材料力学压杆的稳定性教学课件

第八章,压杆的稳定性,8-1,压杆稳定性的概念,受轴向压缩的直杆，其破坏有,两种形式,：,1,）短粗的直杆，其破坏是由于横截面上的正应力达到材料的极限应力，为,强度破坏,。,2,）细长的直杆，其破坏是由于杆不能保持原有的直线平衡形式，为,失稳破坏,。,工程中存在着很多受压杆件。,对于相对细长的压杆，其破坏并非由于强度不足，而是由于荷载（压力）增大到一定数值后，不能,保持原有直线平衡形式,而失效。,1,.,两端铰支细长压杆，当,F,力较小时，杆在力,F,作用下将保持原有直线平衡形式。,此时，在其侧向施加,微小,干扰力,使其弯曲，当干扰力撤除后，杆仍可回复到原来的直线形式。可见这种直线平衡形式是,稳定,的。,2,.,当压力超过某一数值时，如作用一侧向微小干扰力使压杆微弯，则在干扰力撤除后，杆不能回复到原来的直线平衡形式，而在微弯状态下保持平衡。压杆原来的直线平衡形式,不稳定,。,这种丧失原有平衡形式的现象称为,丧失稳定性,，简称,失稳,。,压杆从稳定平衡过渡到不稳定平衡时，轴向压力的临界值，称为,临界力,或,临界荷载,，用,F,cr,表示。,刚体平衡,1,2,3,4,5,随遇平衡,其它一些构件的稳定性问题,8-2,细长压杆的临界力,在,临界力,F,cr,作用下，细长压杆在微弯状态下平衡，,若此时压杆仍处在弹性阶段，可应用梁的挠曲线近似,微分方程及杆端约束条件求解,临界力,F,cr,。,一、欧拉公式,设两端铰支的细长压杆在临界荷载,F,cr,作用下，在,xOw,平面内处于微弯状态。,l,x,F,cr,w,1.,两端铰支的细长压杆,挠曲线近似微分方程为,l,w,x,F,cr,x,w,EIw,=,-,M,(,x,),x,截面的弯矩为,M,(,x,)=,F,cr,w,EIw,=,-,F,cr,w,EIw,+,F,cr,w,=,0,令,k,2,=,F,cr,EI,w,+,k,2,w,=,0,得,二阶常系数线性微分方程,x,w,x,w,F,cr,F,cr,M,(,x,),由杆的已知位移边界条件确定常数,x,=0,，,w,=0,x,=,l,，,w,=0,得,B,=0,，,w,=,A,sin,kx,得,A,sin,kl,=0,由,A,sin,kl,=0,得,A,=0,（不可能）,或,sin,kl,=0,即,kl,=,n,(,n,=0,1,2,）,k,2,=,F,cr,EI,l,x,F,cr,w,其通解为,w,=,A,sin,kx+,B,cos,kx,A,、,B,、,k,待定常数,w,+,k,2,w,=,0,(,n,=0,1,2,）,F,cr,=,n,2,2,EI,l,2,最小的临界荷载,（,n,=1,）,（,Euler,公式）,F,cr,=,2,EI,l,2,(,n,=0,1,2,）,F,cr,=,n,2,2,EI,l,2,压杆的挠曲线方程为,w,=,A,sin,x,l,（半波正弦曲线）,x=,2,l,时,w,0,=,A,w,=,A,sin,kx+,B,cos,k,x,k,=/,l,A,是压杆中点的挠度,w,0,。为任意的微小值。,l,x,F,cr,w,O,F,w,0,F,与中点挠度,w,0,之间的关系,（,1,）,若采用近似微分方程，则,F,与如折线,OAB,所示；,实际,B,（,2,）,若采用精确的挠曲线微,分方程，则可得,F,与,w,0,之间的,关系如曲线,OAB,所示；,（,3,）实际工程压杆,F,与,w,0,之,间的关系如曲线,OB,所示。,B,A,F,cr,2.,不同杆端约束下压杆的临界力,x,F,cr,w,x,w,l,A,B,l,w,x,F,cr,x,w,A,B,w,l,x,F,cr,x,w,A,B,x,F,cr,x,w,A,B,w,l,l,F,cr,F,cr,2,l,F,cr,l,类比法,一端固定一端自由的细长压杆，长度,2,l,范围内与,两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。