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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第一节 随机事件的概率文,一、概率,1,在相同条件下，大量重复进行同一试验，随机事件,A,发生,的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件,A,发生的频率,具有,我们把这个常数叫做随机事件,A,的,记,作,稳定性,概率,P,(,A,),2,频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是,随机的，而,是一个确定的值，通常人们用,来反,映随机事件发生的可能性的大小有时也用,来作为,随机事件概率的估计值,概率,概率,频率,二、事件的关系与运算,定义,符号表示,包含关系,如果事件,A,，则事件,B,，这时称事件,B,包含事件,A,(,或称事件,A,包含于事件,B,),(,或,A,B,),相等关系,若,B,A,且,，那么称事件,A,与事件,B,相等,.,并事件,(,和事件,),若某事件发生,，称此事件为事件,A,与事件,B,的并事件,(,或和事件,),(,或,),发生,一定,发生,A,B,当且仅当事件,A,发,生或事件,B,发生,A,B,A,B,A,B,B,A,定义,符号表示,交事件,(,积事件,),若某事件发生,，则称此事件为事件,A,与事件,B,的交事件,(,或积事件,),(,或,),互斥事件,若,A,B,为,事件，那么事件,A,与事件,B,互斥,A,B,对立事件,若,A,B,为,事件，,A,B,为,，那么称事件,A,与事件,B,互为对立事件,当且仅当事件,A,发生,且事件,B,发生,不可能,不可能,必然条件,A,B,AB,三、概率的几个根本性质,1概率的取值范围：,0,1,1,0,P,(,A,),P,(,B,),1,P,(,B,),2,必然事件的概率,P,(,E,),.,3,不可能事件的概率,P,(,F,),.,4概率的加法公式,如果事件A与事件B互斥，那么P(AB),5对立事件的概率,假设事件A与事件B互为对立事件，那么AB为必然事,件P(AB)，P(A),1,如何从集合角度理解互斥事件与对立事件？,提示：假设A、B是两个互斥事件，反映在集合上是表示A、B所含结果组成的集合的交集为空集，假设A、B是两个对立事件，反映在集合上是表示A、B所含结果组成的集合的交集为空集且并集为全集.,1某入伍新兵在打靶练习中，连续射击2次，那么事件“至少,有1次中靶的互斥事件是 (),A至多有1次中靶B2次都中靶,C2次都不中靶 D只有1次中靶,1某入伍新兵在打靶练习中，连续射击2次，那么事件“至少,有1次中靶的互斥事件是 (),A至多有1次中靶B2次都中靶,C2次都不中靶 D只有1次中靶,解析：事件“至少有1次中靶包括“中靶1次和“中靶2次,两种情况，由互斥事件的定义，可知“2次都不中靶与,之互斥,答案：,C,2甲、乙两人下棋，甲获胜的概率是40%，甲不输的概率,为90%，那么甲、乙二人下成和棋的概率为 (),A60%B30%,C10%D50%,解析：,甲、乙二人下成和棋的概率为,50%.,答案：,D,3某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，,在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是,5%和3%，那么抽验一只是正品(甲级)的概率为 (),A0.95 B0.97,C0.92 D0.08,解析：,记抽验的产品是甲级品为事件,A,，是乙级品为事件,B,，是丙级品为事件,C,，这三个事件彼此互斥，因而抽验产品是正品,(,甲级,),的概率为,P,(,A,),1,P,(,B,),P,(,C,),1,5%,3%,92%,0.92.,答案：,C,4,中国乒乓球队甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单,打比赛，甲夺得冠军的概率为 ，乙夺得冠军的概率,为 ，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为,_,解析：设事件A为“甲夺得冠军，事件B为“乙夺得冠军，,那么P(A)因为事件A和事件B是互斥事件,答案：,5,在人民商场付款处排队等候付款的人数及其概率如下：,排队人数,0,1,2,3,4,5,人以上,概率,0.1,0.16,0.3,0.3,0.1,0.04,那么至少有两人排队的概率为_,解析：,P,1,(0.1,0.16),0.74.,答案：,0.74,概率可看做频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小，它是频率的科学抽象，当试验次数越来越多时频率向概率靠近只要次数足够多，所得频率就近似地当做随机事件的概率,某篮球运发动在最近几场大赛中罚球投篮的结果如下：,(1)计算表中进球的频率；,(2)这位运发动投篮一次，进球的概率是多少？