刚体转动习题课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章习题课,内容提要,1、刚体的平动和转动,（,1）,平动,刚体上任意两点的确定的直线在运动中保持不变。刚体平动时，各点的 、相同，可以用一组,线量,描述，所以刚体的平动可用质心为代表，用,质点力学,处理。,（,2）定轴转动 刚体上所有点绕某一固定直线作圆周运动。刚体定轴转动时，各点的 、相同，可以用一组,角量,来描述。,2、力矩和转动惯量,力矩,转动惯量,3、转动定律,对应同一转轴,4、角动量、角动量定理及角动量守恒,角动量,角动量定理,角动量守恒,，则,若,5、转动动能定理,包括有刚体的系统，如果运动过程中，只有保守力做功，则系统的机械能守恒。,6、机械能守恒,7、刚体定轴转动和质点运动对照表,质点运动,刚体定轴转动,位移,角位移,速度,角速度,加速度,角加速度,质量,转动惯量,力,力矩,牛顿定律,转动定律,质点运动,刚体定轴转动,动量,动量,角动量,角动量,角动量定理,动量定理,角动量守恒定律,动量守恒定律,力矩的功,力的功,质点运动,刚体定轴转动,动能,动能定理,转动动能定理,转动动能,重力势能,重力势能,机械能守恒,机械能守恒,一匀质的薄圆盘状飞轮，质量为,m,，,半径为,R,，,绕过盘心且垂直盘面的竖直轴转动，轴的摩擦忽略不计。当它以初角速度,0,转动时，由于上下表面受到空气的摩擦阻力矩的作用，会慢慢停下来，假设空气对盘表面任意点附近单位面积上的摩擦力正比于该点处的线速度大小，比例常数为,k,，,求它一共能转多少圈？,解此题的关键,是求出,摩擦阻力矩,。为此首先要明确摩擦阻力矩有什么特点？,因为单位面积受到的摩擦阻力，正比于该点处的线速度，所以飞轮转动时，距转轴距离相等的各点处，单位面积的摩擦力大小一样，方向不同，但它们产生的力矩方向相同。,转动过程中，由于角速度,不断变化，所以同一点处摩擦力的大小也要随时间变化，是一个变力矩的问题。,方法：一种是应用转动定律，一种是应用角动量定理。,方法一：应用转动定律,单位面积元所受的摩擦力为：,圆环上所有面元的力矩方向相同，即均向里，,由转动定律,方法二、角动量定理,因为力矩和角动量方向在同一直线上，,一质量为,m,=2.0kg,的物体,A，,用细绳跨过一滑轮,B,和一弹簧,C,相连接，如图所示。已知弹簧的劲度系数,k,=20N/m，,滑轮的半径,R,=0.1m，,绕轴的转动惯量,J,=0.03kgm,2,，,设绳与滑轮之间不打滑，,A,与斜面间及滑轮转轴处摩擦不计，绳轻且不可伸长，斜面倾角为37，取重力加速度,g,=10m/s,2,，,求：,A,下滑的加速度,A,下滑的最大速率,A,从静止释放（此时弹簧处于原长）沿斜面下滑的最大距离。,处理这类问题常用的方法有两种：,方法一,：应用,隔离体法,，对质点应用牛顿定律，对刚体应用转动定律，再由运动学关系，可以得到所求的任何物理量。,方法二,：应用,机械能守恒定律,当,A,从静止下滑,x,时，选质点,A,为研究对象，受力如图,方法一,：应用,隔离体法,选取斜面向下为正方向，,选质点,B,为研究对象，受力如图,选取竖直向上为正方向,加速度为零时，速率有最大值，此时，,根据运动学知识，,方法二,：应用,机械能守恒定律,选质点,A，,圆盘,B，,弹簧,C,和地球作为,研究对象,，系统所受外力,N,1,、,N,2,、,F,都不作功，所以系统机械能守恒。,取弹簧原长时为,初态,，且为,势能零点,，弹簧伸长,x,时为,末态,：,左右两边同时对时间求一次倒数，,当速度为零时，下滑距离最大,如图所示，一均匀细棒，长为,l,，,质量为,m,，,可绕过棒端且垂直于棒的光滑水平固定轴,O,在竖直平面内转动，棒被拉到水平位置从静止开始下落，当它转到竖直位置时，与放在地面上一静止的质量亦为,m,的小滑块碰撞，碰撞时间极短，小滑块与地面间的摩擦系数为,，,碰后滑块移动距离,S,后停止，而棒继续沿原转动方向转动，直到达到最大摆角。