数理统计的基本概念

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第六 章 数理统计的基本概念,总体与样本,直方图与经验分布函数,统计量及抽样分布,1,数理统计:,是一门具有广泛应用的学科.它以概率论为理论基础,根据试验或观察得到的数据来研究随机现象,对所研究的对象的客观规律性作出合理的估计和推断.,数理统计的内容:,数据的收集,整理,统计推断,2,6.1,总体与样本,1.,总体,：,研究对象的全体。,通常指研究对象的某项数量指标（如:某种灯泡的寿命,某种产品的合格率等)。更多的情况下,我们把全部可能的研究对象的数量指标的所有观察值称为总体.,组成总体的元素称为,个体。,对总体的研究就是对,某项数量指标,（,随机变量,）的研究，实际上就是对,该随机变量的概率分布进行研究,从本质上讲，总体就是所研究的随机变量或随机变量的分布。所以，我们一般用随机变量表示总体,3,2.,样本：,来自总体的部分个体,X,1,，,，X,n,如果满足：,（1）,同分布性：,X,i,，i=1,n与总体同分布.,（2）,独立性：,X,1,，X,n,相互独立；,则称为,容量为n 的简单随机样本,，简称,样本,。,而称,X,1,，X,n,的一次实现为样本观察值，记为,x,1,，,x,n,4,来自总体,X,的随机样本,X,1,，,，X,n,可记为,显然，样本联合分布函数或密度函数为,或,5,3.总体、样本、样本观察值的关系,总体,样本,样本观察值,理论分布,统计是从手中已有的资料样本观察值，去推断总体的情况总体分布。样本是联系两者的桥梁。,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本观察值的规律,，因而可以用样本观察值去推断总体,6,直方图,设来自总体的一个样本为,样本观察值为,6.2 直方图与经验分布函数,7,(1),对样本进行排序分组：,作为一般性的原则，组数通常在,520,个，对容量较小的样本;,(2),确定每组组距：,近似公式为,组距,t,=(,最大观测值,最小观测值,)/,组数;,(3),确定每组组限,：,各组区间端点为,t,0,t,1,=,t,0,+,d,t,2,=,t,0,+2,d,t,k,=,a,0,+,kd,形成如下的分组区间,(,t,0,t,1,(,t,1,t,2,(,t,k,-1,t,k,具体步骤如下:,其中,t,0,略小于最小观测值,t,k,略大于最大观测值.,8,（）统计落在每个小区间的频数,（）作频率直方图,（）近似得概率密度曲线图,160 196 164 148 170 175 178 166 181 162 161 168 166 162 172 156 170 157 162 154,例,为研究某厂工人生产某种产品的能力，,我们随机调查了20位工人某天生产的该种产品,的数量，数据如下,9,列出其频数频率分布表。,组序 分组区间 组中值 频数 频率 累计频率(%),1,(,147，157,152,4,0.20,20,2,(,157,，,167,162,8,0.40,60,3,(,167,，,177,1,72,5,0.25,85,4,(,177,，,187,182 2 0.10 95,5 (187，197 192 1 0.05 100,合计,20 1,10,直方图是频数分布的图形表示，它的横坐标表示所关心变量的取值区间,，,纵坐标是,频率,/,组距，,它可使得诸长条矩形面积和为,1。,将直方图中每个长方形的“顶边”的中点用一条光滑的曲线连接起来，即得的分布密度函数的近似曲线,11,经验分布函数,设,X,1,X,2,X,n,是取自总体分布函数为,F,(,x,),的样本，若将样本观测值由小到大进行排列,为,x,(1),x,(2),x,(,n,),，则称,x,(1),x,(2),x,(,n,),为,有序样本,，,用有序样本定义如下函数,12,则,F,n,(,x,),是一非减右连续函数，且满足,F,n,(,)=0 和,F,n,(,)=1,由此可见，,F,n,(,x,),是一个分布函数，,并称,F,n,(,x,),为,经验分布函数,。,13,例,1,某食品厂生产听装饮料，现从生产线上,随机抽取,5,听饮料，称得其净重（单位：克）,351 347 355 344 354,x,(1),=344,x,(2),=347,x,(3),=351,x,(4),=354,x,(5),=355,这是一个容量为,5,的样本，经排序可得有序样本：,14,其经验分布函数为,由贝努里大数定律：,只要,n,相当大，,F,n,(,x,),依概率收敛于,F,(,x,),。,15,6.3,一、,2,分布,数理统计中常用到如下三个分布：,2,分布、,t,分布和,F,分布。,16,2.,2,分布的,密度函数f(x),17,3.分位点,设,X,2,(n),，若对于,：01，,存在,满足,则称,为,分布的上侧,分位数。,18,4.性质,a.,分布可加性,若,X,2,(n)，Y,2,(m,),X,Y,独立，则,X,+,Y,2,(n+m,),b.期望与方差,若,X,2,(n)，,则,E(X)=n，D(X)=2n,1.,构造,若,XN(0,1),Y,2,(n),X,与,Y,独立，则,的分布称为自由度为,n,的t分布。记为T,t(n),二、t分布,19,t,(n),的概率密度为,20,2.基本性质,:,(1)f(t),关于,t=0,(纵轴)对称。,(2)f(t),的极限为,N(0，1),的密度函数，即,3.分位点,设,Tt(n),，若对,:00,，满足,PTt,(n)=，,则称,t,(n),为,t(n),的上侧分位点,21,注:,22,三、F分布,1.构造,若,X,2,(n,1,)，Y,2,(n,2,)，X，Y,独立，则,称为第一自由度为,n,1,，,第二自由度为,n,2,的,F,分布,其概率密度为,23,2.F,分布的分位点,对于,：00，,满足,PFF,(n,1,n,2,)=，则称F,(n,1,n,2,)为,F(n,1,n,2,),的,上侧,分位点；,24,证明:设FF(n,1,n,2,),则,注：,得证!,25,6.4、统计量及抽样分布,1.统计量,定义：称样本,X,1,，,，X,n,的函数,g(,X,1,，,，X,n,),是 总体X的一个,统计量,如果g(,X,1,，,，X,n,),不含 未知 参数,几个常用的统计量：,26,3.样本k阶矩,27,2.抽样分布,证明:,是n 个独立的正态随机变量的线性组合,故服从正态分布,28,(3)证明:,且U与V独立,根据t分布的构造,得证!,29,30,31,32,33,