信号与系统2.2

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,信号与系统,第,2-,*,页,2.2,冲激响应和阶跃响应,2.2,冲激响应和阶跃响应,一、冲激响应,1,定义,由单位冲激函数,(t),所引起的,零状态响应,称为,单位冲激响应,，简称冲激响应，记为,h(t),。,h(t)=T0,(t),2,系统冲激响应的求解,冲激响应的数学模型,对于,LTI,系统,可以用一,n,阶微分方程,表示,令,f,(,t,)=,(,t,),则,y,(,t,)=,h,(,t,),响应及其各阶导数,(,最高阶为,n,次,),激励及其各阶导数,(,最高阶为,m,次,),例,1,描述某系统的微分方程为,y,”,(t)+5y,(t)+6y(t)=f(t),求其冲激响应,h(t),。,解,根据,h(t),的定义 有,h,”,(t)+5h,(t)+6h(t)=(t),h,(0-)=h(0-)=0,先求,h,(0+),和,h(0+),。,因方程右端有,(t),，,故利用系数平衡法。,h,”,(t),中含,(t),，,h,(t),含,(t),，,h,(0+)h,(0-),，,h(t),在,t=0,连续，即,h(0+)=h(0-),。,积分得,h,(0+)-h,(0-)+5h(0+)-h(0-)+6 =1,2.2,冲激响应和阶跃响应,考虑,h(0+)=h(0-),，,由上式可得,h(0+)=h(0-)=0 ,h,(0+)=1+h,(0-)=1,对,t0,时，有,h,”,(t)+5h,(t)+6h(t)=0,故系统的冲激响应为一齐次解。,微分方程的特征根为,-2,，,-3,。故系统的冲激响应为,h(t)=(C,1,e,-2t,+C,2,e,-3t,)(t),代入初始条件求得,C,1,=1,C,2,=-1,所以,h(t)=(e,-2t,-e,-3t,)(t),解：,求特征根,冲激响应,例,2,求系统 的冲激响应。,将,f,(,t,),(,t,),，,y,(,t,),h,(,t,),带,(,t,),求,0,+,法,奇异函数项相平衡法,两种求,待定,系数方法：,法一,：求,0,+,值确定系数,代入,h,(,t,),，确定系数,C,1,C,2,，得,法二：用奇异函数项相平衡法求待定系数,根据系数平衡，得,解法三：线性时不变性质法,解：,求系统 的冲激响应。,设,h,1,(,t,),满足简单方程,将边界条件代入,h,1,(,t,),式，解得,C,1,=1/2,，,C,2,=,-,1/2,，,则由,系统的线性时不变特性,2.2,冲激响应和阶跃响应,例,3,描述某系统的微分方程为,y,”,(t)+5y,(t)+6y(t)=f,”,(t)+2f,(t)+3f(t),求其冲激响应,h(t),。,解,根据,h(t),的定义 有,h,”,(t)+5h,(t)+6h(t)=,”,(t)+2,(t)+3(t)(1),h,(0-)=h(0-)=0,先求,h,(0+),和,h(0+),。,由方程可知，,h(t),中含,(t),故,令,h,”,(t)=a,”(t)+,b,(t)+,c,(t)+p3(t),h(t)=a,(t)+p,1,(t)p,i,(t),为,不含,(t),的某,函数,h,(t)=a,(t)+b,(t)+p,2,(t),代入式,(1),，有,2.2,冲激响应和阶跃响应,a,”(t)+b,(t)+c,(t)+p,3,(t)+5a,(t)+b,(t)+p,2,(t),+6a,(t)+p,1,(t)=,”,(t)+2,(t)+3(t),整理得,a,”(t)+,(b+5a),(t)+,(c+5b+6a),(t)+p,3,(t)+5 p,2,(t)+6 p,1,(t)=,”,(t)+,2,(t)+,3,(t),利用,(t),系数匹配，得,a=1,，,b=-3,，,c=12,所以,h(t)=,(t)+p,1,(t),（,2,）,h,(t)=,(t)-3,(t)+p,2,(t),（,3,）,h,”,(t)=,”(t)-3,(t)+12,(t)+p,3,(t),（,4,）,对式,(3),从,0-,到,0+,积分得,h(0+)h(0-)=3,对式,(4),从,0-,到,0+,积分得,h,(0+)h,(0-)=12,故,h(0+)=3,，,h,(0+)=12,2.2,冲激响应和阶跃响应,微分方程的特征根为,2,，,3,。故系统的冲激响应为,h(t)=C,1,e,2t,+C,2,e,3t,，,t0,代入初始条件,h(0+)=3,，,h,(0+)=12,求得,C,1,=3,，,C,2,=6,所以,h(t)=3e,2t,6e,3t,t 0,结合式,(2),得,h(t)=,(t)+(3e,2t,6e,3t,)(t),对,t0,时，有,h,”,(t)+6h,(t)+5h(t)=0,二、阶跃响应,g,(t)=T,(t)，0,由于,(t),与,(t),为,微积分关系，故,