线性方程组(共42张PPT)

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三章线性方程组,第一页，共42页。,线性方程组,主要内容：,消元法,n,维向量空间,线性相关性,矩阵的秩,线性方程组有解的判断定理,线性方程组有解的结构,第二页，共42页。,线性方程组,1,消元法,1,消 元 法,考虑一般的线性方程组,当,s=n,时，若,D,0,，则方程组有唯一解，并可由Cramer法则求解。,当,s=n,时，若,D,=0,，利用Cramer法则无法判断方程组是否有解。,当,s,n,时，没有求解线性方程组的有效方法,。,第三页，共42页。,线性方程组,1,消元法,线性方程组,的矩阵表示法,其中,系数矩阵,未知向量,右端向量,第四页，共42页。,线性方程组,1,消元法,用一个非零的数乘以某一个方程；,线性方程组,的初等变换,把某一个方程的倍数加到另一个方程；,互换两个方程的位置；,用一个非零的数乘以矩阵的某一行；,矩阵的初等行变换,把矩阵某一行的倍数加到矩阵的另一行；,交换矩阵中某两行的位置；,方程组的初等变换相当于对系数矩阵做相应的初等行变换。,方程组的初等变换是否会改变线性方程组的解？,定,理,：,方程组的初等变换将一个,线性方程组变为一个与它同解的,线性方程组。,第五页，共42页。,线性方程组,1,消元法,增广矩阵,由线性方程组的系数和右端常数组成的矩阵,称为该线性方程组的,增广矩阵,。,线性方程组与增广矩阵,是一一对应的,定,理,：,对线性方程组的增广矩阵 进行初等行变换化为 ，,则以 为增广矩阵的线性方程组与原线性方程组同解。,一个线性方程组的增广矩阵可通过初等行变换化为怎样的简单形式？,阶梯形矩阵,第六页，共42页。,线性方程组,1,消元法,定,理,：,任何一个,s,n,阶矩阵,A,，都可通过一系列初等行,变换,化为一个阶梯形矩阵。,定,理,：,线性方程组与以下,形式的阶梯形线性方程组同解。,第七页，共42页。,线性方程组,1,消元法,当,时，该线性,方程组无解。,当,时，该方程组有解，并分两种情况：,(i),若,r=n,，则阶梯形方程组为,方程组有唯一解。,第八页，共42页。,线性方程组,1,消元法,(ii),若,r n,，则阶梯形方程组为,可改写为,方程组有无穷多解。,自由未知量,第九页，共42页。,线性方程组,例题：,例,1、,解线性方程组,例,2、,解线性方程组,1,消元法,第十页，共42页。,线性方程组,1,消元法,定,理,：,在齐次线性方程组,中，如果,s n,，那它必有非零解。,例3,、,解齐次线性方程组,第十一页，共42页。,线性方程组,2,n,维向量空间,2,n,维向量空间,n,维向量,定义：,数域,P,中,n,个数组成的有序数组 称为数域,P,上的,n,维,向量,，其中,a,i,称为该向量的第,i,个分量。,向量相等,如果两个,n,维向量,的对应分量都相等，即,就称这两个向量相等，记作,第十二页，共42页。,线性方程组,2,n,维向量空间,向量的运算,加法：,减法：,数乘：,向量加法满足以下四条运算规律,交换律：,结合律：,有零元：,零向量：,O,=(0，0，,，0),有负元：,负向量：,-,a,=(,-,a,1,，,-,a,2,，,，,-,a,n,),第十三页，共42页。,线性方程组,2,n,维向量空间,向量数乘满足以下两条运算规律,有单位元：,结合律：,分配律：,分配律：,向量加法与数乘共同满足以下两条运算规律,由以上运算规律可推导出向量加法与数乘的以下运算性质,定义：,若,V,是数域,P,中,n,维向量的全体，若,考虑到上面定义的加法和数量乘法，则称,V,为数域,P,上的,n,维向量空间,，记为,P,n,。,第十四页，共42页。,线性方程组,3,线性相关性,3,线性相关性,向量组的线性关系,定义：,设,是,P,n,中的向量，若存在数域,P,中的一组数,使得,则称,是向量组,的一个,线性组合,，或称向量,可被向量组,线性表出,。,第十五页，共42页。,称为该线性方程组的增广矩阵。,的行列式为零的充分必要条件是 A 的秩小于 n。,线性方程组的矩阵表示法,例3 设A是一个秩为r的mn阶矩阵，从A中任划去 m-s 行与 n-t 列后，,中，如果 s,s,则向量组,必定线性相关。,若个数多的向量组能由个数少的向量组线性表出，则个数多的向量组必定线性相关。,推论3：,n,+1个,n,维向量必定线性相关。,第二十三页，共42页。,线性方程组,3,线性相关性,极大线性无关组,定义,：如果向量组,的一个部分组,是线性无,关的，而且向量组,中的任一向量都可由它线性表出，则称,是向量组,的一个,极大线性无关组,。,例5,求向量组,的一个极大线性无关组。,向量组的极大线性无关组不是唯一的,定理,一个向量组的任何极大线性无关组都含有相同个数的向量。,第二十四页，共42页。,线性方程组,3,线性相关性,定义,一个向量组的极大线性无关组中所含向量的个数称为这个向量组,的,秩,(rank)。,例7,求下面向量组的秩,例8,设,B,是矩阵,A,经过初等行变换得到的矩阵，则矩阵,A,、,B,的列向量具,有完全相同的线性关系。