12第2课时勾股定理的实际应用

1.2 直 角 三 角 形 的 性 质 和 判 定 （ ）第 1章 直 角 三 角 形 优 翼 课 件 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结学 练 优 八 年 级 数 学 下 （ XJ） 教 学 课 件第 2课 时 勾 股 定 理 的 实 际 应 用 学习目标1. 会 运 用 勾 股 定 理 求 线 段 长 及 解 决 简 单 的 实 际 问 题 . （ 重 点 ）2.能 从 实 际 问 题 中 抽 象 出 直 角 三 角 形 这 一 几 何 模 型 ，利 用 勾 股 定 理 建 立 已 知 边 与 未 知 边 长 度 之 间 的 联 系 ， 并 进 一 步 求 出 未 知 边 长 .（ 难 点 ） 情景引入数 学 来 源 于 生 活 ， 勾 股 定 理 的 应 用 在 生 活 中 无 处 不 在 ，观 看 下 面 视 频 ， 你 们 能 理 解 曾 小 贤 和 胡 一 菲 的 做 法 吗 ？导入新课 问 题 观 看 下 面 同 一 根 长 竹 竿 以 三 种 不 同 的 方 式 进 门的 情 况 ， 并 结 合 曾 小 贤 和 胡 一 菲 的 做 法 ， 对 于 长 竹 竿进 门 之 类 的 问 题 你 有 什 么 启 发 ？ 这 个 跟 我 们 学 的勾 股 定 理 有 关 ，将 实 际 问 题 转 化为 数 学 问 题勾股定理的简单实际应用一讲授新课 例 1 一 个 门 框 的 尺 寸 如 图 所 示 ， 一 块 长 3m ,宽 2.2m 的长 方 形 薄 木 板 能 否 从 门 框 内 通 过 ?为 什 么 ? 2m1mA BD C典例精析解 ： 在 Rt ABC中 ， 根 据 勾 股 定 理 ，AC2=AB2+BC2=12+22=5 5 2.24.AC 因 为 AC大 于 木 板 的 宽 2.2m ,所 以 木 板 能 从 门 框 内 通 过 . 分 析 ： 可 以 看 出 木 板 横 着 ， 竖 着 都不 能 通 过 ， 只 能 斜 着 .门 框 AC的 长度 是 斜 着 能 通 过 的 最 大 长 度 ， 只 要AC的 长 大 于 木 板 的 宽 就 能 通 过 . A B DCO 解 ： 在 Rt ABO中 ， 根 据 勾 股 定 理 得OB2=AB2-OA2=2.62-2.42=1， OB=1.在 Rt COD中 ， 根 据 勾 股 定 理 得OD2=CD2-OC2=2.62-(2.4-0.5)2=3.15,3.15 1.77,OD 1.77 1 0.77.BD OD OB 所 以 梯 子 的 顶 端 沿 墙 下 滑 0.5m 时 ， 梯 子 底 端 并 不是 也 外 移 0.5m ， 而 是 外 移 约 0.77m . 例 2 如 图 ， 一 架 2.6m 长 的 梯 子 AB斜 靠 在 一 竖 直 的 墙AO上 ， 这 时 AO为 2.4m . 如 果 梯 子 的 顶 端 A沿 墙 下 滑0.5m ,那 么 梯 子 底 端 B也 外 移 0.5m 吗 ? 例 3： 我 国 古 代 数 学 著 作 九 章 算 术 中 记 载 了 一 道有 趣 的 问 题 ， 这 个 问 题 的 意 思 是 ： 有 一 个 水 池 ， 水 面是 一 个 边 长 为 10尺 的 正 方 形 ， 在 水 池 的 中 央 有 一 根 新生 的 芦 苇 ， 它 高 出 水 面 1尺 ， 如 果 把 这 根 芦 苇 垂 直 拉向 岸 边 ， 它 的 顶 端 恰 好 到 达 岸 边 的 水 面 ， 请 问 这 个 水池 的 深 度 和 这 根 芦 苇 的 长 度 各 是 多 少 ？ DA BC 解 ： 设 水 池 的 水 深 AC为 x尺 ，则 这 根 芦 苇 长 AD=AB=（ x+1） 尺 ，在 直 角 三 角 形 ABC中 ， BC=5尺由 勾 股 定 理 得 ， BC2+AC2=AB2即 52+ x2= (x+1)225+ x2= x2+2x+1，2 x=24， x=12， x+1=13.答 ： 水 池 的 水 深 12尺 ， 这 根 芦 苇 长 13尺 . 例 4 在 一 次 台 风 的 袭 击 中 ， 小 明 家 房 前 的 一 棵 大 树 在离 地 面 6米 处 断 裂 ， 树 的 顶 部 落 在 离 树 根 底 部 8米 处 .你 能 告 诉 小 明 这 棵 树 折 断 之 前 有 多 高 吗 ？ 8 米6米 8 米6米 AC B 解 ： 根 据 题 意 可 以 构 建 一直 角 三 角 形 模 型 ， 如 图 .