学案6指数函数(教育精品)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,6,指 数 函 数,名师伴你行,SANPINBOOK,名师伴你行,SANPINBOOK,填填知学情,课内考点突破,规 律 探 究,考 纲 解 读,考 向 预 测,考点,1,考点,2,考点,3,考点,4,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,考 纲 解 读,指数函数,(1),理解有理数指幂的含义,;,了解实数指数幂的意义,能进行幂的运算,.,(2),理解指数函数的概念和意义,;,理解指数函数的性质,会画指出函数的图象,.,(3),了解指数函数模型的实际案例,会用指数函数模型解决简单的实际问题,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,1.对指数幂运算的考查虽然鲜见单独命题，但是在考查指数函数时总有幂的运算，是学生基本运算能力的重要体现，是历年高考的内容.对于该部分内容的复习,要注意算法的优化,保证考试中运算迅速准确.,2.对指数函数的考查,大多以基本函数的性质为依托,结合运算,考查函数的图象、性质以及灵活运用函数性质进行大小比较,方程、不等式求解等.有时还需要利用指数函数的基本性质研究简单复合函数的单调性、奇偶性等性质.要熟练掌握指数幂的运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数进行变形处理.,考 向 预 测,返回目录,1.,指数幂的概念,(1),根式,一般地,如果,x,n,=a (,aR,n,1,且,nN,*),那么,x,叫做,.,式子 叫做,这里,n,叫做,a,叫做,.,(2),根式的性质,a,的,n,次方根,根式,根指数,被开方数,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,当,n,为奇数时,正数的,n,次方根是一个正数,负数 的,n,次方根是一个负数,这时,a,的,n,次方根用符号,表示,.,当,n,为偶数时,正数的,n,次方根有两个,它们互为相反数,这时,正数的正的,n,次方根用符号,表示,负的,n,次方根用符号,表示,.,正负两个,n,次方根可以合写为,(a0).,(),n,=,.,当,n,为奇数时,=,;,当,n,为偶数时,=|a|=,负数没有偶次方根,.,零的任何次方根都是零,.,a,a,a (a0),-a (a0,m,nN*,且,n1).,正数的负分数指数幂是,0,的正分数指数幂等于,0,的负分数指数幂没有意义,.,(2),有理指数幂的运算性质,:,a,r,a,s,=,(a0,r,sQ).,(,a,r,),s,=,(a0,r,sQ).,(,ab),r,=,(a0,b0,rQ).,=,=,(a0,m,nN*,且,n1).,a,rs,名师伴你行,SANPINBOOK,3.,指数函数的图象与性质,返回目录,a1,0a0,时,;,当,x0,时,;,当,x1,0y1,0y1,增函数,减函数,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,考点,1,指数幂的化简与求值,化简下列各式,(,其中各字母均为正数,):,名师伴你行,SANPINBOOK,(1),原式,=,(2),原式,=,返回目录,【分析】,(1)因为题目中的式子既有根式又有分数指数幂、先化为分数指数幂以便用法则运算；（2）（3）题目中给出的是分数指数幂，先看其是否符合运算法则的条件，若符合用法则进行下去，若不符合应再创设条件去求.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,(3),原式,=,(1),一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数为分数运算,同时还要注意运算顺序问题,.,(2),对于计算结果,如果题目以根式形式给出,则结果用根式的形式表示,;,如果题目以分数指数幂形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示,.,(3),结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又含有负指数,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,化简下列各式,:,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,(1),原式,=,(2),原式,=,返回目录,考点,2,指数函数的图象,已知函数,（,1,）作出图象；,（,2,）由图象指出其单调区间；,（,3,）由图象指出，当,x,取什么值时有最值,.,【,分析,】,先去绝对值符号，将函数写成分段函数的形式，再画出其图象，然后根据图象判断其单调性、最值,.,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,（,1,）由函数解析式可得,(x-2),(x,-2),其图象分成两部分,:,一部分是,y=(x-2),的图象，由下列变换可得到,:,y=y=;,返回目录,向左平移,2,个单位,名师伴你行,SANPINBOOK,另一部分是,y=2,x+2,(x,-2),的图象，由下列变换可得到,:,y=2,x,y=2,x+2,如图,实线部分为函数 的图象,.,(2),由图象观察知,函数在,(-,-2,上 是增函数，在,(-2,+),上是减函数,.,(3),由图象观察知,当,x=,-2,时，函数 有,最大值，最大值为,1,，没有,最小值,.,返回目录,向左平移,2,个单位,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,（,1,）根据函数与基本函数关系，利用图象变换（平移、伸缩、对称）作图是作函数图象的常用方法,.,(2),本例也可以不考虑去掉绝对值符号，而是直接用图象变换作出，作法如下,:,保留,x0,部分，将它沿,y,轴翻折得,x,0,的部分,向左平移,2,个单位,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,画出函数,y=2,|x-1|,的图象，并根据图象指出此函数的一些重要性质,.,2,x-1,x1,x,1.,其图象由两部分对接而成，一是把,y=2,x,向右平移,1,个单位后取,x 