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,(理解排列、组合的概念/能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式/能解决简单的实际问题),10.2 排列与组合,1,排列的概念：,从,n,个不同元素中，任取,m,(,m,n,)个元素(这里的被取元素各不相同)按照,一定的顺序,排成一列，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个排列,2,排列数的定义：,从,n,个不同元素中，任取,m,(,m,n,)个元素的所有排列的个数叫做从,n,个元素中取出,m,个元素的排列数，用符号 表示,3,排列数公式,n,(,n,1)(,n,2),(,n,m,1),4全排列数公式,A ,n,(,n,1)(,n,2),21,n,！(叫做,n,的阶乘),5,组合的定义,：,一般地,，从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,)个元素,并成一组,，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的一个组合,6,组合数的定义：,从,n,个不同元素中取出,m,(,m,n,)个元素的所有组合的个数，叫做从,n,个不同元素中取出,m,个元素的,组合数,用符号C 表示,7,组合数公式,(,n,，,m,N,*,，且,m,n,),1,8名,运动员,参加男子100米的决赛已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(),A360种 B4 320种 C720种 D2 160种,解析：,本题考查排列组合知识；可分步完成先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上，故共有 4 320种方式,答案：,B,2,高三,(一)班需要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是(),A1 800 B3 600 C4 320 D5 040,解析：,120,303 600.,答案,：,B,3,(2010开封高三月考),某班级,从A、B、C、D、E、F六名学生中选4人参加4,100米接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有(),A24种 B36种 C48种 D72种,解析,：若第一棒选A，则有A种选派方法；若第一棒选B，则有2A，由分类计数原理共有36种,答案,：B,4,如图,，将1,2,3填入3,3的方格中，要求每行、每列都没有重复数字，下面是一种填法，则不同的填写方法共有(),A6种 B12种,C24种 D48种,解析：,只需要填写第一行第一列，其余即确定了因此 12(种),答案：,B,常见的排列问题有三种：(1)排队；(2)排数；(3)排课程表对于,“,在,”,或者,“,不在,”,的排列问题的计算方法主要是：(1)位置优先法；(2)元素优先法；(3)间接计算法,【例1】,甲、乙、丙、丁四名,同学排成一排，分别计算满足下列条件的排法种数,(1)甲不在排头、乙不在排尾；,(2)甲不在第一位、乙不在第二位、丙不在第三位、丁不在第四位；,(3)甲一定在乙的右端(可以不邻),解答：,(1),直接排，要分甲排在排尾和甲既不排在排头也不排在排尾两种情况,若甲排在排尾共有 6种排法,若甲既不在排头也不在排尾共有 8种排法，,由分类计数原理：14(种),也可间接计算：14(种),(2)本题可转化为将数字1,2,3,4排成没有重复数字的四位数，且1不在千位，2不在百位，3不在十位，4不在个位；因此可写出A24种所有排列，从中挑选满足条件的共9种,可考虑求有限集合的并集元素的个数问题：,则有card(,A,B,C,D,)card(,A,)card(,B,)card(,C,)card(,D,)card(,A,B,)card(,A,C,)card(,A,D,)card(,B,C,)card(,B,D,)card(,C,D,)card(,A,B,C,)card(,A,B,D,)card(,B,C,D,)card(,A,C,D,)card(,A,B,C,D,),设所有排列组成的集合为,I,；,甲在首位的排列组成的集合为,A,，乙在第二位的排列组成的集合为,B,，丙在第三位的排列组成的集合为,C,，丁在末位的排列组成的集合为,D,，则card(,I,)card(,A,B,C,D,)244,66,24,119.,可考虑直接排法：,甲有3种排法；若甲排在第二位，则乙有3种排法；甲、乙排好后，丙、丁只有一种排法，由分步计数原理知满足条件的所有排法共有3,3,19(种),(3)可先排丙、丁有 种排法，则甲、乙只有一种排法，由分步计数原理满足条件的排列共有 112(种)或看作定序问题 12.,变式1.(1),从6人,中选,4,人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这,6,个人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有,(),A300,种,B240,种,C144,种,D96,种,(2),安排,5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的种数是_(用数字作答),解析,：,(1),240.