高中数学2_4_2抛物线的几何性质学案新人教B版选修2-1

文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.2.4.2抛物线的几何性质1 .掌握抛物线的几何性质.（重点）2 .掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题.（重点）3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题.（难点）基础初探教材整理抛物线的几何性质阅读教材P61,完成下列问题标准方程y = 2px( p 0)y = - 2px(p0)x = 2py( p0)x = - 2py( p0)图形性质住日 八、八、准线P x-2P x-2P y= 2p y=2范围x0, yC Rx0, xe R ywo, xCR x 轴 y 轴 （0,0） e= 1判断（正确的打“，”，错误的打“x”）（1）抛物线关于顶点对称.（）（2）抛物线只有一个焦点，一条对称轴，无对称中心.（）（3）抛物线的标准方程虽然各不相同，但是其离心率都相同.（）【答案】（1） X （2） V （3） V质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑：疑问2: 解惑：疑问3: 解惑：小组合作型利用抛物线的性质求抛物线方程b例El 已知双曲线2x-2b2=l(a0, b0)的两条渐近线与抛物线y2 = 2px( p0)的准线分别交于 A B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2, 4AOB勺面积为小,求抛物线的标准方程.【精彩点拨】由双曲线离心率求得其渐近线方程，从而求得交点A, B的坐标，即可得到三角形面积表达式，从而得到p的值，进而写出标准方程.ca2b2b【自主解答】由已知得己=2,所以一a=4,解得a=0).抛物线的焦点到顶点的距离为3,一 p即2= 3, - p= 6,，抛物线的标准方程为 y2= 12x或y2= 12x, 其准线方程分别为 x= 3和x=3.抛物线几何性质的应用例回正三角形的-个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2= 2 Px(p0)上，求这个正三角形的边长.【精彩点拨】先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长.【自主解答】如图所示，设正三角形OAB勺顶点A, B在抛物线上，且坐标分别为 A(xi,22yi) , B(X2, y2),贝Uyi=2pxi, y2=2px2.又 OA OB 所以 x2+y2=x2+yl,即 x2 x2+ 2pxi 2Px2= 0,整理得(xi x2)( xi + x2 + 2p) = 0. xi0, x20,2 p0, xi= x2,由此可得 | yi| = | y?| ,即线段AB关于x轴对称，由此得/ AOx= 30 ,所以 yi = -3xi,与 y2=2pxi 联立，解得 yi = 2/p, . .|AB=2yi=4/p.抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件.本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A, B两点关于x轴对称.另外，抛物线方程中变量x, y的范围也是常用的几何性质.再练一题2.等腰直角三角形 AO咕接于抛物线y2=2px(p0), O为抛物线白顶点， OALOB则 RtABO勺面积是()【导学号：】A. 8p2B. 4p2C. 2p2D. p2【解析】由抛物线的对称性，可知koA= 1,可得A, B的坐标分别为(2p,2p), (2p,1 -，22p) ,Sa abo= 2 X 2 px 4 P= 4p .【答案】B探究共研型抛物线的焦点弦及其它弦的问题探究1直线过抛物线y2=2px(p0)的焦点F,与抛物线交于 A(xi, yi), B(x2, y。两 点，由抛物线的定义知，| AF=xi+p, |BF =x2+p,求|AB.一.p p【提本】| AB = | AF| +1 BF =xi +2+ x2+ 2 = xi + x2+ p.探究2解决焦点弦问题需注意什么?【提示】解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解.例图 过点Q4,1)作抛物线y= 8x的弦AB,恰被点Q所平分，求AB所在直线的 方程.【精彩点拨】法一：设 A：xi, yi), B(x2, y。，用点差法求kAB；法二：设直线 AB的方程，建立方程求解.【自主解答】法一 设以Q为中点的弦AB的端点坐标为 A(xi, yi), E(x2, y),则有2 c2 cyi = 8xi, y2= 8x2,.1. (yi + y2)( yi y2)= 8(xi x2).又 yi+y2 = 2, 1- yi-y2 = 4(xi-x2),所求弦AB所在直线的方程为 y-i = 4(x-4),即 4x- y- i5 = 0.y2= 8x,法二 设弦AB所在直线的方程为 y=k(x 4) + i.联立消去x,y= k x-4 + i,得 ky2-8y-32k+ 8=0, 此方程的两根就是线段端点A, B两点的纵坐标，由根与系数得yi + y2=g.k又 yi+y2=2,k = 4.所求弦AB所在直线的方程为 4x- y- i5 = 0.