212空间中直线与直线之间的位置关系(1)（教育精品）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.1.2,空间中直线与直线之间的位置关系,A,B,C,D,六角螺母,定义,1,:,不同,在,任何,一个平面内,的两条直线叫做异面直线,.,注：概念应理解为,:,“,经过这两条直线无法作出一个平面,”,.,或,:,“,不可能,找到一个平面同时经过这两条直线,”,定义,2,:,不相交也不平行,两条直线叫做异面直线,.,注意,:,分别在某两个平面内的两条直线不一定,是异面直线,它们可能是相交,也可能是平行,.,一、异面直线,:,异面直线的画法,:,A,b,a,b,a,b,a,用平面衬托,A,1,B,1,C,1,D,1,C,B,D,A,练习：如图：正方体的棱所在的直线中，与直线,A,1,B,异面的有哪些？,答案：,D,1,C,1,、,C,1,C,、,CD,、,D,1,D,、,AD,、,B,1,C,1,二、空间两直线的位置关系：,(1),从公共点的数目来看，可分为：,有且只有一个公共点,两直线相交,没有公共点,两直线平行,两直线为异面直线,(2),从平面的性质来讲，可分为：,两直线相交,在同一平面内,两直线平行,不在同一平面内,两直线为异面直线,问题：,在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，在空间中此结论仍成立吗？,若,a,b,，,b,c,则,a,c,c,a,b,公理,4:,平行于同一条直线的两条直线互相平行,.(,空间平行直线的传递性,),空间四边形：,如图，顺次连结不共面的四点,A,、,B,、,C,、,D,所组成的四边形叫做空间四边形,ABCD.,A,B,C,D,相对顶点,A,与,C,，,B,与,D,的连线,AC,、,BD,叫做这个空间四边形的,对角线,.,例,1,：已知,ABCD,是四个顶点不在同一个平面内的空间四边形，,E,，,F,，,G,，,H,分别是,AB,，,BC,，,CD,，,DA,的中点，连结,EF,，,FG,，,GH,，,HE,，,求证：四边形,EFGH,是平行四边形,.,解题思想：,EH,是,ABD,的中位线,EH BD,且,EH=BD,同理，,FG BD,且,FG=BD,EH FG,且,EH=FG,四边形,EFGH,是平行四边形,证明：,连结,BD,把所要解的,立体几何,问题转化为,平面几何,的问题,解立体几何时最主要、最常用的一种方法,.,A,B,D,E,F,G,H,C,问题：在空间中，如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等吗？,两组边的方向相同或相反，结果如何？,一组边的方向相同，而另一组边的方向相反，又如何？,等角定理,:,空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补,.,推论：,如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角,(,或直角,),相等,.,在平面内,两条直线相交成四个角,其中不大于,90,度的角称为它们的夹角,用以刻画两直线的,错开程度,如图,.,在空间,如图所示,正方体,ABCD,EFGH,中,异面直线,AB,与,HF,的错开程度可以怎样来刻画呢,?,A,B,G,F,H,E,D,C,O,三、异面直线所成角：,平移法,O,异面直线所成角的定义,:,如图,已知两条异面直线,a,b,经过空间任一点,O,作直线,a,a,b,b,则把,a,与,b,所成的,锐角,(,或直角,),叫做,异面直线所成的角,(,或夹角,).,a,b,b,a,思想方法,:,平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题,思考,:,这个角的大小与,O,点的位置有关吗,?,即,O,点位置不同时,这一角的大小是否改变,?,异面直线所成的角的范围,(0,90 ,o,o,如果两条异面直线,a,b,所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为,a,b,注,a,思考,:,这个角的大小与,O,点的位置有关吗,?,即,O,点位置不同时,这一角的大小是否改变,?,b,a,O,1,a,a,b,2,在求作异面直线所成的角时,O,点常选在其中的一条直线上,(,如线段的,端点,线段的,中点,等,),注意,45,o,例,2:(1),求直线,BA,1,和,CC,1,所成角的度数,.,找两条异面直线所成的角，要作平行移动,(,平行线,),，把两条,异面直线,所成的角，,转化,为两条,相交直线,所成的角,.,例,2:(2),哪些棱所在直线与直线,AA,1,垂直？,如图,已知长方体,ABCD-EFGH,中,AB=,AD=,AE=2,(1),求,BC,和,EG,所成的角是多少度,?,(2),求,AE,和,BG,所成的角是多少度,?,解答：,(1)GFBC,EGF,（或其补角）为所求,.,RtEFG,中，求得,EGF=45,o,(2)BFAE,FBG,（或其补角）为所求,RtBFG,中，求得,FBG=60,o,A,B,G,F,H,E,D,C,2,A,F,E,D,C,B,如图，在四面体,ABCD,中，,E,，,F,分别是棱,AD,，,BC,上的点,且 已知,AB=CD=3,，,求异面直线,AB,和,CD,所成的角,.,M,一作,(,找,),、二证、三求,(1),通过直线平移，作出异面直线所成的角，把空间问题转化为平面问题,.,(2),利用平面几何知识，求出异面直线所成角的大小,.,异面直线所成角的求法：,在正方体,ABCD-ABCD,中，棱长为,a,，,E,、,F,分别是棱,AB,，,BC,的中点，求：,异面直线,AD,与,EF,所成角的大小；,异面直线,BC,与,EF,所成角的大小；,异面直线,BD,与,EF,所成角的大小,.,平,移,法,O,G,AC AC EF,OG BD,BD,与,EF,所成的角,即为,AC,与,OG,所成的角,即为,AOG,或其补角,.,2.,如图，是所在平面外一点，、分,别是和的重心,.,求证：，,3.,下图长方体中,平行,相交,异面,BD,和,FH,是,直线,EC,和,BH,是,直线,BH,和,DC,是,直线,B,A,C,D,E,F,H,G,(2).,与棱,A B,所在直线异面的棱共有,条,?,4,分别是：,CG,、,HD,、,GF,、,HE,课后思考,:,这个长方体的棱中共有多少对异面直线,?,(1),说出以下各对线段的位置关系,?,A,B,G,F,H,E,D,C,4.,如图，正方体,ABCD-EFGH,中,O,为侧面,ADHE,的中心，求,(1)BE,与,CG,所成的角？,(2)FO,与,BD,所成的角？,解,:,(1),如图,:,BF,CG,，,EBF(,或其补角,),为异面直线,BE,与,CG,所成的角，,又,BEF,中,EBF,=45,，所以,BE,与,CG,所成的角是,45,o,o,O,连接,HA,、,AF,，,依题意知,O,为,AH,中点,HFO=30,o,(2),连接,FH,，,所以,FO,与,BD,所成的夹角是,30,o,四边形,BFHD,为平行四边形，,HFBD,HFO(,或其补角,),为异面直线,FO,与,BD,所成的角,HD EA,，,EA FB,HD FB,=,=,=,则,AH=HF=FA,AFH,为等边,