第4章拉丁方试验设计与分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,拉丁方试验设计,一、拉丁方格,二、标准拉丁方格,三、,n,阶拉丁方格的个数,四、正交拉丁方格,五、拉丁方格在安排试验中的应用,六、几点说明,七、拉丁方试验的直观分析,八、拉丁方试验的方差分析,一、拉丁方格,1.,定义：用,r,个拉丁字母排成,r,行,r,列的方阵，使每行每列中每个字母都只能出现一次，这样的方阵叫,r,阶拉丁方或,rr,拉丁方。,2.N,阶拉丁方格,2,阶或,2 2,拉丁方,A B b a,B C a b,（,I,）（,2,）,A B C,B C A 3,阶或,3 3,拉丁方,C A B,A B C D,B C D A 4 4,拉丁方,C D A B,D A B C,二、标准拉丁方格,1,。定义：方格的第一行和第一列按拉丁字母顺序排列。,2.N,阶标准拉丁方格的个数,2 2,标准拉丁方只有一个,A B,B A I,3 3,标准拉丁方只有一个,A B C,B C A I,C A B,44,标准拉丁方有,4,个,ABCD ABCD,ABCD,ABCD,BADC BADC BCDA BDAC,CDBA CDAB,CDAB,CABD,DCAB DCBA DABC DCBA,（,I,）（,II,）（,III,）（,IV,）,三、,n,阶拉丁方格的个数,一、方法：每个拉丁方格可用标准拉丁方格对行号或列号随机化排列方法得到其它符合要求的拉丁方格,二、操作：,1.,选中一个标准拉丁方格，编上行号或列号,2.,固定行号，列号用不同排列得到。有,n!,种,3.,固定第二步得到的,n!,个方格的列号及第一 行行号其它行用不同排列生成,(n-1)!,方格,三、,n,阶拉丁方格的个数,4.,计算总数,S,S=k,n!,(n-1)!K,为标准拉丁方格个数,三、实例：,n=2,时，,k=1,s=1,2!,1!=2,n=3,时，,k=1,s=1,3!,2!=12,n=4,时，,k=4,s=4,4!,3!=576,三、,3,阶拉丁方格的个数,:12,1 2 3 2 3 1,1 A B C 1 BCA,2 B C A,2 CAB ,3 C A B 3 ABC,(i)(2)(6),1 2 3 2 3 1,1 A B C 1 B C A,3 C A B 3 A B C,2 B C A 2 C A B,(7)(8)(12),四、正交拉丁方格,组合方格（,I,）和（,7,）：先编号再组合,A,1,B,1,C,1,A,7,B,7,C,7,A,1,A,7,B,1,B,7,C,1,C,7,B,1,C,1,A,1,C,7,A,7,B,7,B,1,C,7,C,1,A,7,A,1,B,7,C,1,A,1,B,1,B,7,C,7,A,7,C,1,B,7,A,1,C,7,B,1,A,7,合成方格具有以下性质,1.A,1,，,B,1,，,C,1,在各行各列中各出现一次,2.A,7,，,B,7,，,C,7,在各行各列中各出现一次,3.A,1,，,B,1,，,C,1,和,A,7,，,B,7,，,C,7,各组合一次（如对,A,7,：,A,1,A,7,，,B,1,A,7,和,C,1,A,7,各出现一次）,四、正交拉丁方格,定义,:,凡满足,3,的两个拉丁方格是相互正交的,定理：在,n,x,n,方格中，当,n(2),为素数或素数的幂时就有,n-1,个正交拉丁方格,特例：,n=2,时，无,n=3,时，有,n-1=2,个,N=4,时，有,n-1=3,个：,2,2,N=5,时，有,n-1=4,个,N=6,时，没有：不为素数或素数的幂,N=7,时，有,n-1=6,个,N=8,时，有,n-1=7,个：,2,3,3X3,，,4X4,正交拉丁方格系,3X3 4X4,I II I II III,123,123,1234,1234,1234,231 312 2143 3412 4321,312 231 3412 4321 2143,4321 2143 3412,五、拉丁方格在安排试验中的应用,消除与试验目的无关因素的影响,例,1,：考察,ABC,三种不同水稻品种对亩产量的影响，需安排“单因素三水平”试验,(a)(b)(c),A,B,C,A,C,A,C,B,B,B,A,C,A,B,C,B,C,A,C,A,B,五、拉丁方格在安排试验中的应用,在同样精度下可减少试验次数；在同样试验次数下可提高结论的准确性,例,2,：生产某种染料需三种原料：,A-,硫磺，,B-,烧碱，,C-,二硝基，每种原料均取四个水平，要找一个最好的配方，使质量又好，成本又低，应怎样安排试验？,全面试验：,4,3,=64,次,先考虑,A,，,B,两因素的全面试验，共,16,次,五、拉丁方格在安排试验中的应用,再安排,C,：在,4X4,中取一个正交拉丁方格，如取第,I,个。拉丁方格中的,1234,分别表示因素,C,的,4,个水平,C,1,，,C,2,，,C,3,，,C,4,，按相应位置插到全面试验的相应位置如下表,问：,A1B1C4,没出现，那这个试验安排会最优吗？