,求：碰撞后棒的中点,C,离地面的最大高度,h,过程：棒下落过程，棒、地球系统，机械能守恒,过程：棒与滑块系统碰撞过程中，对,O,轴的角动量,守恒,过程：对滑块由动能定理,对棒、地球系统，棒上升过程中，机械能守恒,70,质量为 的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于圆盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘挂有质量 ，长为 的匀质柔软绳索，设绳与圆盘无相对滑动，试求当圆盘两侧的绳长之差为 时，绳的加速度的大小。,右绳,左绳,滑轮,69、,质量为 长为 的均匀细棒，在一水平面内绕通过棒中心并与棒垂直的固定轴自由转动，棒上套有两个可沿棒滑动的小物体，每个质量都为 。开始时，两小物体分别被固定在棒中心的两侧且距棒中心各 ，此系统以 的转速转动。若将小物体松开后，它们在滑动过程中受到的阻力正比与速度。（棒对中心轴的转动惯量为 ）求：,(1)当两小物体到达棒端时,系统的角速度?,(2)当两小物体飞离棒端后,棒的角速度?,选细棒和两个小物体为一系统，角动量守恒,68、,空心圆环可绕光滑的竖直轴 自由转动，转动惯量为,，,环的半径为 ，初始时，环的角速度为 。质量为 的小球静止在环内最高处 点。由于某种微小干扰，小球沿环向下滑动，问小球滑到与环心在同一高度的 点和环的最低处的 点时，环的角速度及小球相对于环的速度各为？（设环的内壁和小球都是光滑的，小球可视为质点，环截面积 ）,选,环和,小球为一个系统，,角动量,守恒，,选,环、小球和地球为一个系统，机械能守恒守恒，点为势能零点，,65,一根放在水平光滑桌面上的匀质棒，可绕通过其一端的竖直固定光滑轴 转动，棒的质量为 长度为 对轴的转动惯量为 ，初始时棒静止，今有一水平运动的子弹垂直地射入棒的另一端，并留在棒中，子弹的质量 速率,问,（,1）棒开始和子弹一起转动时角速度？,（2）若棒转动时受到大小为 的恒阻力矩作用，棒能转过的角度？,（,1）角动量守恒,（,2）动能定理或转动定律，,动能定理：,转动定律：,63,一轻绳绕过一定滑轮，滑轮的质量为 ，均匀分布在其边缘上，绳子的 端有一质量为 的人抓住绳端，而在另一端 系着一个质量为 的重物人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 端重物上升的加速度?（滑轮对过滑轮中心且垂直与轮面的轴的转动惯量）,选,重物为研究对象，地面为参考系,选,滑轮为研究对象，地面为参考系,选,人为研究对象，绳子为参考系,62,一轴承光滑的定滑轮，质量为 ，半径为 。一根不能伸展的轻绳，一段固定在定滑轮上，在另一端系一质量为 的物体.定滑轮的转动惯量 ，已知定滑轮的初角速度 ，其方向垂直纸面向里。求：,(1)定滑轮的角加速度;,(2),定滑轮的角速度等于零时物体上升的高度；,(3),当物体回到原位置时定滑轮的角速度。,对物体,滑轮,（,1）,（2）,（,3）,因,机械能守恒，故,56,有一长方形的匀质薄板，长为,a，,宽为,b，,质量为,m，,分别求此薄板以下列直线为轴的转动惯量。,（1）长边；（2）短边；,（3）通过其中心而垂直与板面。,（1）,（2）,（3）,60,电风扇在开启电源后，经过 时间达到了额定转速，此时相应的角速度为 。当关闭电源后，经过 时间风扇停转。已知风扇转子的转动惯量为 ，并假定摩擦阻力矩和电机的电磁力矩均为常数，推算电机的电磁力矩。,设电磁力矩为 ，阻力矩为,由,冲量矩定理,得，,59,设两个重物的质量分别为 和 ，且 ，定滑轮的半径为 ，对转轴的转动惯量为 ，轻绳与滑轮间无滑动滑轮轴上摩擦不计。设开始时系统静止，求 时刻滑轮的角速度。,（1）物体自静止下落后5,s,内下降的距离;,（2）绳中的张力;,（3）轴承作用于圆柱体的力。,61,一质量 、半径 的圆柱体，可绕与其几何轴重合的水平固定轴转动（转动惯量 ）。现以一不能伸长的轻绳绕与柱面，而在绳的下端悬一质量 的物体。不计圆柱体与轴之间的摩擦，求：,