在 Rt ABC中 ，AC=6米 ， BC=8米 ，由 勾 股 定 理 得 2 22 26 810 .AB AC BC 米 这 棵 树 在 折 断 之 前 的高 度 是 10+6=16（ 米 ） . 利 用 勾 股 定 理 解 决 实 际 问 题 的 一 般 步 骤 ：（ 1） 读 懂 题 意 ， 分 析 已 知 、 未 知 间 的 关 系 ；（ 2） 构 造 直 角 三 角 形 ；（ 3） 利 用 勾 股 定 理 等 列 方 程 ；（ 4） 解 决 实 际 问 题 .归纳总结 数 学 问 题直 角 三 角 形勾 股 定 理实 际 问 题 转 化 构建利 用解决 1.湖 的 两 端 有 A、 B两 点 ， 从 与 BA方 向 成 直 角 的 BC方 向上 的 点 C测 得 CA=130米 ,CB=120米 ,则 AB为 ( )ABCA.50米 B.120米 C.100米 D.130米130120 ? A练一练 2.如 图 ， 学 校 教 学 楼 前 有 一 块 长 方 形 草 坪 ,草 坪 长 为 4米 ，宽 为 3米 ， 有 极 少 数 人 为 了 避 开 拐 角 走 “ 捷 径 ” ， 在 草坪 内 走 出 了 一 条 “ 径 路 ” ， 却 踩 伤 了 花 草 .（ 1） 求 这 条 “ 径 路 ” 的 长 ；（ 2） 他 们 仅 仅 少 走 了 几 步 (假 设 2步 为 1米 )？解 ： (1)在 Rt ABC中 ，根 据 勾 股 定 理 得 这 条 “ 径 路 ” 的 长 为 5米 .（ 2） 他 们 仅 仅 少 走 了 (3+4-5) 2=4(步 ).别 踩 我 ,我 怕 疼 ! 2 23 4 5AB 米 ，A BC C BA问 题 在 A点 的 小 狗 ， 为 了 尽 快 吃 到 B点 的 香 肠 ， 它 选择 A B 路 线 ， 而 不 选 择 A C B路 线 ， 难 道 小 狗 也懂 数 学 ？AC+CB AB（ 两 点 之 间 线 段 最 短 ）思 考 在 立 体 图 形 中 ， 怎 么 寻 找 最 短 线 路 呢 ？利用勾股定理求最短距离二 BA d A BA A BBA O想 一 想 ： 蚂 蚁 走 哪 一 条 路 线 最 近 ？A 蚂 蚁 AB的 路 线问 题 ： 在 一 个 圆 柱 石 凳 上 ， 若 小 明 在 吃 东 西时 留 下 了 一 点 食 物 在 B处 ， 恰 好 一 只 在 A处 的蚂 蚁 捕 捉 到 这 一 信 息 ， 于 是 它 想 从 A处 爬 向 B处 ， 蚂 蚁 怎 么 走 最 近 ？ BA根 据 两 点 之 间 线 段 最 短 易 知 第 四 个 路 线 最 近 . 若 已 知 圆 柱 体 高 为 12 cm ， 底 面 半 径 为 3 cm ， 取 3.BA 3 O12 侧 面 展 开 图 12 3A BA A 解 ： 在 Rt ABA中 ， 由 勾 股 定 理 得 22 2 212 3 3 15.AB AA BA 立 体 图 形 中 求 两 点 间 的 最 短 距 离 ， 一 般 把 立 体 图形 展 开 成 平 面 图 形 ， 连 接 两 点 ， 根 据 两 点 之 间 线 段 最短 确 定 最 短 路 线 .归纳 例 5 有 一 个 圆 柱 形 油 罐 ， 要 以 A点 环 绕 油 罐 建 梯 子 ， 正好 建 在 A点 的 正 上 方 点 B处 ， 问 梯 子 最 短 需 多 少 米 (已 知油 罐 的 底 面 半 径 是 2 米 ， 高 AB是 5 米 ， 取 3） ?AB AB AB解 ： 油 罐 的 展 开 图 如 右 图 ， 则 AB为 梯 子 的 最 短 距 离 . AA =2 3 2=12, AB=5, AB=13. 即 梯 子 最 短 需 13米 . 数 学 思 想 ：立 体 图 形 平 面 图 形转 化展 开 B牛 奶 盒A【 变 式 题 】 看 到 小 蚂 蚁 终 于 喝 到 饮 料 的 兴 奋 劲 儿 ，小 明 灵 光 乍 现 ， 拿 出 了 牛 奶 盒 ， 把 小 蚂 蚁 放 在 点A处 ， 并 在 点 B处 放 了 点 儿 火 腿 肠 粒 ， 你 能 帮 小蚂 蚁 找 出 吃 到 火 腿 肠 粒 的 最 短 路 程 么 ？6cm8cm10cm BB1 8A B2610B3 AB12 =102 +（ 6+8） 2 =296，AB22= 82 +（ 10+6） 2 =320，AB32= 62 +（ 10+8） 2 =360，解 ： 由 题 意 知 有 三 种 展 开方 法 ， 如 图 .由 勾 股 定 理 得 AB1 AB2 AB3. 