小专题复习课（四）

小专题复习课（四）,立体几何,热,点,聚,焦,考,情,播,报,热点一：空间几何体的三视图,1.,此类问题多为考查三视图的还原问题，且常与空间几何体的表面积、体积等问题结合命题,2.,试题多以选择题或填空题的形式出现，主要考查学生的空间想象能力及运算能力，属中档题,热点二：空间几何体的表面积与体积的计算问题,1.,此类问题常以三视图为载体，通常是给出某几何体的三视图，要求考生求解该几何体的表面积或体积,2.,试题以选择题、填空题为主，考查学生的计算能力，属中档题,热,点,聚,焦,考,情,播,报,热点三：有关线、面位置关系和命题真假的判断,1.,此类问题涉及知识面广，综合性强，通常是考查空间线线、线面、面面位置关系的判定与性质,2.,试题以选择题的形式出现，考查学生的空间想象能力及分析问题、解决问题的能力,热点四：空间位置关系的证明,1.,此类问题多以多面体为载体，考查线线、线面、面面间的平行与垂直之间的相互转化,2.,试题多为解答题，考查学生的推理能力和空间想象能力,热点五：折叠问题,1.,此类问题通常是把平面图形折叠成空间几何体，并以此为载体考查线线、线面、面面的位置关系及有关计算,2.,试题以解答题为主，考查学生的空间想象能力和知识迁移能力,热点 一,空间几何体的三视图,1.,如图是长和宽分别相等的两个矩形,.,给定下列三个命题：,存在三棱柱，其正视图、俯视图如图；,存在四棱柱，其正视图、俯视图如图；,存在圆柱，其正视图、俯视图如图,.,其中真命题的个数是,(),(A)3 (B)2 (C)1 (D)0,【,解析,】,选,A.,存在直三棱柱，其三视图中有两个为矩形，一个为直角三角形满足条件，故为真命题；,存在正四棱柱，其三视图均为矩形，满足条件，故为真命题；,对于任意的圆柱，其三视图中有两个为矩形，一个是以底面半径为半径的圆，也满足条件，故为真命题,.,故选,A.,2.,如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为,1,的正方形，,且体积为 则该几何体的俯视图可以是,(),【,解析,】,选,C.,方法一：体积为 ，而高为,1,，故底面积,为,，选,C.,方法二：选项,A,得到的几何体为正方体，其体积为,1,，故排,除,A,；而选项,B,，,D,所得几何体的体积都与,有关，排除,B,，,D,；,易知选项,C,符合,.,3.,某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是,(),(A)8 (B)(C)10 (D),【,解析,】,选,C.,该四面体是四个面均为直角三角形的四面体，,其面积分别为,6,，,8,，,10,，故最大面积为,10.,4.,若正三棱锥的正视图与俯视图,如图所示,(,单位：,cm),，则它的侧,视图的面积为,_ cm,2,.,【,解析,】,由正视图和俯视图可知，,侧视图的底边长为俯视图的高即,侧视图的高为正视图的高 所以,侧视图的面积为,(cm,2,).,答案,:,热点 二,空间几何体的表面积与体积的计算问题,1.(2013,济南模拟,),一个几何体,的三视图如图所示,(,单位,:cm),则此几何体的表面积是,(),(A)(80+)cm,2,(B)84 cm,2,(C)(96+)cm,2,(D)96 cm,2,【,解析,】,选,A.,由三视图可得该几何体是正四棱锥与正方体的,组合，,S,表面积,2.,若某几何体的三视图,(,单,位：,cm),如图所示，则此几,何体的体积为,(),(A)cm,3,(B)70 cm,3,(C)cm,3,(D)100 