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,北师大,版 数学 八年级上册,第二章,实,数,2.7,二次根式,第,1,课时 二次根式,1,.,了解,二次根式,的概念及,二次根式,有意义,的条件,。,2,.,理解,最简二次根式,的定义并会识别,。,3.,会运用二次根式的,乘法法则,和,积的算术平方根,的性质进行简单运算,。,学习目标,某,手机,操作系统,的图标为圆角矩形，长为,cm,，宽为,cm,，则它的面积是多少呢？,如何计算,？,导入新知,根指数都为,2,;,被开方数为非负数,.,这些式子有什么共同特征？,新知一,二,次根式的概念,合作探究,两个必备特征,外貌特征：含有“”,内在特征：被开方数,a,0,一般地，我们把形如,的式子叫做二次根式,.“”,称为二次根号,.,提示：,a,可以是数，也可以是式,.,要使式子 有意义，a的取值范围是（）,（2）（）,如何计算？,例2 当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?,；,典例精析2 利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围,（6）（）,解：由题意得x-10，,下列各式是二次根式吗?,所以x+30，即x-3.,一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式.,典例精析 识别最简二次根式,当x2时，在实数范围内有意义.,（1）；,例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？,（1）;,；,（4）（）,（1）；,（1）;,例,1,下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？,解：,(,1,)(,4,)(,6,),均是二次根式,，其中,x,2,+,4,属于“非负数+正数”的形式一定大于零.,(,3,)(,5,),(,7,),均不是二次根式,.,是否含二次根号,被开方数是不是非负数,二次根式,不是二次根式,是,是,否,否,分析：,典例精,析,1,利用,二次根式的定义识别二次根式,（,1,）,；（,2,）,81,；（,3,）,；（,4,）,（,5,）,（,6,）,；（,7,）,下列,各式是二次根式吗,?,是,是,是,是,是,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,（,6,）,（,5,）,（,7,）,（,8,）,（,9,）,（,10,）,不是,不是,不是,不是,不是,巩固新知,例,2,当,x,是怎样的实数时,在实数范围内有意义,?,解：,由,x,-2,0,，得,x,2.,当,x,2,时，在实数范围内有意义,.,思考,当,x,是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,解：,由题意得,x,-1,0,，,所以,x,1,.,典例精,析,2,利用,二次根式有意义的条件求字母,的取值范围,（,1,）,合作探究,解,：,因为,被开方数,需大于或等于零，,所以,x,+3,0，即,x,-3,.,因为,分母,不能等于零，,所以,x,-10,，即,x,1,.,所以,x,-3,且,x,1,.,归纳小结,：,要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足,被开方数,0,，列不等式求解即可,.,若二次根式为分式的分母时，应同时考虑,分母不为零,.,（,2,）,x,取何值时,下列二次根式有意义,?,（,1,）,（,2,）,x,1,x,0,（,3,）,（,4,）,x,为全体实数,x,0,（,5,）,（,6,）,x,0,x,0,x,-1,且,x,2,(,7,),（,9,）,x,0,x,为全体实数,(,8,),巩固新知,（,1,）,，,；,，,；,，,；,，,6,6,20,20,你发现了什么？,新知二,二,次根式的运算法则,做一做,合作探究,，,6.480,；,（,2,）用计算器计算：,，,6.480,0.9255,0.9255,你有何发现？,（,a,0,，,b,0,）,，,（,a,0,，,b,0,）,商的算术平方根等于算术平方根的,商,.,积的算术平方根等于算术平方根的,积,.,归纳小结,化,简,:,解,：,(,1,),(,2,),(,3,),（,1,）；（,2,）,；,（,3,）,.,典例精,析,1,利用,二次根式的积的算术平方根进行计算,例,1,化,简,:,提示：,化简二次根式，就要把被开方数中的,平方数（或平方式）,从根号里开,出来,.,（,1,）,（,2,）,（,3,）,解,:,（,1,）,（,2,）,（,3,）,巩固新知,解,:,典例精,析,2,利用,二次根式的商的算术平方根进行计算,化简：,（,1,）（,2,）（,3,）,例,2,（,1,）,（,2,）,（,3,）,合作探究,化简：,（,7,）,解：,（,2,）,（,3,）,（,1,）,巩固新知,特点：,被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数或因式,.,最简二次根式：,一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做,最简二次根式,.,讨论,新知三,最简,二次根式的概念,右边一组数有哪些特点？