直线与抛物线相交的弦长问题直线和抛物线相交于 Nxi, yi) , B(x2, y。两点，直线的斜率为 k.(i) 一般的弦长公式：| AB = 1i + k21 xi-x2|.(2)焦点弦长公式：当直线经过抛物线y2= 2px(p0)的焦点时，弦长|AB=xi + x2+p.(3) “中点弦”问题解题策略方法再练一题3.已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A, B两点.(i)若|AB =i0,求实数m的值；(2)若OAL OB求实数m的值.y= x+m,22【解】 由 2 8 得 x + (2m- 8)x+m=0.设 A(xi, yi) , Rx2, y2), 则 xi+x2= 82m| xi - x2= m2, yi y2= m(xi +x2)+xi x2+n2文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持= 8m)因为|AB =5+ k2,xi+ X224x1X2 =木 464 32m= 10,所以 m=焉.2(2)因为 OALOB 所以 XiX2+yiy2= m+8mi= 0,解得 mi= - 8, mi= 0(舍去)，所以 mi= 8.构建体系1 .顶点在原点，对称轴是 x轴，并且顶点与焦点的距离等于4的抛物线的标准方程是()A. y2= 4 xB. x2=16yC. y2=16xD. y2=8x2p【解析】依题意知抛物线的万程为y=2px(p 0),又2=4,，p=8,2p=16,故万程为 y2= 16x.【答案】 C2 .若抛物线y2=2x上有两点 A B,且AB垂直于x轴，若|AB=2、/2,则抛物线的焦 点到直线AB的距离为()B.D.1A.21 C.61【解析】 线段AB所在的直线的方程为 x=1,抛物线的焦点坐标为 2, 0 ,则焦点到 ,1 1直线AB的距离为12=；.【答案】A3 .已知A呢过抛物线2x2=y的焦点的弦，若| AB =4,则AB的中点的纵坐标是 【导学号：】【解析】 设 A(X1, y1), B(X2, y2),由抛物线2x2= y,可得p = 4,| AB = y + y2+p=4,1 15y1 + y2 = 4-4=,故AB的中点的纵坐标是y1 + y2152 = 8 .158文档来源为：从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持.24 .右直线axy+1 = 0经过抛物线 y=4x的焦点，则实数 a=.【解析】由题意知抛物线的焦点为(1,0)，代入直线方程得 axi- 0+1 = 0, a= 1 1.【答案】15 .设直线y=2x + b与抛物线y2=4x交于A, B两点，已知弦 AB的长为35,求b的 值.y= 2x+ b,m 由丫2_收消去 y,得 4x2+4(b1)x+ b2= 0.由 0,得 bv 1.设 A(x1, y1), Rx2, y2).ntb2则 x1 + x2=1 b, x1x2=.4| x1 - x2| = yjx+ x22 4x1x2 = 1 2b.| AB = 1+2| x1 - x2| = 5J5 , 1 - 2b = 3-5. - 1-2b=9,即 b=- 4.我还有这些不足：(2)我的课下提升方案：(2)学业分层测评(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1 .已知点P(6 , y)在抛物线y2=2px(p0)上，若点P到抛物线焦点F的距离等于8,则 焦点F到抛物线准线的距离等于()A. 2B.1C. 4D.8【解析】抛物线y2=2px(p0)的准线为x=-p,因为P(6, y)为抛物线上的点，所以点P到焦点F的距离等于它到准线的距离，所以6+p = 8,所以p=4,即焦点F到抛物线准线的距离等于4,故选C.【答案】C2.抛物线y2=4x的焦点为F,点P为抛物线上的动点，点 M为其准线上的动点，当FPMK1等边三角形时，其面积为 ()B. 4A. 2 ：3C. 6【解析】 据题意知， FPM等边三角形,2mP 了，m ,则M i, m),等边三角形边长为| PF =| PM= | FM，PML抛物线的准线.设2m , i+ 4,又由F(i,0),2ipm=i fm,得 i+m=M i + i 2+m,得m= 2。3, 等边三角形的边长为【答案】D4,其面积为4故选D.3.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为的直线交抛物线于 A, B两点，若线段AB的中点的纵坐标为 2,则该抛物线的准线方程为A. x= 1B. x=- 1C. x = 2D. x=- 2【解析】设A( xi, yi), B(x2y。，代入抛物线方程得y2= 2pxi,2y2=2px2,一得,P=k=1(yi + y2)( yi y2)= 2p( x x2).P . y A . yi y22Pxi x242又.yi + y2 = 4, 所求抛物线的准线方程为 x=- i.【答案】B4.设F为抛物线C: y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30。的直线交 C于A, B两点，则I AB =()30A. 丁B 6C. i2D. 7 3【解析】焦点F的坐标为3, 0 ,直线AB的斜率为里所以直线AB的方程为丫=坐-43,代入 y2= 3x得弓而=0，321621设 A(xi, yi) , B(x2, y2),则 Xi + X2=y, 3 21 3，所以 | AB| = xi +X2+5 = F2=12,故选 C.