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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第九节变化率与导数、导数的计算,考纲点击,1.,了解导数概念的实际背景,.,2.,理解导数的几何意义,.,3.,能根据导数定义求函数,y,c,，,y,x,，,y,x,2,，,y,x,3,，,的导数,.,4.,能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数能求简单的复合函数,(,仅限于形如,f(ax,b),的复合函数,),的导数,.,热点提示,1.,导数的几何意义是高考考查的重点内容，常以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在解答题中,.,2.,导数的运算每年必考，一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算,.,1.,函数,y,f(x),从,x,1,到,x,2,的平均变化率,函数,y,f(x),从,x,1,到,x,2,的平均变化率为,若,x,x,2,x,1,，,y,f(x,2,),f(x,1,),，则平均变化率可表示为,2.,函数,y,f(x),在,x,x,0,处的导数,(1),定义,称函数,y,f(x),在,x,x,0,处的瞬时变化率,为函数,y,f(x),在,x,x,0,处的导数，记作,f(x,0,),或,y|x,x,0,，即,f(x,0,),(2),几何意义,函数,f(x),在点,x,0,处的导数,f(x,0,),的几何意义是在曲线,y,f(x),上点,(x,0,，,f(x,0,),处的切线的斜率相应地，切线方程为,3.,函数,f(x),的导函数,称函数,f(x),为,f(x),的导函数，导函数有时也记作,y.,y,y,0,f(x,0,)(x,x,0,),4.,基本初等函数的导数公式,5.,导数运算法则,(1)f(x)g(x),；,(2)f(x)g(x),；,6.,复合函数的导数,复合导数,y,f(g(x),的导数和函数,y,f(u),，,u,g(x),的导数间的关系为,y,x,，即,y,对,x,的导数等于,的导数与,的导数的乘积,f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x),y,u,u,x,y,对,u,u,对,x,1.,已知函数,y,f(x),x,2,1,，在,x,2,，,x,0.1,时，,y,的值为,(,),A.0.40,B,0.41,C.0.43 D,0.44,【,解析,】,y,f(2,x),f(2),(2,x),2,1,(2,2,1),2,2,4x,(x),2,1,2,2,1,4x,(x),2,40.1,(0.1),2,0.4,0.01,0.41.,【,答案,】,B,【,解析,】,【,答案,】,B,3.,设,f,0,(x),sin x,，,f,1,(x),f,0,(x),，,f,2,(x),f,1,(x),，,，,f,n,1,(x),f,n,(x),，,nN,，则,f,2009,(x),等于,(,),A.sin x B,sin x,C.cos x D,cos x,【,解析,】,f,0,(x),sin x,，,f,1,(x),f,0,(x),cos x,，,f,2,(x),f,1,(x),sin x,，,f,3,(x),f,2,(x),cos x,，,f,4,x,f,3,(x),sin x,，,f,n,(x),以,4,为周期，,f,2009,(x),f,1,(x),cos x,【,答案,】,C,【,解析,】,【,答案,】,【,解析,】,y,(sin x),cos x,，,【,答案,】,利用导数的定义求函数的导数,求函数,y,在,x,1,处的导数,【,思路点拨,】,方法一：,利用定义求导数值；,方法二：,先求导函数，再求导函数值,【,自主探究,】,方法一：,(,导数定义法,),方法二：,(,导函数的函数值法,),【,方法点评,】,1.,根据导数的定义求函数,y,f(x),在点,x,0,处导数的方法：,(1),求函数的增量,y,f(x,0,x),f(x,0,),；,(2),求平均变化率,(3),得导数,f(x,0,),简记作：一差、二比、三极限,2.,函数的导数与导数值的区别与联系：导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数,【,解析,】,y,(x,x),2,a(x,x),b,(x,2,ax,b),x,2,2xx,(x),2,ax,ax,b,x,2,ax,b,2xx,(x),2,ax,，,y,2x,a.,1.,利用导数的定义，求函数,y,x,2,ax,b(a,、,b,为常数,),的导数,导数的运算,【,思路点拨,】,先正确地分析函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成；求导时，可设出中间变量，注意要逐层求导不能遗漏，每一步对谁求导，不能混淆,求下列函数的导数：,【,自主探究,】,(2),设,u,2x,3,，则,y,(2x,3),5,由,y,u,5,与,u,2x,3,复合而成，,y,f(u)u(x),(u,5,)(2x,3),5u,4,2,10u,4,10(2x,3),4,.,【,方法点评,】,1.,运用可导函数求导法则和导数公式，求函数,y,f(x),在开区间,(a,，,b),内的导数的基本步骤：,(1),分析函数,y,f(x),的结构和特征；,(2),选择恰当的求导法则和导数公式求导；,(3),整理得结果,2.,对较复杂的函数求导时，应先化简再求导，特别是对数函数真数是根式或分式时，可用对数的性质转化真数为有理式或整式求解更为方便,3.,复合函数的求导方法,求复合函数的导数，一般是运用复合函数的求导法则，将问题转化为求基本函数的导数解决,(1),分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，适当选定中间变量；,(2),分步计算中的第一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的是中间变量；,(3),根据基本函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导数，并把中间变量转换成自变量的函数；,(4),复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程,2.,求下列函数的导数：,(1)y,(3x,3,4x)(2x,1),；,(2)y,3,x,e,x,2,x,e,；,(4)y,sin 