,投篮次数,n,8,10,12,9,10,16,进球次数,m,6,8,9,7,7,12,进球频率,解答此题可根据频率的计算公式fn(A)=,其中n为相同条件下重复的试验次数,m为事件A出现的次数,且随着试验次数的增多,频率接近概率.,【解】(1)由公式可计算出每场比赛该运发动罚球进球的频率依次为,(2)由(1)知，每场比赛进球的频率虽然不同，但频率总是在,的附近摆动，可知该运发动投篮一次，进球的概率约,为,1,现有语文、数学、英语、物理和化学共,5,本书，从中任,取,1,本，取出的是理科书的概率为,(,),解析：,P,答案：,C,应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解,某城市2021年的空气质量状况如下表所示：,其中污染指数T50时，空气质量为优；50T100时，空气质量为良；100T150时，空气质量为轻微污染，求该城市2021年空气质量到达良或优的概率,污染指数,T,30,60,100,110,130,140,概率,P,将所求事件认真分析，转化为几个互斥事件的概率求法,.,【解】由题意，知2021年该城市空气质量到达良或优为T50或50T100,2(2021德州模拟)一个袋子中有5个大小相同的球，其中,有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，那么恰好取,到两个同色球的概率是 (),解析：,任取两球的取法有,10,种，取到同色球的取法有两类共有,3,1,4,种，故,P,答案：,C,互斥事件与对立事件的区别与联系,互斥事件与对立事件都是两个事件的关系，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件,一盒中装有各色球,12,只，其中,5,个红球、,4,个黑球、,2,个白球、,1,个绿球从中随机取出,1,球，求：,(1),取出的,1,球是红球或黑球的概率；,(2),取出的,1,球是红球或黑球或白球的概率,解答此题既可用互斥事件的概率公式求解，也可用对立事件的概率公式求解.,【,解,】,法一：,(,利用公式,P,(,A,),求概率,),(1),从,12,只球中任取,1,球得红球有,5,种取法，得黑球有,4,种取法，得红球或黑球共有,5,4,9,种不同取法，任取,1,球有,12,种取法,任取,1,球是红球或黑球的概率为,(2),从,12,只球中任取一球得红球有,5,种取法，得黑球有,4,种取法，得白球有,2,种取法从而得红球或黑球或白球的概率为,法二：(利用互斥事件求概率),记事件A1任取1球为红球；A2任取一球为黑球；A3任取一球为白球；A4任取一球为绿球，,那么P(A1),根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件概率公式，得：,(1)取出1球为红球或黑球的概率为,P(A1A2)P(A1)P(A2),(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为,P(A1A2A3)P(A1)P(A2)P(A3),法三：,(,利用对立事件求概率的方法,),(1),由法二知，取出,1,球为红球或黑球的对立事件为取出一白球或绿球，即,A,1,A,2,的对立事件为,A,3,A,4,.,所以取得一红球或黑球的概率为：,P,(,A,1,A,2,),1,P,(,A,3,A,4,),1,P,(,A,3,),P,(,A,4,),(2),A,1,A,2,A,3,的对立事件为,A,4,，,所以,P,(,A,1,A,2,A,3,),1,P,(,A,4,),3一枚硬币连掷5次，那么至少一次正面向上的概率为(),解析：,P=1,答案：,B,对于互斥事件的概率及运算的考查多为选择、填空题,有时也会出现在解答题中，难度不大，属中档题.2021年天津卷综合考查了抽样方法与互斥事件的概率的求法，综合性较强.,(2021天津高考)(本小题总分值12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查A，B，C区中分别有18,27,18个工厂,(1)求从A，B，C区中应分别抽取的工厂个数；,(2)假设从抽得的7个工厂中随机地抽取2个进行调查结果的比照，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率,解,(1),工厂总数为,18,27,18,63,，,样本容量与总体中的个体数的比为 ，,所以从,A,，,B,，,C,三个区中应分别抽取的工厂个数为,2,3,2.,(2),设,A,1,，,A,2,为在,A,区中抽得的,2,个工厂，,B,1,，,B,2,，,B,3,为在,B,区中抽得的,3,个工厂，,C,1,，,C,2,为在,C,区中抽得的,2,个工厂,在这,7,个工厂中随机地抽取,2,个，全部可能的结果有：,(,A,1,，,A,2,),，,(,A,1,，,B,1,),，,(,A,1,，,B,2,),，,(,A,1,，,B,3,),，,(,A,1,，,C,1,),，,(,A,1,，,C,2,),，,(,A,2,，,B,1,),，,(,A,2,，,B,2,),，,(,A,2,，,B,3,),，,(,A,2,，,C,1,),，,(,A,2,，,C,2,),，,(,B,1,，,B,2,),，,(,B,1,，,B,3,),，,(,B,1,，,C,1,),，,(,B,1,，,C,2,),，,(,B,2,，,B,3,),，,(,B,2,，,C,1,),，,(,B,2,，,C,2,),，,(,B,3,，,C,1,),，,(,B,3,，,C,2,),，,(,C,1,，,C,2,),，共有,21,种,随机地抽取的,2,个工厂中至少有,1,个来自,A,区的结果,(,记为事件,X,),有：,(,A,1,，,A,2,),，,(,A,1,，,B,1,),，,(,A,1,，,B,2,),，,(,A,1,，,B,3,),，,(,A,1,，,C,1,),，,(,A,1,，,C,2,),，,(,A,2,，,B,1,),，,(,A,2,，,B,2,),，,(,A,2,，,B,3,),，,(,A,2,，,C,1,),，,(,A,2,，,C,2,),，共有,11,种,所以这,2,个工厂中至少有,1,个来自,A,区的概率为,P,(,X,),此题在解决时主要的问题是列举事件的根本领件时会出现遗漏，书写步骤时要按照事件的顺序去写这样会不重不漏，从而得出正确的结果另外，在此题(2)条件下，求抽取的两个工厂中全部来自B区的概率,
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