连续函数的运算法则

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,一、连续函数的运算法则,第九节,二、初等函数的连续性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,连续函数的运算与,初等函数的连续性,第一章,定理2.,连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,(利用极限的四则运算法则证明),商,(分母不为 0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(递减).,(证明略),在 1,1 上也连续单调递增.,递增,(递减),也连续单调,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定理3.,连续函数的复合函数是连续的.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增.,证:,设函数,于是,故复合函数,又如,且,即,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续.,复合而成,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1.,设,均在,上连续,证明函数,也在,上连续.,证:,根据连续函数运算法则,可知,也在,上,连续.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、初等函数的连续性,基本初等函数在定义区间内连续,连续函数经四则运算仍连续,连续函数的复合函数连续,一切初等函数在,定义区间内,连续,例如,的连续区间为,(端点为单侧连续),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2.,求,解:,原式,例3.,求,解:,令,则,原式,说明:,当,时,有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4.,求,解:,原式,说明:,若,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例5.,设,解:,讨论复合函数,的连续性.,故此时连续;,而,故,x,=1,为第一类间断点.,在点,x,=1,不连续,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,基本初等函数,在定义区间内,连续,连续函数的,四则运算,的结果连续,连续函数的,反函数,连续,连续函数的,复合函数,连续,初等函数在定义区间内连续,说明:,分段函数在界点处是否连续需讨论其,左、右连续性.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考与练习,续?,反例,x,为有理数,x,为无理数,处处间断,处处连续.,反之是否成立?,作业,P68 3,(5),(6),(7);,4,(4),(5),(6);,5,提示:,“反之”不成立.,第十节 目录 上页 下页 返回 结束,