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单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,5.9,正弦定理、余弦定理,(,一）,yyyy年M月d日星期,教学目标：,掌握正弦定理,能应用正弦定理解斜三角形，解决实际问题。,教学重点：,正弦定理,教学难点：,正弦定理的正确理解和熟练运用,创设情境,.,B,.,A,某游览风景区欲在两山之间架设一观光索道,要测的两山之间,B.C,两点的距离,现在岸边选定,1,公里的基线,AB,并在,A,点处测得,A=60,0,，在,C,点测得,C=45,0,如何求得,B.C,两点的距离,?,.,C,解：过点,B,作,BDAC,交,AC,点,D,在,RtADB,中，,sinA,=,DB=,ABsinA,在,RtCDB,中，,sinC,=DB=,BCsinC,ABsinA,=,BCsinC,，即,C,A,B,D,复 习 引 入,回忆一下直角三角形的边角关系?,A,B,C,c,b,a,两等式间有联系吗？,这就是正弦定理，定理对直角三角形成立,对于锐角和钝角三角形，这一结论是否也成立呢？,探究：,j,A,C,B,在锐角 中，,过,A,作单位向量,j,垂直于 ，,则有,j,与 的夹角为 ，,j,与,的夹角为 .等式,怎样建立三角形中边和角间的关系？,即,同理，过,C,作单位向量,j,垂直于 ，可得,新 课 教 学：,在钝角三角形中，它的证明又如何呢？,j,A,C,B,在钝角 中，,过,A,作单位向量,j,垂直于 ，,则有,j,与 的夹角为 ，,j,与,的夹角为 .等式 .,同样可证得：,正弦定理,在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比,相等，即,正弦定理可以解什么类型的三角形问题？,已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角；已知两,边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的边和角,.,（,R,为,ABC,外接圆半径）,已知,a,b,和,A,用正弦定理求,B,时的各种情况,:,若,A,为锐角时,:,若,A,为直角或钝角时,:,例 题 解 析,例,1,在 中，已知 ，求,b,（,保,留两个有效数字）.,解：且,分析：这是属于已知两角和其中一角的对边问题,例2,在 中，已知 ，求,.,解：由,得,在 中,A,为锐角,分析：这是属于已知两边和其中一边的对角问题,例,3.,(08.,四川 文,),ABC,的三内角,A,、,B,、,C,的对边边长,分别为,a,、,b,、,c,若,则,cosB,=,解析：,由题意得,选,B,例,4,解：,，,例,5,已知,ABC,，,B,为,B,的平分线，求证：,AB,BC,A,C,分析：,前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形,内研究问题，而,B,的平分线,BD,将,ABC,分成了两个三角,形：,ABD,与,CBD,，故要证结论成立，可证明它的等,价形式：,AB,AD,BC,DC,，从而把问题转化到两个,三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的,比，故可利用正弦定理将所证继续转化为,再根据相等角正弦值相等，互补角,正弦值也相等即可证明结论,.,证明：,在,ABD,内，,利用正弦定理得：,在,BCD,内，,利用正弦定理得：,BD,是,B,的平分线,.,ABD,DBC,sin,ABD,sin,DBC,.,ADB,BDC,180,sin,ADB,sin,（,180,BDC,）,sin,BDC,评述：此题利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用,.,例,6,在 中，求,的面积,S,h,A,B,C,三角形面积公式,解：,由正弦定理得,练 习：,（,1,）在 中，一定成立的等式是（,）,C,（2）在 中，若 ，则 是(),A,等腰三角形,B,等腰直角三角形,C,直角三角形,D,等边三角形,分析：由正弦定理 式子 可以写成,由,二倍角公式,sin2sin,cos,有,sin =sin sin,从而得到,A=B=C,三角形是等边三角形,（,4,）在任一 中，求证：,证明：由于正弦定理：令,左边,代入左边，得,等式成立,=右边,（,3,）,.,在,ABC,中，,sin,A,sin,B,是,A,B,的（）,A.,充分不必要条件,B.,必要不充分条件,C.,充要条件,D.,既不充分也不必要条件,C,本题也可以将角转化为边来解决，要证明,利用正弦定理只需证明,a（bc）b（ca）c（ab）0,显然，上式成立。,小 结,正弦定理,两种应用,从理论上正弦定理可解决两类问题：,1,两角和任意一边，求其它两边和一角；,2,两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可,求其它的边和角。,利用正弦定理进行边、角的关系转化,（,R,为,ABC,外接圆半径）,
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