【答案】C5.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于A(xi,yi),B(X2,y),若Xi+X2=6,那么|AB等于()A. i0B. 8C. 6D. 4【解析】由题意知p=2, | AE| =xH-x2+p=8.故选B.【答案】B二、填空题6 .抛物线y2=x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 .i【解析】设抛物线上点的坐标为(x, 5),此点到准线的距离为 x+4,到顶点的距离为yx2zqx2,由题意有x+ 4=Zx、jx2,，x=8，y=乎，此点坐标为 i +巫 8， 4【答案】8, 727 .直线y=kx+2与抛物线y2=8x有且只有一个公共点，则 k =.【解析】当k=0时，直线与抛物线有唯一交点，当kwo时，联立方程消去 y得k2x2+ 4( k-2)x+4=0,由题意 = i6(k2)2i6k2=0, . k=i.【答案】0或i8 .平面上一机器人在行进中始终保持与点F(i,0)的距离和到直线x=i的距离相等.若机器人接触不到过点P(-i,0)且斜率为k的直线，则k的取值范围是 .【导学号：】【解析】设机器人为A(x,y),依题意得点A在以F(i,0)为焦点，x=i为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y2=4x.过点R i,0),斜率为k的直线为y=k(x+i). 2 y=4x,2由得 ky4y +4k=0.y= kx+ k,当k = 0时，显然不符合题意;2当 kwo 时，依题意得 = ( 4) -4k - 4k0,解得k1或k 0),p设 A(xo, yo),由题知 M 0, 2 .|AM = 2p 2xo+ y+ 2 =17,，x0=8,代入方程 x0=2pyo,p得 8 = 2p 3-2 ,解得 p = 2 或 p=4.，所求抛物线的标准方程为x2= 4y或x2= 8y.210.已知直线l经过抛物线y=6x的焦点F,且与抛物线相交于 A, B两点.若直线l的倾斜角为60。，求| AB的值；(2)若|AB =9,求线段AB的中点M到准线的距离.【解】 因为直线l的倾斜角为60。，所以其斜率 k=tan 60 = 小.33又F2, 0 ,所以直线l的方程为y=V3 x-2 .y2= 6x,联立y=3消去 y 得 x2 5x + ：= 0.设 A(Xi,y。，B(x2,y2),则Xi +X2=5,一p p而 | AB = | AF +| BF =X1 + 2+x2+2= X1 + X2+ p,所以 | AB =5+3=8.(2)设a(Xi, y。，Rx2, y2),由抛物线定义知| AB = | AF + | BF = X1 +X2+p= Xi + X2+3,所以 xi+X2=6,于是线段 AB的中点 M的横坐标是3.3 3 9又准线方程是x= 2,所以M到准线的距离为3 + 1=1能力提升21 . (2016 荷洋期末)已知抛物线x = 2py( p0)的焦点为F,过F作倾斜角为30的直线与抛物线交于A, B两点，若犒,则篙=()1A. 一 51D- 2【解析】因为抛物线的焦点为F0, P ,故过点F且倾斜角为30。的直线的方程为y+ p,与抛物线方程联立得x223px-p2=0,解方程得 Xa= 3p33Xb= 3p,所以|AF |xa|1丽=的=3,故选C.2 .已知抛物线C: y2=8x与点M 2,2),过抛物线 C的焦点且斜率为k的直线与C交于a, b两点，若Ma Mb- 0,则k=(1A.2B.C. 2【解析】D.由题意可知抛物线的焦点坐标为(2,0),则过焦点且斜率为k的直线的方程为 y= k(x2),与抛物线方程联立，消去 y化简得k2x2-(4 k2+8)x+4k2=0,设点A(Xi,yi) , B(x2, y2),则 xi + X2= 4+ A, xiX2=4,所以 y + y2 = k(x1 + x2) 4k = g, y1y2= k2 X1X2kk2(xi+x2)+4 = 16,因为 Ma MBf 0,所以(xi+2)( x2+2) + (y12)( y2 2) =0(*),将上面各个量代入(*),化简得 k2 4k+4 = 0,所以 k=2,故选D.223.抛物线x2=2py(p0)的焦点为F,其准线与双曲线x y r 、 k3 3=1相交于A, B两点，右/ABF为等边三角形，则 p=【导学号：】【解析】 由于x2=2py(p0)的准线为y = - p,由x -y =3,解得准线与双曲线x2 y2= 3的交点为3+：P：B,所以AB=23+46.由 ABF为等边三角形，得p,解得p=6.【答案】64.已知抛物线x= y2与过点(一1,0)且斜率为k的直线相交于 A, B两点，O为坐标原 点，当 OAB勺面积等于 诉时，求k的值.【解】 过点( 1,0)且斜率为k的直线方程为y=k(x+1),x=y2,2由方程组消去x,整理得ky2+y-k=0,y= k x+1 ,设A(xi, yi) , B(x2, y2),由根与系数之间的关系得yi + y2=-, yiy2=- 1.k设直线与x轴交于点N, JE然N点的坐标为(一1,0). Sa oaiejSaoan+ Saobn= 2| Ot| y1| -1- -110,y1+y2 4y1y2=21 ON y1-y2|1 1 解得6或6.