数学思想第一讲函数与方程思想

,高考二轮专题复习与测试,数学,(,文科,),高考二轮专题复习与测试,数学,(,文科,),专题八思想方法专题,第一讲函数与方程思想,函数思想,一般地，函数思想就是构造函数从而利用函数的图象与性质解题，经常利用的性质是：单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等在解题中，善于挖掘题目的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键，它广泛地应用于方程、不等式、数列等问题,方程思想,1,方程的思想就是将所求的量,(,或与所求的量相关的量,),设成未知数，用它表示问题中的其他各量，根据题中的已知条件，列出方程,(,组,),，通过解方程或对方程进行研究，使问题得到解决,2,方程的思想与函数的思想密切相关：方程,f,(,x,),0,的解就是函数,y,f,(,x,),的图象与,x,轴的交点的横坐标；函数,y,f,(,x,),也可以看作二元方程,f,(,x,),y,0,，通过方程进行研究，方程,f,(,x,),a,有解，当且仅当,a,属于函数,f,(,x,),的值域函数与方程的这种相互转化关系十分重要,函数与方程的思想在解题中的应用,函数与方程思想解决的相关问题,1.,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：,(1),借助有关初等函数的性质，解有关求值、解,(,证,),不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；,(2),在研究问题中通过建立函数关系式或构造中间函数，把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的,2.,方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面：,(1),解方程或解不等式；,(2),带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；,(3),需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系等；,(4),构造方程或不等式求解问题,1,方程,m,x,有解，则,m,的最大值为,(,),A,1,B,0,C,1 D,2,A,2,把长为,12 cm,的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是,(,),突破点,1,运用函数与方程思想解决字母,(,或式子,),的求值或取值范围问题,已知,a,，,b,，,c,R,，,a,b,c,0,，,a,bc,1,0,，求,a,的取值范围,思路点拨,：,本题可以根据题设条件将,b,，,c,的和与积用,a,表示，构造一元二次方程，然后利用一元二次方程有解，其判别式,0,，再构建,a,的不等式求解或根据题设条件将,a,表示成,c,的函数转化为求函数的值域问题求解,规律方法：,(,1,),求字母,(,或式子,),的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母,(,或式子,),为元的方程,(,组,),，然后由方程,(,组,),求得,.,(,2,),求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题,.,解决这类问题一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式,(,组,),求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后应用函数知识求值域,.,(,3,),当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决,.,(,4,),当问题中出现多个变量时，往往要利用等量关系去减少变量的个数，如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式，那么就可用研究函数的方法将问题解决,.,跟踪训练,1,若,a,，,b,是正数，且满足,ab,a,b,3,，求,ab,的取值范围,突破点,2,运用函数与方程思想解决方程问题,如果方程,cos,2,x,sin,x,a,0,在 上有解，求,a,的取值范围,思路点拨,：,可分离变量为,a,cos,2,x,sin,x,，转化为确定的相关函数的值域,规律方法：,研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题，通常有两种处理思路：一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程，进而利用二次方程解的分布情况构建不等式或构造函数加以解决,.,跟踪训练,2,如果方程,lg(,x,1),lg(3,x,),lg(,a,x,)(,a,R,),有解，求实数,a,的取值范围,突破点,3,运用函数与方程思想解决不等式问题,(1),已知,x,，,y,R,，且,2,x,3,y,2,y,3,x,，那么,(,),A,x,y,0,C,xy,0,思路点拨,：,(1),先把它变成等价形式,2,x,3,x,2,y,3,y,，再构造辅助函数,f,(,x,),2,x,3,x,，利用函数单调性比较,解析：,(1),设,f,(,x,),2,x,3,x,.,因为,y,2,x,，,y,3,x,均为,R,上的增函数，,所以,f,(,x,),2,x,3,x,是,R,上的增函数,又由,2,x,3,x,2,y,3,y,2,y,3,(,y,),，,即,f,(,x,),f,(,y,),，,x