cm,3,【,解析,】,选,A.,由三视图可知，该几何体上部是一个圆台，,下部是一个半球，故其体积为,故选,A.,3.,一个几何体的三视图如,图所示，其中正视图是一,个正三角形，则这个几何,体的外接球的表面积是,(),(A)(B),(C)(D),【,解析,】,选,B.,根据三视图还原几何体为一个如图所示的三棱,锥,D-ABC,，其中平面,ADC,平面,ABC,，,ADC,为等边三角形,.,取,AC,的中点为,E,，连接,DE,，,BE,，,则有,DEAC,，所以,DE,平面,ABC,，,所以,DEEB.,由图中数据知,AE=EC=EB=1,，,设此三棱锥的外接球的球心,为,O,，则它落在高线,DE,上，连接,OA,，则有,所以 故球,O,的半径为,故所求几何体的外接球的表面积 故选,B.,4.(2013,海淀模拟,),某几何体的,正视图与俯视图如图所示，侧视,图与正视图相同，且图中的四边,形都是边长为,2,的正方形，两条虚,线互相垂直，则该几何体的体积,是,(),(A)(B),(C)6 (D)4,【,解析,】,选,A.,由三视图知，该几何体是正方体挖去一个以,正方体的中心为顶点，以正方体的上面为底面的四棱锥后,的剩余部分，其体积为 故选,A.,热点 三,有关线、面位置关系和命题真假的判断,1.,设,l,m,是两条不同的直线，,是一个平面，则下列命题正确的是,(),(A),若,l,m,m,则,l,(B),若,l,l,m,则,m,(C),若,l,m,，则,l,m,(D),若,l,m,则,l,m,【,解析,】,选,B.,根据线线、线面位置可知，,A,中,l,可在,内或者与,相交但不垂直或者,l,与,平行，,C,中,l,与,m,也可以垂直或异面，,D,中,l,与,m,也可以异面或相交,.,故选,B.,2.,设,，,，,为平面，,l,，,m,n,为直线，则,m,的一个充分条件为,(),(,A),=,l,m,l,(,B)n,n,m,(,C),=,m,(,D),m,，,m,【,解析,】,选,B.,如图知,A,错；如图知,C,错；如图在正方体中，两侧面,与,相交于,l,都与底面,垂直，,内的直线,m,，但,m,与,不垂直，故,D,错；由,n,n,得,.,又,m,则,m,，故,B,正确,.,3.(2013,武汉模拟,),设,为两个不重合的平面，,m,n,是两条不重合的直线，给出下列命题：,若,mn,m,则,n,;,若,n,m,与,相交且不垂直，则,n,与,m,不垂直；,若,=,m,nm,则,n,;,若,mn,n,则,m,.,其中所有真命题的序号是,_.,【,解析,】,若,mn,m,则,n,或,n,是假命题；,中的,n,与,m,可以垂直，假命题；中,n,，或,n,或,n,与,相交，但不垂直，或,n,，假命题；是真命题,.,答案,:,热点 四,空间位置关系的证明,1.,如图，已知,AB,平面,ACD,，,DEAB,，,AD=AC=DE=2AB=2,，,且,F,是,CD,的中点，,AF=.,(1),求证：,AF,平面,BCE.,(2),求证：平面,BCE,平面,CDE.,(3),求此多面体的体积,.,【,解析,】,(1),取,CE,的中点,P,，连接,FP,，,BP,，,F,为,CD,的中点，,FPDE,，且,FP=DE.,又,ABDE,，且,AB=DE,，,ABFP,，且,AB=FP,，,四边形,ABPF,为平行四边形，,AFBP.,又,AF,平面,BCE,，,BP,平面,BCE,，,AF,平面,BCE.,(2)AD=AC,，,F,是,CD,的中点，,AFCD.,AB,平面,ACD,，,DEAB,，,DE,平面,ACD.,又,AF,平面,ACD,，,DEAF.,又,AFCD,，,CDDE=D,，,AF,平面,CDE.,又,BPAF,，,BP,平面,CDE.,又,BP,平面,BCE,，平面,BCE,平面,CDE.,(3),此多面体是一个以,C,为顶点，以四边形,ABED,为底面的,四棱锥，又,AF=AC=AD=2,，,AFCD,，,CD=2,，,ACD,为