(2),答案：,(1)B,(2)78,排列中的,“,相邻,”,问题一般采用捆绑法；而,“,互不相邻,”,问题一般采用插空法,【例,2】,a,1,，,a,2,，,，,a,8,共八个元素,，分别计算满足下列条件的排列数,(1),八个元素排成一排，且,a,1,，,a,2,，,a,3,，,a,4,四个元素排在一起；,(2)八个元素排成一排，且,a,1,，,a,2,，,a,3,，,a,4,四个元素互不相邻；,(3)八个元素排成一排，且,a,1,，,a,2,，,a,3,，,a,4,四个元素互不相邻，并且,a,5,，,a,6,，,a,7,，,a,8,也互不相邻；,(4)排成前后两排每排四人,解答：(1),a,1,，,a,2,，,a,3,，,a,4,四个元素,排在一起，共有A种排法，再与,a,5,，,a,6,，,a,7,，,a,8,进行排列共有A种排法，由分步计数原理知：满足条件的排列数为 2 880.,(2)先排,a,5,，,a,6,，,a,7,，,a,8,，,四个元素共有A种排法；,可将,a,1,，,a,2,，,a,3,，,a,4,排入由,a,5,，,a,6,，,a,7,，,a,8,间隔出的五个位置中,的四个，共有A种排法，由分步计数原理知：满足条件的排列数为 2 880.,(3),先,排,a,5,，,a,6,，,a,7,，,a,8,，,；共有 种排法；然后排,a,1,，,a,2,，,a,3,，,a,4,共有2 种排法；,；由分步计数原理共有 1 152种排法,(4)前排有 种排法，后排有 种排法，,由分步计数原理知共有 8！,种排法,变式2.4,个男,同学，3个女同学站成一排,(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？,(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？,(3)其中甲、乙两同学之间必须恰有3人，有多少种不同的排法？,(4)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？,(5)女同学从左到右按高矮顺序排，有多少种不同的排法？(3个女生身高互不相等),解答：(1)3,个女,同学是特殊元素，我们先把她们排好，共有 种排法；由于3个女同学必须排在一起，我们可视排好的女同学为一整体，再与男同学排队，这时是5个元素的全排列，应有A种排法，由分步计数的原理,有 720种不同排法,(2)先将男生排好，共有 种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有 种方案，故符合条件的排法共有 1 440,种不同排法,(3)甲、乙2人先排好，有A 种排法，再从余下5人中选3人排在甲、乙2人中间，有,种排法，这时把已排好的5人视为一整体，与最后剩下的2人再排，又有 种排法，这样总共有 720种不同排法,(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 种排法；由于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档中有 种排法这样，总共有 960种不同排法,(5)从7个位置中选出4个位置把男生排好，则有 种排法然后再在余下的3个空位置中排女生，由于女生要按身体高矮排列，故仅有一种排法这样总共有 840种不同排法.,排列与组合的根本区别在于是,“,有序,”,还是,“,无序,”,，对于将若干个相同小球放入几个不同的盒子中，此类问题可利用,“,挡板法,”,求解，实质上是最终转化为组合问题,【例3】,7个相同,的小球，任意放入4个不同的盒子中，试问：每个盒子都不空的放法共有多少种？,解答,：解法一：,先将其中,4个相同的小球放入4个盒子中，有1种放法；再将其余3个相同的小球放入4个不同的盒子中，有以下3种情况：,(1)某一个盒子放3个小球，就可从这4个不同的盒子中任选一个放入这3个小球，有 种不同的放法；,(2)这3个小球分别放入其中的3个盒子中，就相当于从4个不同的盒子中任选3个盒子，分别放入这3个相同的小球，有 种不同放法；,(3)这3个小球中有两个小球放在1个盒子中，另1个小球放在另一个盒子中，从这,4个不同的盒子中任选两个盒子排成一列，有 种不同的方法,综上可知，满足题设条件的放法为,解法二：“,每个盒子,都不空”的含义是“每个盒子中至少有一个小球”，合理的分类是正确解题的关键若用“隔板法”，可易得C 20.,变式3.(1),计算,x,y,z,6的正整数解有多少组；,(2)计算,x,y,z,6的非负整数解有多少组,解答：,(1),可看做,将6个相同小球放入三个不同盒子中，每盒非空有多少种放法转化为00000011的排列，要求1不排在两端且不相邻，共有C 10种排法，因此方程,x,y,z,6有10组不同的正整数解；,(2)可看做将6个相同小球放入三个不同的盒子中，转化为00000011的排列，共有C 28种排法，因此方程,x,y,z,6有28组不同的非负整数解,1解决有条件排列问题中的,“,相邻,”,与,“,互不相邻,”,等问题；解决相邻问题可采用,“,捆绑法,”,，而解决互不相邻问题可采用,“,插空法,”,2元素在某一位置上，或不在某一位置上，可从特殊元素入手考虑，可从特殊位置进行考虑，还可间接计算,【,方法规律,】,3解决排列组合问题可遵循,“,先组合后排列,”,的原则，区分排列组合问题主要是判断,“,有序,”,和,“,无序,”,，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现,“,有序,”,和,“,无序,”,4要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果.,(本题满分4分),某工程队,有6项工程需要先后单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，又工程丁必须在工程丙完成后立即进行，那么安排这6项工程的不同排法种数是_(用数字作答),解答：,可将,6项工程分别用甲、乙、丙、丁、,a,、,b,表示，要求是甲在乙前，乙在丙前，并且丙丁相邻丙在丁前，可看作甲、乙、丙丁、,a,、,b,五个元素的排列，可先排,a,、,b,，再排甲、乙、丙丁共 20种排法，也可先排甲、乙、丙丁，再排,a,、,b,，共 20种排法,【,答题模板,】,有条件的排列和组合问题是高考考查的考点之一，有条件的排列主要包括特定元素,“,在,”,或,“,不在,”,某一位置上；,“,相邻,”,或,“,互不相邻,”,问题；某,n,个元素的顺序确定等，而有条件的组合主要包括,“,含,”,或,“,不含,”,某些元素等问题,本题主要是利用排列数、组合数公式以及分步计数原理解决有条件排列中的某些元素“顺序一定”问题特定的情况下，排列可转化为组合.,【,分析点评,】,点击此处进入 作业手册,
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