,y,，即,x,y,0.,(2),设不等式,2,x,1,m,(,x,2,1),对满足,m,2,2,的一切实数,m,都成立，求,x,的取值范围,思路点拨,：,此问题由于是常见的思维定势，易把它看成关于,x,的不等式讨论，若变换一个角度，以,m,为变量，使,f,(,m,),(,x,2,1),m,(2,x,1),，则问题转化为求一次函数,(,或常函数,),f,(,x,),的值在,2,2,内恒负时，参数,x,应满足的条件,误区警示：,本题易误为关于,x,的不等式在,2,2,上恒成立，求,m,的取值范围,规律方法：,(,1,),在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法,.,(,2,),在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题,.,同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量，而待求范围的量为参数,.,(,3,),在解决不等式证明问题时，构造适当的函数，利用函数方法解题是近几年各省市高考的一个热点,.,用导数来解决不等式问题时，一般都要先根据欲证的不等式构造函数，然后借助导数研究函数的单调性情况，再结合在一些特殊点处的函数值得到欲证的不等式,.,跟踪训练,3,设函数,f,(,x,),2,x,3,3,ax,2,3,bx,8,c,在,x,1,及,x,2,时取到极值,(1),求,a,，,b,的值；,(2),若对于任意的,x,0,3,都有,f,(,x,),c,2,成立，求,c,的取值范围；,(3),若方程,f,(,x,),c,2,有三个根，求,c,的取值范围,解析：,(1),f,(,x,),6,x,2,6,ax,3,b,3(2,x,2,2,ax,b,),当,a,3,，,b,4,时，,f,(,x,),3(2,x,2,6,x,4),6(,x,2)(,x,1).,当,x,0,；,当,1,x,2,时，,f,(,x,)2,时，,f,(,x,)0,，所以此时,1,与,2,都是极值点，,因此,a,3,，,b,4,，,f,(,x,),2,x,3,9,x,2,12,x,8,c,.,(2),由,(1),知函数,y,f,(,x,),在,x,1,处取到极大值,f,(1),5,8,c,，,在,x,2,处取到极小值,f,(2),4,8,c,.,因为,f,(0),8,c,，,f,(3),9,8,c,，,所以当,x,0,3,时，函数,y,f,(,x,),的最大值是,f,(3),9,8,c,，所以要使对于于任意的,x,0,3,都有,f,(,x,),c,2,成立，,需要,f,(3),9,8,c,0,，解得,c,9.,(3),由,(1)(2),知函数,y,f,(,x,),在区间,(,，,1),上是增函数，,=,在,(1,2),上是减函数，在,(2,，,),上是增函数，,y,f,(,x,),在,x,1,处取到极大值,f,(1),5,8,c,，,在,x,2,处取到极小值,f,(2),4,8,c,，,f,(1),f,(2),所以要使方程,f,(,x,),c,2,有三个根，,需要,f,(2),c,2,f,(1),，即,4,8,c,c,2,5,8,c,，,突破点,4,运用函数与方程思想解决最优化问题,平面内边长为,a,的正三角形,ABC,，直线,DE,BC,，交,AB,，,AC,于,D,，,E,，现将,ABC,沿,ED,折成,60,的二面角，求,DE,在何位置时，折起后,A,到,BC,的距离最短，最短距离是多少？,思路点拨,：,本题首先借助于几何作图找出折起来后,A,到,BC,的距离，然后选定合理变量建立距离的目标函数,解析：,如图所示，,A,沿,DE,折起到,A,，过,A,作,AG,BC,于,G,，交,DE,于,F,，连接,A,F,，,A,G,，,ABC,为正三角形，,DE,BC,，,AF,DE,，,A,F,DE,.,同时，,G,，,F,分别为,BC,，,DE,的中点，,DE,平面,A,FG,，,BC,平面,A,FG,.,A,FG,是二面角,A,ED,B,的平面角,由题知,AFG,60,，,AG,为所求,规律方法：,解析几何、立体几何及其实际应用等问题中的最优化问题，一般利用函数思想来解决，思路是先选择恰当的变量建立目标函数，再用函数的知识来解决,.,跟踪训练,4,某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两桥墩相距,m,米，余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩，经预测，一个桥墩的工程费用为,256,万元，距离为,x,米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为,(2,),x,万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为,y,万元,(1),试写出,y,关于,x,的函数关系式；,(2),当,m,640,米时，需新建多少个桥墩才能使,y,最小？,当,0,x,64,时,f,(,x,),0,，,f,(,x,),在区间,(0,64),内为减函数；,当,64,x,640,时，,f,(,x,),0.,f,(,x,),在区间,(64,640),内为增函数，,所以,f,(,x,),在,x,64,处取得最小值，此时，,故需新建,9,个桥墩才能使,y,最小,1,函数与方程思想在许多容易题中也有很多体现,2,有很多时候可以将方程看成函数来研究，这就是函数思想,3,有些时候可以将函数看成方程来研究，这就是最简单的方程思想我们可以有意通过函数思想部分训练提升自己的数学能力,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,