26标准正交基

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.6,R,n,的标准正交基,定义,2.16,在,R,n,中,任意,n,个,称为,R,n,的一组,基,.,如,为,R,n,的一组基,.,称为,R,n,的,标准基,或,自然基,.,又如,为,R,3,的一组基,.,一,、,基,向量在基下的坐标,线性无关的向量,设,为,R,n,的一组基,.,n+1,个,n,维向量,线性相关,.,线性表示,:,线性无关,从而,可由,且表法唯一,.,称为,在基,下的坐标,.,如,为,R,3,的一组基,.,在此基下的坐标为,在此基下的坐标为,为,R,n,的,标准基,在基,下的坐标为,恰为,的分量,.,例,已知,R,3,的,一组基为,求,在此基下的坐标,.,解,即,在基,下的坐标为,设,定义,2.18,实数,称为向量,和的,内积,.,记为,T,.,和 的内积为,二、向量的内积,给定,R,n,中向量,如,T,=,两个,n,维实向量的内积,说明,1),2),只有维数相同的,3),设,则,和的,内积,为,是一个实数,.,两个向量才有内积,.,一般情况下，本节的向量均为列向量,和的内,积为,内积具有如下性质：,（分配律）,（交换律）,证,三、,向量的长度,定义,2.19,非负实数,称为向量,的,长度,或向量,的,范数,记为,对,R,n,中向量,在,2,维空间,R,2,中,1,2,长度为,1,的向量,是单位向量,.,例,称为,单位向量,.,设,是,中任一向量,在,3,维空间,R,3,中,1,2,3,是单位向量,.,例,设,是,中任一向量,在,n,维空间,R,n,中,一般地,都是单位向量,.,（,k,为实数）,向量的长度具有以下性质：,对任意向量,和，,有,证,对任意实数,有,时，显然不等式成立，,当,否则为关于,t,的一元二次不等式，只需,对任意向量,和,，,有,（三角不等式）,证,对,R,n,中任意,非零,向量,，,事实上，,用非零向量,的长度,得到一个,称为把,向量,单位化,。,单位向量,与同,方向的,如,是单位向量,.,如,去除,向量,根据余弦定理,在,R,3,中,设,则,和,的内,积为,证,在,R,3,中，设,则和的内,积为,定义,2.20,四,、,正交向量组,例如,T,=0,则称与,正交,在,R,3,中,或,或,或,如果,设,与,正交,与,正交,例,零向量与任一向量正交,.,例 在,R,3,中,即,R,3,中,1,1,1,两两正交,称为,R,3,中的,只有零向量,与自己正交,.,正交,单位向量组,.,的单位向量组,1,2,3,在,n,维空间,R,n,中,R,n,中的,单位,向量组,称为,R,n,中的,时,一般地,两两正交,.,1,2,n,正交,单位向量组,.,定义,2.21,则称向量组,1,2,s,如,是,R,3,中的正交向量组,.,注意：,两两正交,为,正交向量组,.,每个向量,正交向量组中，,如果,R,n,中的,非零,向量组,即,正交,单位向量组,.,如果一个,正交向量组中，,每个,向量都是单位向量,则该向量组称为,是正交,单位向量组,.,都不是零向量。,结论,1,则对任何实数,k,l,，,证,若,有,结论,2,若,1,2,s,为正交向量组，,则,是正交,单位向量组,.,定理,2.15,证,一般地，,线性无关,.,R,n,中,是,R,n,中的正交向量组,.,线性无关,.,设,时,设,的正交向量组,定义,2.22,在,R,n,中,n,个向量,为,R,n,的一个标准正交基,.,如,为,R,n,的标准正交基,.,又如,为,R,3,的一组基,.,满足：,中，,任意两个都正交；,则称,但不是,R,3,的标准正交基,.,五,、,施密特正交化方法,设向量组,是,正交向量组,且,线性无关,，,令,例,等价的,解,再将,两两正交，,等价,.,与,求与,单位正交的向量组,.,令,单位化,.,再将,1,，,2,，,3,4,单位化,:,1,2,3,4,是,且与,1,2,3,4,单位正交,向量组,等价,.,定义,2.23,则称,Q,为,说明,例,都是实数,.,（,3,）,Q,可逆，,五,、,正交矩阵,设,n,阶,实,矩阵,Q,正交矩阵,.,正交矩阵,单位矩阵,E,为正交矩阵,即正交矩阵的元素,n,阶矩阵,Q,是正交矩阵,定理,2.17,及推论,满足,必是实矩阵,由,（,2,）,（,1,）,正交矩阵,一定是方阵,.,例,是正交矩阵,正交矩阵具有下列性质：,若,Q,是正交矩阵，,证,若,Q,为正交矩阵,若,P,，,Q,都是,证,则,Q,的行列式的值,则,Q,可逆,则,PQ,也是正交矩阵,.,PQ,是正交矩阵。,也是正交矩阵,.,且,证,等于,1,或,1,n,阶正交矩阵，,定理,是单位正交向量组,.,是单位正交向量组,.,则,Q,为正交矩阵,Q,的列 向量组,两两正交,两两正交,条件是,:,设,Q,为,n,阶实矩阵,的充要,(,行,),是单位正交向量组,.,且,且,设,证明,为正交矩阵,.,分析：,为,n,阶矩阵,.,为,n,阶矩阵,.,记,只需证,设,证明,为正交矩阵,.,证,A,是正交矩阵,.,设,线性相关,线性无关,(1),1,能否由,线性表出,?,(2),4,能否由,线性表出,?,解,(1),线性无关,线性无关,.,又,线性相关,1,能由,线性表出,.,(2),由,(1),若,4,能由,线性表出,.,设,则,4,可,由,线性表出，,故,线性相关,矛盾,.,故,4,不能,由,线性表出,.,第二版,作业,P115 36,，,37,39 42,（,3,）,第三版,作业,P125,1,，,2,4 7,（,3,）,