,合作探究,最简二次根式的条件：,是,二次,根式；,被开方数中,不含分母,；,被开方数中不含能,开得尽方,的因数或因式,条件总结,外貌特征：含有“”,，,判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：,所以x-10，即x1.,新知二 二次根式的运算法则,典例精析 识别最简二次根式,(2)被开方数不含能开得尽方的因数(式)，即被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2；,新知二 二次根式的运算法则,(6)不是,因为分母中有二次根式,要使式子 有意义，a的取值范围是（）,另外还要具备分母中不含二次根式的条件,x取何值时,下列二次根式有意义?,A B CD,，,若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.,思考 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？,(6)不是,因为分母中有二次根式,（2）；,另外还要具备分母中不含二次根式的条件,例,下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是最简二次根式？不是最简二次根式的，请说明理由,解：,(,1,),不是,，,因为被开方数中含有分母,(,3,),不是,因为,被开方数是小数,(,即含有分母,),(,4,),不是,，,因为被开方数,24,x,中含有能开得尽方的因数,4,，,4,2,2,.,(,5,),不是,，,因为,x,3,6,x,2,9,x,x,(,x,2,6,x,9),x,(,x,3),2,，,被开方数中含有能开得尽方的因式,(,6,),不是,因为,分母中有二次根式,典例精析,识别,最简二次根式,(,2,),是,判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：,利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：,(,1,),被开方数,不含分母,，即被开方数必须是整数,(,式,),；,(,2,),被开方数,不含能开得尽方的因数,(,式,),，即被开方数中每个因数,(,式,),的指数都小于,根指数,2,；另外还要具备分母中不含二次根式的条件,方法点拨,判断下列各式是否为最简二次根式？,（,2,）（）,（,3,）,（）,（,4,）（）,（,1,）,（,）,（,5,）,（）,（,6,）（）,巩固新知,1.,要使式子 有意义，,a,的取值范围是（）,A.,a,0,B.,a,-2,且,a,0,C.,a,-2,或,a,0,D.,a,-2,且,a,0,2,下列式子一定是二次根式的是（,）,A,B,C,D,3.,下列根式中，不是最简二次根式的是（,）,A,B,C,D,D,C,C,课堂练习,4.,计算,：,解,：,（,1,）,;,（,2,）,.,（,1,）,=1213,=,156,;,（,2,）,=,a,2,.,二次根式,定义,带有,二次根号,在有意义条件下求字母的取值范围,抓住被开方数必须为,非负数,，从而建立不等式求出其解集,.,被开方数为,非负数,积的算术平方根,最简二次根式,商的算术平方根,归纳新知,D,x,9,课后练习,B,C,D,D,解：,(,3,),5,C,C,0.3ab,解：,(,1,),12,(,2,),143,17,一个直角三角形的斜边长为,12,cm,，,直角边长为,8,cm,，,求另一直角边的长,新知二 二次根式的运算法则,典例精析2 利用二次根式的商的算术平方根进行计算,(1)(4)(6)均是二次根式，其中x2+4属于“非负数+正数”的形式一定大于零.,提示：a可以是数，也可以是式.,（1）；,所以x+30，即x-3.,一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.,（5）（6）；,在有意义条件下求字母的取值范围,（1）;,判断一个二次根式是否是最简二次根式的方法：,利用最简二次根式需要同时满足的两个条件进行判断：,（4）（）,所以x-10，即x1.,了解二次根式的概念及二次根式有意义的条件。,x取何值时,下列二次根式有意义?,若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零.,下列各式是二次根式吗?,（2）；,提示：a可以是数，也可以是式.,再 见,
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