411圆的标准方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.1.1,圆的标准方程,我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直线,在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？,复习引入,A,M,r,x,O,y,问题,当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了因此一个圆最基本要素是,圆心和半径,x,O,y,A,(,a,b,),M,r,(,x,y,),引入新课,如图，在直角坐标系中，圆心（点）,A,的位置用坐标,(,a,b,),表示，半径,r,的大小等于圆上任意点,M,(,x,y,),与圆心,A,(,a,b,),的距离,符合上述条件的点的集合是什么？你能用描述法来表示这个集合吗？,符合上述条件的点的集合：,圆的方程,x,O,y,A,(,a,b,),M,r,(,x,y,),问题,圆上任意点,M,(,x,y,),与圆心,A,(,a,b,),之间的距离能用什么公式表示？,圆的方程,根据两点间距离公式：,则点,M,、,A,间的距离为：,即：,把这个方程称为圆心为,A,(,a,b,),，半径长为,r,的圆的方程，把它叫做,圆的标准方程,.,x,y,O,C,M,(,x,y,),已知圆的圆心,C,(,a,b,),半径,r,则圆的标准方程是：,知识点：,一、圆的标准方程,二、求圆的标准方程的方法,1,、设圆的方程,2,、找出三个关于,a,、,b,、,r,的,条件,3,、利用条件列出方程组,4,、解方程组得出,a,b,r,的值并代入标准方程中,三、圆心：确定圆的位置；半径：确定圆的大小,特殊位置的圆方程,因为圆心是原点,O,(0,0),，将,a,0,，,b,0,和半径,r,带入圆的标准方程：,问题,圆心在坐标原点，半径长为,r,的圆的方程是什么？,得,：,整理得,：,1.,写出下列圆的方程,：,(1),圆心在原点,半径为,3.,(2),圆心在点,C,(3,-4),半径为,7.,(3),经过点,P,(5,1),，圆心在点,C,(8,-3).,2.,说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：,(1)(,x,+7),2,+(,y,4),2,=36,(2)(,x,a,),2,+,y,2,=,m,2,应用举例,(2)x,2,+,（,y+2,）,2,=,1,例,1,写出圆心为 ，半径长等于,5,的圆的方程，并判断点 ，是否在这个圆上,解：,圆心是 ，半径长等于,5,的圆的标准方程是：,把 的坐标代入方程 左右两边相等，点 的坐标适合圆的方程，所以点,在这个圆上；,典型例题,把点 的坐标代入此方程，左右两边不相等，点 的坐标不适合圆的方程，所以点 不在这个圆上,例,1,写出圆心为 ，半径长等于,5,的圆的方程，并判断点 ，是否在这个圆上,解：,圆心是 ，半径长等于,5,的圆的标准方程是：,典型例题,A,x,y,o,M,1,M,2,怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,A,x,y,o,M,1,M,2,M,3,从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上,怎样判断点 在圆 内呢？还是在圆外呢？,点与圆的位置关系,探究,A,x,y,o,M,1,M,2,M,3,可以看到：,点在圆外,点到圆心的距离大于半径,r,；,点在圆内,点到圆心的距离小于半径,r,若,(x,0,-a),2,+(y,0,-b),2,r,2,时,点,M,在圆,C,外,;,若,(x,0,-a),2,+(y,0,-b),2,=,r,2,时,点,M,在圆,C,上,;,若,(x,0,-a),2,+(y,0,-b),2,r,2,时,点,M,在圆,C,内,.,设点,M,，圆,:,三：判断点与圆的位置关系的方法：,把点,M,的坐标代入圆的方程,例,2,的三个顶点的坐标分别,A,(5,1),B,(7,3),，,C,(2,8),，求它的外接圆的方程,分析,：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解,：设所求圆的方程是 （,1,）,因为,A,(5,1),B,(7,3),，,C,(2,8),都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（,1,）于是,典型例题,所以，的外接圆的方程,典型例题,解此方程组，得：,分析,：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆,解,：,例,2,的三个顶点的坐标分别,A,(5,1),B,(7,3),，,C,(2,8),，求它的外接圆的方程,例,3,已知圆心为,C,的圆经过点,A,(1,1),和,B,(2,2),，且圆心,C,在直线上,l,：,x,y,+1=0,，求圆心为,C,的圆的标准方程,分析,：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大小圆心为,C,的圆经过点,A,(1,1),和,B,(2,2),，由于圆心,C,与,A,B,两点的距离相等，所以圆心,C,在线段,AB,的垂直平分线 上又圆心,C,在直线,l,上，因此圆心,C,是直线,l,与直线 的交点，半径长等于,|,CA,|,或,|,CB,|,解,：,因为,A,(1,1),和,B,(2,2),，所以线段,AB,的中点,D,的坐标,直线,AB,的斜率,:,典型例题,因此线段,AB,的垂直平分线 的方程是,即,圆心,C,的坐标是方程组,的解,典型例题,例,3,已知圆心为,C,的圆经过点,A,(1,1),和,B,(2,2),，且圆心,C,在直线上,l,：,x,y,+1=0,，求圆心为,C,的圆的标准方程,解,：,所以圆心,C,的坐标是,圆心为,C,的圆的半径长,所以，圆心为,C,的圆的标准方程是,典型例题,解此方程组，得,例,3,已知圆心为,C,的圆经过点,A,(1,1),和,B,(2,2),，且圆心,C,在直线上,l,：,x,y,+1=0,，求圆心为,C,的圆的标准方程,解,：,知识小结,圆的基本要素,圆的标准方程,圆心在原点的圆的标准方程,判断点与圆的位置关系,作业布置,:,P,124,习题,4.1 A,组 第,2,3,题,思考,例 已知圆的方程是,x,2,+,y,2,=,r,2,，,求经过圆上一 点 的切线的方程。,X,Y,0,解,:,