,B1,B2,B3,B4,A1,A1B1C1,A1B2C2,A1B3C3,A1B4C4,A2,A2B1C2,A2B2C1,A2B3C4,A2B4C3,A3,A3B1C3,A3B2C4,A3B3C1,A3B4C2,A4,A4B1C4,A4B2C3,A4B3C2,A4B4C1,五、拉丁方格在安排试验中的应用,例,3,：生产某种染料用四种原料：,A-,硫磺，,B-,烧碱，,C-,二硝基，,D-,硫化碱，每种原料均取四个水平，要找最好配方，试验又该怎样安排？,CD,用,II,，,III,正交拉丁方格,B1,B2,B3,B4,A1,A1B1C1D1,A1B2C2D2,A1B3C3D3,A1B4C4D4,A2,A2B1C3D4,A2B2C4D3,A2B3C1D2,A2B4C2D1,A3,A3B1C4D2,A3B2C3D1,A3B3C2D4,A3B4C1D3,A4,A4B1C2D3,A4B2C1D4,A4B3C4D1,A4B4C3D2,六、几点说明,由前知，,4X4,正交拉丁方只有,3,个，对具,4,水平的因素，用正交拉丁格安排试验最多只能安排,2+3=5,个因素。,用正交拉丁格安排试验的前提：各因素间无交互作用。,优点：使用简单，搭配均衡。,思考,三水平能安排几个因素的试验？,A,，,B,两因素的全面试验能用,4X4,的两个正交方格组成吗？,答案,4,个,1,。,A,和,B,的全面试验,2,。,C,与,D,的,3X3,正交方格的组合,3,。,1,和,2,的组合,可以。只要各因素的,4,个水平与另一个因素的,4,个水平各相遇一次，搭配均匀即可。,七、拉丁方试验的直观分析,例：烟灰砖折断力试验,试验目的：寻找最佳工艺条件,折断力是指标,因素水平：生产经验知应选如下：,因素,水平,A (,),成型水分,B (,分,),碾压时间,C (,公斤,),一次碾压料重,1,8,7,340,2,10,10,370,3,12,13,400,用拉丁方安排试验,B1,B2,B3,A1,A1B1C1,A1B2C2,A1B3C3,A2,A2B1C2,A2B2C3,A2B3C1,A3,A3B1C3,A3B2C1,A3B3C2,B1,B2,B3,K,A,i,k,A,i,K,C,k,k,C,k,A1,16.8,18.9,16.5,52.2,17.4,58.9,19.6,A2,18.8,23.4,20.2,62.4,20.8,61.8,20.6,A3,26.2,21.9,24.1,72.2,24.0,66.1,22.0,K,B,j,61.8,64.2,60.8,R,A,=6.6,R,C,=2.4,k,B,j,20.6,21.4,20.3,R,B,=1.1,R,A,R,C,R,B,七、拉丁方试验的直观分析,1.,由,R,B,R,C,k,A,2,k,A,1,由知,A,的水平,3,好；同理,.,最佳工艺条件为,A,3,B,2,C,3,3.,当最佳点在试验范围的边界时，要扩大试验范围。如,A,3,，,C,3,工还可取水分,14,，碾压重取,340kg.,4.A,3,B,2,C,3,在试验中没有安排，但拉丁方却具备找出的此类结果的能力。,5.,实际上这是一个极差分析法。,八、拉丁方试验的方差分析,在研究对虾的配合饲料试验时，需要比较,5,种配方的效果,，现有,5,台饲料机和,5,个操作人员，这些机器的性能和操作人员的技术有所差异，在试验中必须消除由这两个外来变源造成的影响。对于这个问题可以按下面的方法进行试验。用每台机器做所有的,5,种配方，,5,个操作人员每人也做所有的,5,种配方，用这个设计进行试验，得到的结果（增重）如表。表中拉丁字母,A,、,B,、,C,、,D,、,E,表示,5,种配方。拉丁方设计可以在不增加试验次数的条件下，同时克服两个外来的变源的影响，但它要求试验总次数为该因素所设水平数的平方，且要求该因素与这两个方向上的划区作为因素来看，彼此间没有交互作用。,对虾饲料配方问题的拉丁方试验结果,机,器,操 作 者 （,k,列）,1,2,3,4,5,T,i,.,T.,j,.,1,2,3,4,5,A=12,B=10,C=11,D=13,E=11,B=10,C=12,D=15,E=14,A=13,C=11,D=15,E=13,A=13,B=10,D=12,E=13,A=13,B=11,C=15,E=12,A=17,B=11,C=11,D=15,57,67,63,62,64,68,52,60,70,63,T.,k,57,64,62,64,66,T=313,T.,k,2,3249,4096,3844,4096,4356,19641,解：,1.,拉丁方设计的统计模型,是,X,ijk,=,u+a,i,+b,j,+c,k,+e,ijk,i,j,k,=1,2,p,X,ijk,是第,i,行、第,k,列、第,j,个处理的观察值，,u,是试验的总均值，,a,i,是第,i,行效应，,b,j,是第,j,个处理的效应，,c,k,是第,k,列效应，,e,ijk,N(0,d,2,).,2.,方差分析,是把总离差平方和分成行、列、处理和误差四部分，行和列分别代表了两个外来变源。,自由度是,其中,在,H,0,:b,1,=,b,p,下,F=S,处,2,/S,e,2,服从自由度为,(p-1),(p-2)(p-1),的分布。,以下是,饲料配方试验的方差分析,