克莱姆法则讲解

,1.4,克莱姆法则,设线性方程组,则称此方程组为,非,齐次线性方程组,;,此时称方程组为,齐次线性方程组,.,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,定理,1.4.1,克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程,组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即,那么线性方程组,有解，并且解是唯一的，解,可以表为,证明,在把 个方程依次相加，得,由代数余子式的性质可知,于是,当 时,方程组 有唯一的一个解,由于方程组 与方程组,等价,故,也是方程组的,解,.,二、齐次线性方程组的相关定理,定理,1.4.2,如果齐次线性方程组,的系数行列式,则齐次线性方程组,仅有,零解,.,推论,1.4.1,如果齐次线性方程组,有非零解,则它,的系数行列式必为零,.,有非零解,.,系数行列式,例,1,用克莱姆法则解方程组,解,例,2,用克莱姆法则解方程组,解,解：方程组的系数行列式,例4,问 取何值时，齐次方程组,有非零解？,解,齐次方程组有非零解，则,所以 或 时齐次方程组有非零解,.,1.,用克莱姆法法则解方程组的两个条件,(1),方程个数等于未知量个数,;,(2),系数行列式不等于零,.,2.,克莱姆,法则建立了线性方程组的解和已知的系,数与常数项之间的关系,.,它主要适用于理论推导,.,三、小结,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆,法则解方程组,?,为什么,?,此时方程组的解为何,?,思考题解答,不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解,.,1.5,应用举例,行列式是数学研究的重要工具之一，如线性方程组的计算，初等代数中的因式分解、解析几何、线性微分方程、空间投影变换、会计学中成本计算、电子工程、控制论等等，在这我们就解析几何中求面积、体积和通过平面上定点的曲线方程上的应用作一举例,例,1,设平面上由三点坐标确定的三角形,ABC,C,A B,D F E,一）二阶行列式表示平行四边开的面积,定理1,.,5,.,1,二阶行列式D的列向量所确定的平等四边形的面积等于,证,：若D是对角行列式,当,D,不是2阶对角行列式时，由行列式性质,:,当行列式的二列交换或一列的倍数加到另一列上时，行列式的值不变，同时 我们可以通过这个性质将,D,变换成对角形的行列式。,由于列交换不改变对应的平等四边形所以只需证明以下结论。,设 为非零向量，则由 确定的平行四边形的面积等于由 确定的平等四边形面积,假设 的倍数，否则面积是,0,，,以 所确定的二个平等四边形，,其中，向量 是公共底边，高也相等，因而面积也相等,.,例,2,：计算由点（2,2）,（0,3），,（4,1）,（6，4）所构成的四边形面积,.,解：先将平行四边形平移到原点作其一顶点，,如每个顶点坐标都减去,（2，2），,这样,新的平行四边形与原平行四边形面积相等，,顶点是,（0，0）（2，5）（8，6）（6，1）,构造行列式,二）三阶行列式表示平等六面体的体积,定理1,.,5,.,2：三阶行列式D的列向量组所确定的平行六面体的体积等于,例,3,：求一个顶点在（0，0，0）相邻顶点在（1，0，1）（1，2，4）（7，1，0）的平行六面体的体积,.,解：以（0，0，0）为起点，作三个向量,三）行列式表示通过平面上的定点的直线、曲线方程,由此可得三线共点的条件：,三点共线充要条件：,同理可得空间直线方程：,证,：,这是一个以,A,D,E,F,为未知量的齐次线性议程组，且,A,D,E,F,不全为零，说明方程组有非零解，所以有,：,