高中数学《归纳与类比》素材1北师大版选修2-2

探究问题解决的巧妙之法归纳与类比数学学习过程的本身往往是对已有知识的不断提升，比如我们在学习分式的基本性质和分式的混合运算时通常是类比分数来进行的，这就是运用类比的方法来学习新知识。在考试中也经常由简单问题切入，不断改变问题的条件，升级问题的难度，并在此过程中通过类比和归纳的方法来获得解决问题的途径，进而解决问题.下面通过分析典型例题来诠释归纳和类这种数学思想方法的运用.例 1. 两个全等的直角三角形ABC 和 DEF 重叠在一起，其中A60 ，AC=1. 固定 ABC不动，将 DEF 进行如下操作：(1) 如图 1(1) ， DEF 沿线段 AB 向右平移 (即 D 点在线段 AB 内移动 )，连结 DC、CF 、FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.(2) 如图 1(2)，当 D 点移动到 AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由 .(3) 如图 1(3)， DEF 的 D 点固定在 AB 的中点时，然后绕D 点按顺时针方向旋转 DEF ，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连结AE，请你求出 sin 的值 .C( F)CFCFA(F)(E)DBAABED图 1(1)D图 1(2)BE解：(1) 过 C 点作 CGAB 于 G，在 Rt AGC 中，A 60 , AC1， sinA =sin60 = CG ，图 1(3)EAC CG3. 又 AB =2，CF2 S 梯形 CDBF =S ABC =1 AB CG =1233.2222AGBE(2) 菱形D解图 1(1)理由如下：C(F) CD BF ， FC BD ，四边形CDBF 是平行四边形 . DF AC ， ACB=90 ， CBDF ，四边形 CDBF 是菱形 .(F)(3) 过 D 点作 DH AE 于 H，A(E)DB则 S ADE =1ADEB1133.H222又 S ADE =1AE DH3 ，则 DH33(或21) .22AE77解图 1(3)E在 Rt DHE 中， sin = DH23(或21 ) .DE714用心爱心专心点 ： 如果 看第（3） 是不易求解的，但借助前两 的 ，并且在解决 运用 比的方法就可以 得解决 的渠道例 2将一 透明的平行四 形胶片沿 角 剪开，得到 2(1)中的两 三角形胶片 ABC和 DEF 将 两 三角形胶片的 点B 与 点 E 重合，把 DEF 点 B 顺时针方向旋 ， AC 与 DF 相交于点 O CAAAEFOBFOFB(E)B(E)CDCDD图 2(1)图 2(2)图 2(3)（1）当DEF旋 至如 C、D在同一直 上 ，AFD与DCA2(2)位置 ，点 B( E) 、的数量关系是（ 2）当 DEF 旋 至如 2(3)位置 ，（ 1）中的 成立 ？ 明理由（ 3）在 2(3) 中， 接 BO、AD ，探索 BO 与 AD 之 有怎 的位置关系，并 明解：（ 1）AFDDCA （或相等）（ 2）AFDDCA （或成立）理由如下：由 ABC DEF ，得到：AB DE， BC EF （或 BFEC ），ABC DEFBAC， EDFABCFBCDEFCBF ，ABFDEC ABDE，在 ABF 和 DEC 中，ABFDEC，BFEC， ABF DEC， BAFEDC BACBAFEDFEDC， FACCDF AODFACAFDCDFDCA ，AFDDCA （ 3）如 ， BOAD A由 ABC DEF ，点 B 与点 E 重合，得到 BACBDF，BABD G点 B 在 AD 的垂直平分 上，FO且BADBDA B(E)CDOADBADBAC ，ODABDABDF ，OADODA ，OAOD ，点 O 在 AD 的垂直平分 上直 BO 是 AD 的垂直平分 ，BOAD 点 ： 本 是 直 型 的 合考察， 了降低 度， 目由浅入深， 学生搭建了 比和 的空 ，其中第（2） 的“ 成立 ？” 的字眼可以引 学生 行探究和 比BA例 3如 3，平面内有公共端点的六条射 OA ， OB ，872OC ， OD ， OE ， OF ，从射 OA 开始按逆 C9 31FO 61， 2，3， 4， 5，6， 7，4方向依次在射 上写出数字1210511用心爱心专心ED图 3（1）“ 17”在射线上（ 2）请任意写出三条射线上数字的排列规律（ 3）“ 2007”在哪条射线上？解：（ 1）“ 17”在射线 OE 上（ 2）射线 OA 上数字的排列规律：6n5 ；射线 OB 上数字的排列规律：6n4；射线 OC 上数字的排列规律：6n3 ；射线 OD 上数字的排列规律：6n2 ；射线 OE 上数字的排列规律：6n1；射线 OF 上数字的排列规律：6n （ 3）在六条射线上的数字规律中，只有6n 3 2007 有整数解，解为 n 335 “ 2007 ”在射线 OC 上点评： 一般地，找规律的题目实际上均蕴含了归纳的思想.例 4如图4，在平面直角坐标系中，已知点P0 的坐标为 (1，0)，将线段 OP0 按逆时针方向旋转45 ，再将其长度伸长为 OP0 的 2倍，得到线段 OP1 ；又将线段 OP1 按逆时针方向旋转 45，长度伸长为 OP1 的 2 倍，得到线段 OP2 ；如此下去， 得到线段 OP3 ，OP4 ，P3y， OPn（ n 为正整数） .P2P4P（1）求点P6的坐标；（ 2）求 5 6 的面积；1POPOP0 (10)， x（3）我们规定：把点 Pn (xn， yn ) （ n 01，2，3， ）的横坐标 xn 、纵坐标 yn 都取绝对值后得到的新坐标图 4xn ，yn称之为点 Pn 的“绝对坐标” P5根据图中点Pn 的分布规律，请你猜想点Pn 的“绝对坐标” ，并写出来解：（ 1）根据旋转规律，点P6 落在 y 轴的负半轴，而点Pn 到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的2 倍，故其坐标为6，6)，即P6，P (0 2(0 64)（ 2）由已知可得， P0OP1 POP12 Pn 1OPn ，P (xy )y2sin452S011OPy12设1 1， 1，则1，P OP20122.又OP632 ，56( OP6)23221024 ，S P OPOP1S P0OP1OP11 S P OP1024S P OP102425122 .25601用心爱心专心（3）由题意知，OP0 旋转 8 次之后回到 x 轴正半轴，在这8 次中，点 Pn 分别落在坐标象限的平分线上或x 轴或 y 轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点Pn的坐标可分三类情况：令旋转次数为n ：当 n8k 或 n8k4 时（其中 k 为自然数），点 Pn 落在 x 轴上，此时，点Pn 的绝对坐标为 (2 n，0) ；当 n 8k 1 或 n 8k 3或 n 8k 5 或 n8k7时（其中 k 为自然数），点 Pn 落在各象限的平分线上， 此时，点Pn 的绝对坐标为22n，2n ，即2n 1，n 12；222 22当 n 8k 2 或 n 8k 6时（其中 k 为自然数），点 Pn 落在 y 轴上，此时，点 Pn 的绝对坐标为 (0，2n ) 点评： 归纳和类比的思想方法在这道题中得到了充分的体现，第三问虽然需要讨论， 但其解决的方法仍延承前面两问用心爱心专心