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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用举例,基础梳理,1.两个向量的夹角,(1)定义,已知两个 非零 向量a和b,作OA=a,OB=b,则AOB=叫做向量a与b的夹角.,(2)范围,向量夹角的范围是 0180 ,a与b同向时,夹角=,;a与b反向时,夹角=,.,(3)向量垂直,如果向量a与b的夹角=90,则a与b垂直,记作,.,ab,2.平面向量的数量积,(1)平面向量数量积的定义,已知两个非零向量a和b,它们的夹角为,我们把数量,叫做向量a和b的数量积(或内积),记作ab,即ab=,并规定：零向量与任一向量的数量积为,.,(2)一向量在另一向量方向上的投影,定义:设是非零向量a和b的夹角,则,叫做 a在b的方向上的投影,|b|cos叫做,投影.b在a的方向上的投影是一个实数,而不是向量,当090时,它是,当900,即若f(x)在(-1,1)上是增函数,则t的取值范围为 5,+).,学后反思,新课标强调向量的工具性,要求加强向量与三角、函数、解析几何、立体几何等知识的联系,因此,把函数、向量、导数等知识进行综合必将是高考的趋势.本题实质上是应用导数解决函数的单调性问题,向量起到构造函数关系的作用,一旦求出函数解析式f(x)=-x,3,+x,2,+tx+t,就可以用导数等知识解决.解题时应分清层次,明确向量在综合问题中的作用,把复杂问题分解为多个简单问题来解决.,举一反三,4.已知向量OA=(3,-4），OB=(6,-3),OC=(5-m,-3-m),(1)若点A,B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；,(2)若ABC为直角三角形，且A为直角，求实数的m值,。,解析：,（1）已知向量,若点A,B,C能构成三角形，则这三点共线，,故知3(1-m)2-m,满足条件。,（2）若ABC为直角三角形，且A为直角，则,3（2-m)+(1-m)=0,解得,易错警示,【例1】下列命题正确的序号是,。,若a,b,bc,则ac,若 是平面内一组非零向量，则由 ，,得x=y=0;,若 ，且c,o,则a=b;,在ABC中，若有 ，则ABC为钝,角三角形；,与c垂直,错解：,错误分析：,认为正确，在于忽略了零向量和任意向量平行这一性质，只有非零向量的平行性才具有传递性；认为正确，原因是审题错误，只有强调 、不共线才有此结论；认为正确，在于将向量数量积运算与实数运算律混淆了，向量数量积运算不满足结合律，这是因为 表示与c 共线的向量，而 表示与a共线的向量，而a和c的方向并不一定一致；同的错误一样，数量积的运算不满足消去率，由数量积的意义只需a和b在c方向上投影相同即可；认为正确，错误在于忽视向量夹角的概念，0说明B的补角为钝角，故此时三角形形状不确定。,正解,；由于 =,故结论成立。,【例2】设 是夹角为的两个单位向量，且,，求 的值。,错解：,错解分析:,上面的解法错误的认为 是分别与x轴、,y轴方向相同的单位向量。,正解,考点演练,10.（2009重庆）设ABC的三个角为A,B,C,向量,求C,解析：,11.求与向量 夹角相等，且模为,的向量c的坐标.,解析：,如图，设c=(x,y),则,由得 或,12.（2009江苏）设a=(4cos,sin),b=(sin,4cos),c=(cos,-4sin).,（1）若a与b-2c垂直，求tan(+)的值；,（2）求|b+c|的最大值.,(3)tantan=16,求证：ab,解,因为a与b-2c垂直，,a(b-2c)=4cossin-8cos cos+4sin cos,+8sin sin,=4sin(+)-8cos（+）=0,tan(+)=2.,2）由b+c=(sin+cos，4cos-4sin）,得,又当 (kZ)时，“=”成立，所以,|b+c|的最大值为,（3）证明：由,ab,
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