等边三角形,.,S,四边形,ABED,=,平面,ABED,平面,ADC,，,等边三角形,ACD,中,AD,边上的高就是四棱锥的高，,2.,如图，在直四棱柱,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，四边形,ABCD,是梯形，,ADBC,，,ACCD,，,E,是,AA,1,上的一点,.,(1),求证：,CD,平面,ACE.,(2),若平面,CBE,交,DD,1,于点,F,，,求证,:EFAD.,【,证明,】,(1),因为,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,为直四棱柱，,所以,AA,1,平面,ABCD.,因为,CD,平面,ABCD,，所以,AA,1,CD,，即,AECD.,因为,ACCD,，,AE,平面,AEC,，,AC,平面,AEC,，,AEAC=A,，,所以,CD,平面,AEC.,(2),因为,ADBC,，,AD,平面,ADD,1,A,1,，,BC,平面,ADD,1,A,1,，所以,BC,平面,ADD,1,A,1,.,因为,BC,平面,BCE,，平面,BCE,平面,ADD,1,A,1,=EF,，,所以,EFBC.,因为,ADBC,，所以,EFAD.,热点 五,折叠问题,1.,将如图所示的直角梯形,ABEF(,图中数字表示对应线段的长度,),沿直线,CD,折成直二面角，连接部分线段后围成一个空间几何体，如图所示,.,(1),证明：,BE,平面,ADF.,(2),设,M,是,FB,的中点，求证：,EM,平面,BDF.,【,证明,】,(1)CEDF,，,CE,平面,DAF,，,DF,平面,DAF,，,CE,平面,DAF.,又,BCAD,，,BC,平面,DAF,，,AD,平面,DAF,，,BC,平面,DAF.,CEBC=C,，平面,CBE,平面,DAF.,又,BE,平面,CBE,，,BE,平面,ADF.,(2),取,BD,的中点,O,，连接,MO,，,CO.,则,MOFD,，且,MO=FDECMO,且,EC=MO,四边形,MECO,为平行四边形,MECO.,由已知,FDDC,，平面,FDC,平面,ABCD,，,平面,FDC,平面,ABCD=CD,，,FD,平面,ABCD,，,FDOC.,又易知,BDOC,，,BDFD=D,，,CO,平面,BDF.EM,平面,BDF.,2.,已知矩形,ABCD,中，,AB=3,，,AD=2,，点,E,在,CD,上且,CE=1,，如图,(1).,把,DAE,沿,AE,向上折起到,DAE,的位置，使二面角,D-AE-B,的大小为,120,，如图,(2).,(1),求四棱锥,D-ABCE,的体积,.,(2),求,CD,与平面,ABCE,所成角的正切值,.,(3),设,M,为,CD,的中点，棱,AB,上是否存在点,N,，使,MN,平面,DAE,？,若存在，试求出点,N,位置；若不存在，请说明理由,.,【解析】,(1),取,AE,的中点,P,，连接,DP,，,DP,由,DA=DE,，,DA=DE,DPAE,DPAE.,故,DPD=60,DDP,为等边三角形，,D,在平面,ABCD,内的射影,H,为,PD,的中点，,(2),由题意知,DCH,即为,CD,与平面,ABCE,所成的角,.,在三角形,CDH,中，,DH=,，,CD=3,，,CDH=45,由余弦定理可得,CH=,tanDCH,=,(3),取,CE,的中点,F,，连接,MF,，则,MFDE,，,在平面,ABCE,内过,F,作,FNAE,交,AB,于,N,，连接,MN.,又,MFNF=F,，,DEAE=E,，则平面,MFN,平面,DAE,，,又,MN,在平面,MFN,内，故,MN,平面,DAE,，,此时,AN=EF=CE=,，,故存在点,N,使,MN,平面,DAE.,