2x.,【,解析,】,(1)y,(3x,3,4x)(2x,1),6x,4,3x,3,8x,2,4x,，,y,24x,3,9x,2,16x,4.,或,y,(3x,3,4x)(2x,1),(3x,3,4x)(2x,1),(9x,2,4)(2x,1),(3x,3,4x)2,24x,3,9x,2,16x,4.,(2)y,(3,x,e,x,),(2,x,),(e),(3,x,)e,x,3,x,(e,x,),(2,x,),3,x,ln3e,x,3,x,e,x,2,x,ln2,(ln3,1)(3e),x,2,x,ln2.,(4)y,(sin 2x),(cos 2x)(2x),2cos 2x.,导数的几何意义,已知直线,l,1,为曲线,y,x,2,x,2,在点,(1,0),处的切线，,l,2,为该曲线的另一条切线，且,l,1,l,2,.,(1),求直线,l,2,的方程；,(2),求由直线,l,1,、,l,2,和,x,轴所围成的三角形的面积,【,思路点拨,】,(1),用导数的定义或求导公式求直线的斜率,(2),第,(2),问可先求出,l,1,与,l,2,的交点，再求三角形的面积,【,自主探究,】,(1)y,2x,1.,直线,l,1,的方程为,y,3x,3.,设直线,l,2,过曲线,y,x,2,x,2,上的点,B(b,，,b,2,b,2),，,则,l,2,的方程为,y,(2b,1)x,b,2,2.,【,方法点评,】,本题由导数的几何意义及直线垂直的位置关系可求直线,l,2,的斜率，然后根据待定系数法求出,l,2,与曲线,y,x,2,x,2,的切点坐标，即可求出切线方程，从而也就较容易地求出,l,1,，,l,2,，,x,轴所围成的三角形的面积,3.,偶函数,f(x),ax,4,bx,3,cx,2,dx,e,的图象过点,P(0,1),，且在,x,1,处的切线方程为,y,x,2,，求,y,f(x),的解析式,【,解析,】,f(x),的图象过点,P(0,1),，,e,1,又,f(x),为偶函数，,f(,x),f(x),故,ax,4,bx,3,cx,2,dx,e,ax,4,bx,3,cx,2,dx,e.,b,0,，,d,0,f(x),ax,4,cx,2,1.,函数,f(x),在,x,1,处的切线方程为,y,x,2,，,可得切点为,(1,，,1),a,c,1,1,f(1),(4ax,3,2cx)|,x,1,4a,2c,，,4a,2c,1,1.(2009,年天津高考,),设函数,f(x),在,R,上的导函数为,f(x),，且,2f(x),xf(x),x,2,.,下面的不等式在,R,上恒成立的是,(,),A.f(x),0,B,f(x),0,C.f(x),x D,f(x),x,【,解析,】,方法一：,用排除法，设,x,0,，则,f(0),0,，排除,B,、,D,；设,f(x),x,2,，符合题目条件，但,C,不恒成立，故选,A.,方法二：,由题意得,当,x,0,时，,2f(0),0,，即,f(0),0,；,当,x,0,时，,2xf(x),x,2,f(x),x,3,0,，即,当,x,0,时，,2xf(x),x,2,f(x),x,3,0,综上所述：,f(x),0.,【,答案,】,A,【,解析,】,【,答案,】,D,3.(2009,年江西高考,),若存在过点,(1,0),的直线与曲线,y,x,3,和,y,【,解析,】,令过,(1,0),的直线与,y,x,3,切于点,(x,0,，,y,0,),，,切线斜率为,k,3x,0,2,.,设切线方程为,y,3x,0,2,(x,1),，,【,答案,】,A,【,解析,】,【,答案,】,1,5,(2008,年北京,),如右图函数,f(x),的图象是折线段,ABC,，其中,A,、,B,、,C,的坐标分别为,(0,4),，,(2,0),，,(6,4),，则,f(f(0),_,；,(,用数字作答,),【,答案,】,2,2,【,解析,】,由图可知：,ff(0),f(4),2,，,1.,弄清“函数在一点,x,0,处的导数”、“导函数”、“导数”的区别与联系,(1),函数在一点处的导数,f(x,0,),是一个常数，不是变量,(2),函数的导数，是针对某一区间内任意点,x,而言的函数,f(x),在区间,(a,，,b),内每一点都可导，是指对于区间,(a,，,b),内的每一个确定的值,x,0,，都对应着一个确定的导数,f(x,0,),，根据函数的定义，在开区间,(a,，,b),内就构成了一个新的函数，也就是函数,f(x),的导函数,f(x),(3),函数,y,f(x),在点,x,0,处的导数,f(x,0,),就是导函数,f(x),在点,x,x,0,处的函数值,2.,有关导数几何意义的题目一般有两类：一类是求曲线的切线方程，这类题目要注意审好题，看到底是在某点处的切线还是过某点的切线，在某点处的切线一般有一条，过某点的切线可能有两条或更多；第二类是已知曲线的切线求字母的题目，已知曲线的切线一般转化为两个条件，即原函数一个条件，导函数一个条件导函数的条件一般不会忽视，但原函数的条件很容易被忽视,课时作业,点击进入链接,
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