,例9,一个向量组中的任何一个线性无关组，都可以扩充为该向量组的一,个极大线性无关组。,确定极大线性无关组的初等变换方法,第二十五页，共42页。,线性方程组,4,矩阵的秩,4,矩阵的秩,定义,矩阵的,行秩,就是矩阵的行向量组的秩；,列秩,就是矩阵的列向量组的秩。,例1,求矩阵,的行秩和列秩。,是否任意矩阵的行秩和列秩都相同？,第二十六页，共42页。,线性方程组,4,矩阵的秩,引理,如果齐次线性方程组,的系数矩阵,的行秩,r n,，那么该齐次线性方程组有非零解。,第二十七页，共42页。,线性方程组,4,矩阵的秩,定理,矩阵的行秩与列秩相等。,定义,矩阵的行秩与列秩统称为矩阵的,秩,。,矩阵的秩不会超过,矩阵的行数和列数,例2,求下面矩阵的秩,例3,设,A,是一个秩为,r,的,mn,阶矩阵，从,A,中任划去,m-s,行与,n-t,列后，,其余元素按原来的位置排成一个,s,t,阶矩阵,C,，证明：秩,C,r,+,s,+,t,-,m,-,n,第二十八页，共42页。,线性方程组,4,矩阵的秩,定理,n,n,阶矩阵,的行列式为零的充分必要条件是,A,的秩小于,n,。,n,阶方阵,A,的行,列式|,A,|,0,的充要条件是,A,的秩等于,n,。,推论,齐次线性方程组,有非零解的充分必要条件是其系数矩阵的行列式等于0。,第二十九页，共42页。,线性方程组,4,矩阵的秩,定义,在一个,s,n,阶矩阵,A,中任意选定,k,行和,k,列，,1,k,min,s,n,，位于,这些选定的行和列的交点上的,k,2,个元素按原来的顺序组成一个,k,阶方阵，,定理,矩阵,A,的秩为,r,的充分必要条件是矩阵中有一个,r,阶子式不为零，而,这个方阵称为,A,的一个,k,阶子阵,，其行列式称为,A,的一个,k,阶子式,。,所有的,r+,1,阶子式全为零。,例4,求下面矩阵的秩,第三十页，共42页。,线性方程组,5,线性方程组有解的判别定理,5,线性方程组有解的判别定理,定理：,线性方程组,有解的充分必要条件是系数矩阵,A,的秩与其增广矩阵,有相同的秩。,第三十一页，共42页。,线性方程组,5,线性方程组有解的判别定理,定理：,线性方程组,的系数矩阵,A,与其增广矩阵,有相同的秩,r,，,则,(1)当,r=n,时，方程组有唯一解；,(2)当,r n,时，方程组有无穷多个解。,第三十二页，共42页。,线性方程组,4,矩阵的秩,例1,设线性方程组,例2,当,a,，,b,取何值时，线性方程组,无解？有解？有解时求其一般解。,第三十三页，共42页。,线性方程组,4,矩阵的秩,例3,解线性方程组,有解，且系数矩阵,A,的秩为,r,1,，而方程组,无解，且系数矩阵,B,的秩为,r,2,，证明矩阵,的秩,r,1,+,r,2,+1,。,第三十四页，共42页。,线性方程组,6,线性方程组解的结构,6,线性方程组解的结构,设齐次线性方程组,齐次线性方程组解的结构,的解有如下两个重要性质：,性质1：,齐次线性方程组的两个解的和仍是该方程组的解。,性质2：,齐次线性方程组的任一解的倍数仍是该方程组的解。,齐次线性方程组的任意线性组合仍是该方程组的解,第三十五页，共42页。,线性方程组,5,线性方程组有解的判别定理,(1),定义：,齐次线性方程组的一组解,称为它的,基础解系,，如果,线性无关；,(2)该齐次方程组的任一解都能表示为,的线性组合。,定理：,齐次线性方程组有非零解的情况下，它有基础解系，而且基础解系,所含向量的个数等于,n-r,，其中,n,为未知量的个数，,r,为系数矩阵,A,的秩。,基础解系不唯一，任何一个线性无关且与基础解系等价的向量组都是该齐次线性方程组的基础解系,例1,求齐次线性方程组,的一个基础解系。,第三十六页，共42页。,线性方程组,5,线性方程组有解的判别定理,例2,证明：齐次线性方程组,的解全是方程,的解的充要条件是向量,可由向量组,线性表出。,第三十七页，共42页。,线性方程组,6,线性方程组解的结构,定义：,把一般线性方程组,一般线性方程组解的结构,的右端项换为0所得的齐次线性方程组称为该方程组的,导出组,。,性质1：,一般线性方程组的两个解的差是其导出组的解。,性质2：,一般线性方程组的一个解与其导出组的一个解之和仍是该,线性方程组的解。,一般线性方程组与其导出组的解的关系：,第三十八页，共42页。,线性方程组,6,线性方程组解的结构,定理：,如果,g,0,是线性方程组的一个特解，那么方程组的任一解,g,可表示为,其中,h,是其导出组的一个解,，当,h,取遍它导出组的全部解时，,g,就给出该,推论,在线性方程组有解的条件下，其解唯一的充要条件是它的导出组,只有零解。,线性方程组的全部解。,第三十九页，共42页。,精品课件,！,第四十页，共42页。,精品课件,！,第四十一页，共42页。,线性方程组,5,线性方程组有解的判别定理,例3,设,h,0,是线性方程组的一个解，,是它的导出组的一个基础,解系。令,证明此方程组的,任一解,g,都可表示为,其中,例4,设线性方程组,是非齐次的(即至少有一个,b,i,0)，且系数矩阵的秩为,r,。证明：若该方程组,有解，则有,n-r+,1,个解向量线性无关，且每个解向量都可由它线性表出。,第四十二页，共42页。,