学案7对数函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,7,对 数 函 数,对,数,函,数,(1),理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数,;,了解对数在简化运算中的作用,.,(2),理解对数函数的概念及其单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点,会画底数为,2,10,的对数函数的图象,.,(3),体会对数函数是一类重要的函数模型,.,(4),了解指数函数,y=,a,x,(a,0,且,a1),与对数函数,y=,logax(a,0,且,a1),互为反函数,.,1.,对数及对数函数是中学阶段最基本的知识点之一,也是高考的必考内容之一,高考中重点考查定义、图象和性质，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算能力,.,2.,高考中以选择、填空的形式考查对数、对数函数的图象与性质，同时也以知识综合性较强的解答题形式出现，与导数结合考查单调性、极值、最值及某些参数的范围问题,.,1.,对数的概念,(1),对数的定义,一般地,如果,a,x,=,N(a,0,且,a1),那么数,x,叫做以,a,为底,N,的对数,记作,其中,叫做对数的底数,叫做真数,.,(2),几种常见对数,x=,log,a,N,a,N,对数形式,特点,记法,一般对数,底数为,a(a,0,且,a1),常用对数,底数为,自然对数,底数为,log,a,N,10,lgN,e,lgN,2.,对数的性质与运算法则,(1),对数的性质,=,;=,(a0,且,a1).,N,N,(2),对数的重要公式,换底公式,:,(,a,b,均大于零且不等于,1);,log,a,b,=,推广,log,a,blog,b,clog,c,d,=,.,(2),对数的运算法则,如果,a0,且,a1,M0,N0,那么,:,log,a,(MN,)=,;,=,;,=,(,nR,);,.,nlog,a,M,3.,对数函数的图象与性质,a1,0a1,时,当,0 x1,时,当,0 x0,y0,y0,增函数,减函数,4.,反函数,指数函数,y=a,x,与对数函数,互为反函数,它们的图象关于直线,对称,.,y=x,y=,log,a,x,考点,1,对数式的化简与求值,求下列各式的值：,（,1,）,;,（,2,）（,lg5),2,+2lg2-,（,lg2),2,.,【,分析,】,利用对数的运算性质求值,【,解析,】,（,1),原式,（,2),原式（,lg5+lg2,）（,lg5-lg2)+2lg2,=lg5-lg2+2lg2=lg5+lg2=1.,【,评析,】,对数式的化简与求值的常用思路,（,1,）先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并,.,（,2,）先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算,.,计算下列各式的值,:,(2),原式,=,(1),原式,=,【,解析,】,(3),原式,考点,2,对数函数的图象,已知函数,f(x,)=|,lgx,|,若,0ab,且,f(a,)=,f(b,),则,a+2b,的取值范围是,(),A.(2 ,+)B.,2 ,+),C.(3,+)D.,3,+),【,分析,】,可利用数形结合画出函数,f(x,),的图象,解出,a,与,b,的关系变为一元函数求取值范围,.,【,解析,】,如图,图作出,f(x,)=|,lgx,|,的大致图象,由,f(a,)=,f(b,),知,|,lga,|=|,lgb,|,lga+lgb,=0,ab=1.,b=.,a+2b=a+.,由题意知,0a1+=3,即,a+2b3.,故应选,C.,【,评析,】,本题考查函数图象及函数最值,属中档难度题,.,已知不等式,log,a,x,log,b,x,0,log,c,x,则 （）,A.0c1ba,B.0ba1c,C.0c1ab,或,0ab1c,D.0c1ab,或,0ba11,时，三个函数的图象关系如图（,1,）所示，此时有,0c1ab.,【,解析,】,【,答案,】,若,0 x1,时，则三个函数的图象关系如图（,2,）所示，此时有,0ba10,a1),如果对于任意,x,3,+),都有,|f(x)|1,成立,试求,a,的取值范围,.,【,分析,】,当,x,3,+),时,必有,|f(x)|1,成立,可以理解为函数,|,f(x,)|,在区间,3,+),上的最小值不小于,1.,【,解析,】,当,a1,时,对于任意,x,3,+),都有,f(x,)0.,|,f(x,)|=,f(x,),而,f(x,)=,log,a,x,在,3,+),上为增函数,对于任意,x,3,+),有,f(x)log,a,3.,因此,要使,|f(x)|1,对于任意,x,3,+),都成立,.,只要,log,a,31=,log,a,a,即可,1a3.,当,0a1,时,对于,x,3,+),有,f(x,)0,|f(x)|=-,f(x,).,f(x,)=,log,a,x,在,3,+),上为减函数,-,f(x,),在,3,+),上为增函数,.,对于任意,x,3,+),都有,|,f(x,)|=-f(x)-log,a,3.,因此,要使,|f(x)|1,对于任意,x,3,+),都成立,只要,-log,a,31,成立即可,log,a,3-1=,log,a,即 ,3,a1,在区间,(-,1-,上是减函数,g(x,)=x,2,-ax-a,在区间,(-,1-,上也是单调减函数,且,g(x,)0.,1-a2-2,g(1-)0,(1-),2,-a(1-)-a0,解得,2-2 a2.,故,a,的取值范围是,a|2-2 a .,【,分析,】,由条件,f(x+1)=f(x-1),得出函数,f(x,),是以,2,为周期的周期函数,这个条件是求各问的关键,.,【,解析,】,（,1,）,f(x+1)=f(x-1),且,f(x,),是,R,上的偶函数，,f(x+2)=,f(x,)=log,a,(2+x),x,-1,0,log,a,(2-x),x,0,1,.,(2),当,x,2k-1,2k,时，,f(x,)=f(x-2k)=log,a,(2+x-2k),同理，当,x,2k,2k+1,时，,f(x,)=log,a,(2-x+2k).,f(x,)=log,a,(2+x-2k),x,2k-1,2k,log,a,(2-x+2k),x,2k,2k+1,(,kZ,).,(3),由于函数以,2,为周期,故考查区间,-1,1,.,若,a1,log,a,2=,即,a=4.,若,0a0,，且,a1,u=2-ax,在,0,1,上是关于,x,的减函数,.,又,f(x,)=log,a,(2-ax),在,0,1,上是关于,x,的减函数，,函数,y=,log,a,u,是关于,u,的增函数，且对,x,0,1,时，,u=2-ax,恒为正数,.,其充要条件是 ，即,1abc,B.b,ac,C.a,cb,D.c,ab,由于对数函数,y=,log,a,x,的图象和性质与底数,a,的取值范围密切相关,.,当,a1,时，函数,y=,log,a,x,在定义域内为单调增函数，当,0a0,且,a1),互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别,.,2.,利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题，必须弄清三方面的问题，一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与,1,的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的,.,祝同学们学习上天天有进步！,