小 蚂 蚁 吃 到 火 腿 肠 的 最 短路 程 为 AB1， 长 为 cm.2 74 例 6 如 图 ， 一 个 牧 童 在 小 河 的 南 4km 的 A处 牧 马 ， 而他 正 位 于 他 的 小 屋 B的 西 8km 北 7km 处 ， 他 想 把 他 的马 牵 到 小 河 边 去 饮 水 ， 然 后 回 家 他 要 完 成 这 件 事情 所 走 的 最 短 路 程 是 多 少 ？ 牧 童 A 小 屋 BAC 东北解 ： 如 图 ， 作 出 点 A关 于 河 岸 的 对 称点 A， 连 接 AB,则 AB就 是 最 短 路 程 .由 题 意 得 AC=4+4+7=15(km )，BC=8km .在 Rt ACB中 ， 由 勾 股 定 理 得 2 215 8 17.A B 求 直 线 同 侧 的 两 点 到 直 线 上 一 点 所 连 线 段 的 和的 最 短 路 程 的 方 法 ： 先 找 到 其 中 一 点 关 于 这 条 直 线 的对 称 点 ， 连 接 对 称 点 与 另 一 点 的 线 段 就 是 最 短 路 径 长 ，以 连 接 对 称 点 与 另 一 个 点 的 线 段 为 斜 边 ， 构 造 出 直 角三 角 形 ， 再 运 用 勾 股 定 理 求 最 短 路 程 .归纳 如 图 ， 是 一 个 边 长 为 1的 正 方 体 硬 纸 盒 ， 现 在 A处 有一 只 蚂 蚁 ， 想 沿 着 正 方 体 的 外 表 面 到 达 B处 吃 食 物 ，求 蚂 蚁 爬 行 的 最 短 距 离 是 多 少 .A B解 ： 由 题 意 得 AC =2， BC=1,在 Rt ABC中 ， 由 勾 股 定 理 得 AB= AC+ BC=2+1=5 AB= ， 即 最 短 路 程 为 . 2 1A BC 5 5 练一练 1.从 电 线 杆 上 离 地 面 5m 的 C处 向 地 面 拉 一 条 长 为 7m 的钢 缆 ， 则 地 面 钢 缆 A到 电 线 杆 底 部 B的 距 离 是 （ ）A.24m B.12m C. m D. m 74 2 6 D当堂练习 2.如 图 ， 一 支 铅 笔 放 在 圆 柱 体 笔 筒 中 ， 笔 筒 的 内 部底 面 直 径 是 9cm ， 内 壁 高 12cm ， 则 这 只 铅 笔 的 长 度可 能 是 （ ）A.9cm B.12cm C.15cm D.18cm D 3.如 图 ， 有 两 棵 树 ， 一 棵 高 8米 ， 另 一 棵 高 2米 ， 两 棵 对相 距 8米 .一 只 鸟 从 一 棵 树 的 树 梢 飞 到 另 一 棵 的 树 梢 ， 问小 鸟 至 少 飞 行 多 少 ？ ABC解 ： 如 图 ， 过 点 A作 AC BC于 点 C.由 题 意 得 AC=8米 ， BC=8-2=6(米 )， 答 ： 小 鸟 至 少 飞 行 10米 . 2 2 10AB AC BC 米 . 4.如 图 ， 是 一 个 三 级 台 阶 ， 它 的 每 一 级 的 长 、 宽 和 高 分别 等 于 55cm ， 10cm 和 6cm ， A和 B是 这 个 台 阶 的 两 个 相对 的 端 点 ， A点 上 有 一 只 蚂 蚁 ， 想 到 B点 去 吃 可 口 的 食物 .这 只 蚂 蚁 从 A点 出 发 ， 沿 着 台 阶 面 爬 到 B点 ， 最 短 线路 的 长 是 多 少 ？ BA A BC解 ： 台 阶 的 展 开 图 如 图 ， 连 接 AB.在 Rt ABC中 ， 根 据 勾 股 定 理 得AB 2=BC2 AC2 552 482 5329, AB=73cm . 5. 为 筹 备 迎 新 晚 会 ， 同 学 们 设 计 了 一 个 圆 筒 形 灯 罩 ，底 色 漆 成 白 色 ， 然 后 缠 绕 红 色 油 纸 ， 如 图 .已 知 圆 筒 的高 为 108cm ， 其 横 截 面 周 长 为 36cm ， 如 果 在 表 面 均 匀缠 绕 油 纸 4圈 ， 应 裁 剪 多 长 的 油 纸 ？能 力 提 升 ： 解 ： 如 右 下 图 ， 在 Rt ABC中 ，因 为 AC 36cm ， BC 108 4 27(cm )由 勾 股 定 理 ， 得AB2 AC2 BC2 362 272 2025 452，所 以 AB 45cm ，所 以 整 个 油 纸 的 长 为 45 4 180(cm ) 课堂小结勾 股 定 理的 应 用 用 勾 股 定 理 解决 实 际 问 题用 勾 股 定 理 解 决 点 的距 离 及 路 径 最 短 问 题 见 学 练 优 本 课 时 练 习课后作业