,C,是短轴的两端点，,FBC,是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。,例,3,：,(1),椭圆 的左焦点,是两个顶点，如果到直线,AB,的距,离为 ，则椭圆的离心率,e=,.,(3),设,M,为椭圆 上一点，为椭圆的焦点，,如果 ，求椭圆的离心率。,小结：,本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个,基本量,a,，,b,，,c,，,e,及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系,，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握,数与形,的联系。在本节课中，我们运用了,几何性质,，,待定系数法,来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了,函数与方程,以及,分类讨论,的数学思想。,3,、,P,为椭圆 上任意一点，,F,1,、,F,2,是焦,点，求,F,1,PF,2,的最大值,.,作业：,