1,的部分；二是把,y=,的图象向右,平移,1,个单位后取,x,1,的部分，对接处的公共点是,(1,1),图象如图，作法略,.,y=2,|x-1|,=,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,【,解析,】,由图象可知,函数有三个重要性质,:,单调性,:,在,(-,1,在,1,+),上单调,递增,;,对称性,:,函,数 图象关于直线,x=1,对称,;,函数,定义域为,R,值域,为,1,+).,上单调递减，,名师伴你行,SANPINBOOK,考点,3,指数函数的性质,已知,f(x,)=(a0,且,a1).,(1),判断,f(x,),的奇偶性,;,(2),讨论,f(x,),的单调性,;,(3),当,x,-1,1,时,f(x)b,恒成立,求,b,的取值范围,.,【,分析,】,(1),首先看函数的定义域而后用奇偶性定义判断,;(2),单调性利用复合函数单调性易于判断,还可用导数解决,;(3),恒成立问题关键是探求,f(x,),的最小值,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,(1),函数定义域为,R,关于原点对称,.,又,f(-x,)=-,f(x,),f(x,),为奇函数,.,(2),当,a1,时,a,2,-10,y=a,x,为增函数,y=a,-x,为减函数,从而,y=a,x,-a-,x,为增函数,f(x,),为增函数,.,当,0a1,时,a2-10,且,a1,时,f(x,),在定义域内单调递增,.,返回目录,(3)由(2)知f(x)在R上是增函数,在区间-1,1上为增函数.,f(-1)f(x)f(1).,f(x),min,=f(-1)=,要使f(x)b在-1,1上恒成立,则只需b-1.,故b的取值范围是(-,-1.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,1.,与指数函数有关的复合函数的定义域、值域的求法,:,(1),函数,y=a,f(x,),的定义域与,y=,f(x,),的定义域相同；,(2),先确定,f(x,),的值域，再根据指数函数的值域、单调性，可确定,y=a,f(x,),的值域,.,2.,与指数函数有关的复合函数的单调性的求解步骤,:,(1),求复合函数的定义域,;,(2),弄清函数是由哪些基本函数复合而成的,;,(3),分层逐一求解函数的单调性,;,(4),求出复合函数的单调区间,(,注意“同增异减”,).,返回目录,若函数y=,为奇函数.,(1)求a的值;,(2)求函数的定义域;,(3)求函数的值域;,(4)讨论函数的单调性.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,【,解析,】,函数,y=,y=.,(1),由奇函数的定义，可得,f(-x)+f(x,)=0,即,=0,=0,a=-.,(2)y=,2,x,-10,即,x0.,函数,y=,的定义域为,x|x0.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,(3),解法一：,x0,2,x,-1-1.,2,x,-10,02,x,-1-1,或,2,x,-10.,或,即函数的值域为,yy,或,y0,0.,可得,y,或,y,或,y0,时,设,0 x,1,x,2,则,y,1,-y,2,=.,0 x,1,x,2,1 0.,y,1,-y,2,x,1,则,f(x,2,)-f(x,1,),当,x,2,x,1,时,0.,又,0,0,故当,x,2,x,1,时,f(x,2,)-f(x,1,)0,即,f(x,2,)f(x,1,),f(x),是增函数,.,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,证法二,:,考虑复合函数的增减性,.,f(x,)=,y,1,=10,x,为增函数,y,2,=10,2x,+1,为增函数,y,3,=,为减函数,y,4,=-,为增函数,f(x,)=,为增函数,.,f(x,)=,在定义域内是增函数,.,(3),令,y=,f(x,),由,y=,解得,10,2x,=,10,2x,0,-1y1.,即,f(x,),的值域为,(-1,1).,名师伴你行,SANPINBOOK,记住下列函数的增减性,对解,(,证,),题是十分有用的,:,(1),若,f(x,),为增,(,减,),函数,则,-,f(x,),为减,(,增,),函数,;,(2),若,f(x,),为增,(,减,),函数,则,f(x)+k,为增,(,减,),函数,;,(3),若,f(x),g(x,),为增函数,则,f(x)+g(x,),为增函数,.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,已知定义在,R,上的奇函数,f(x,),有最小正周期,2,且当,x,(0,1),时,f(x,)=.,(1),求,f(x,),在,-1,1,上的解析式,;,(2),证明,:,f(x,),在,(0,1),上是减函数,.,【,解析,】,(1),当,x(-1,0),时,-x(0,1).,f(x,),是奇函数,f(x,)=-,f(-x,)=,由,f(0)=f(-0)=-f(0),且,f(1)=f(-2+1)=f(-1)=-f(1),得,f(0)=f(1)=f(-1)=0.,返回目录,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,x(0,1),x(-1,0),0,x-1,0,1.,(2),证明,:,当,x(0,1),时,f(x,)=.,设,0 x,1,x,2,1,则,f(x,1,)-f(x,2,)=,0 x,1,x,2,0.-10,f(x,1,)-f(x,2,)0,即,f(x,1,)f(x,2,),故,f(x,),在,(0,1),上单调递减,.,在区间,-1,1,上,有,f(x,)=,名师伴你行,SANPINBOOK,返回目录,1.,单调性是指数函数的重要性质,特别是函数图象的无限伸展性,x,轴是函数图象的渐近线,.,当,0a1,时,x-,y0;,当,a1,时,a,的值 越大,图象越靠近,y,轴,递增的速度越快,;,当,0a0,且,a1),的图象和性质受,a,的影响,要分,a1,与,0a1,来研究,.,5.,对可化为,a,2x,+ba,x,+c=0,或,a,2x,+ba,x,+c0(0),的指数方程或不等式,常借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围,.,返回目录,名师伴你行,SANPIN