,F,cr,=,2,EI,（,2,l,）,2,l,F,cr,F,cr,l,/2,l,/4,l,/4,F,cr,=,2,EI,(0.5,l,),2,两端固定细长压杆，长度,0.5,l,范围内与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。,类比法,0.7,l,F,cr,0.3,l,l,F,cr,F,cr,=,2,EI,(0.7,l,),2,一端固定，另一端铰支的细长压杆，在,0.7,l,范围内,与两端铰支细长压杆挠曲线形状相同。,类比法,Euler,公式的统一形式,F,cr,=,2,EI,(,l,),2,约束越强，,越小，,临界力,F,cr,越大。,长度因数,l,相当长度,一端固定一端自由,一端固定一端铰支,两端固定,两端铰支,=,1.0,=,2.0,=,0.5,=,0.7,F,cr,=,2,EI,(,l,),2,公式讨论,2.,当杆端约束在各个方向相同时（如球铰、空间固定端）,，,压杆只可能在,最小抗弯刚度平面,内失稳,，,即,I,取,I,min,值,；,1.,F,cr,与抗弯刚度成,EI,正比，与相当长度,l,的平方成反比；,最小抗弯刚度平面,：形心主惯性矩,I,为最小的纵向平面,如矩形截面的,I,y,最小，,xOz,平面为最小抗弯刚度平面。,3.,当杆端约束情况在各个方向不同时，,如图柱形铰,，,xOz,平面内为铰支（可绕,y,轴自由转动），,xOy,平面内为固定端（不能转动）,。,计算临界荷载应取,I,与,2,比值的最小值，压杆在相应的平面内失稳。,轴销,x,y,z,压杆在,xOz,平面内失稳时：,=,1.0,，,I=I,y,计算临界力,F,cr 1,压杆在,xOy,平面内失稳时：,=,0.5,，,I=I,z,计算临界力,F,cr 2,临界力,F,cr,为两者中较小的值。,F,cr,=,2,EI,(,l,),2,4.,实际工程中的压杆。其杆端约束有很多变化，要根据,具体情况选取适当的长度系数,值。,5.,实际工程中的压杆，非理想的均质直杆，荷载也总会,有小的偏心，因此其临界力比公式计算出的为小，这可,以在安全因数里考虑，故实际工程中压杆仍可按该公式,计算其临界荷载。,8-3,压杆的柔度与压杆的非弹性失稳,当压杆在临界荷载,F,cr,作用下，并仍处于直线形式的,平衡状态时，横截面上的正应力称为,临界应力,。,一、压杆的临界应力与柔度,cr,=,F,cr,A,2,EI,(,l,),2,=,A,i,2,=,I,A,l,i,=,令,cr,=,2,E,2,则有,称为压杆的,柔度,（或细长比），它综合反映了,压杆的几何尺寸和杆端约束对压杆承载能力的影响。,二、欧拉公式的适用范围,推导欧拉公式时，杆处于弹性状态,cr,P,故欧拉公式的适用条件,cr,=,2,E,2,P,2,E,P,令,P,=,2,E,P,P,满足该条件的压杆称为,细长杆（或大柔度杆）,。,P,为材料参数，不同的材料有不同的值。,如,Q,235,钢，,P,=200MPa,E,=200MPa,P,=100,三、非弹性失稳压杆的临界力,P,P,此时欧拉公式不再适用，工程上常以试验结果为依据,的经验公式来计算这类压杆的临界应力,cr,。如直线公式,cr,=,a,-,b,a,、,b,为与材料有关的常数，由试验确定。,如,Q,235,钢，,a=,304MPa,b=,1.12MPa,实际上 时,cr,u,压杆将发生强度破坏，而不是失稳破坏。,故直线公式的适用范围,P,u,P,cr,u,称为短粗杆,(,小柔度杆,),=,a-,u,u,b,称为中长杆,(,中柔度杆,),直线公式,cr,=,a,-,b,这类压杆的临界力为,cr,F,cr,A,=,四、失效应力总图,o,cr,=,s,cr,=,a,-,b,u,p,cr,cr,p,cr,=,E,2,2,Q,235,钢的失效应力总图,P,P,u,u,细长杆（或大柔度杆），欧拉公式,称为中长杆,(,中柔度杆,),，直线公式,短粗杆,(,小柔度杆,),，,强度破坏,例,TC13,松木压杆,两端为球铰。压杆材料的,比例极限,p,=,9MP,a,强度极限,b,=,13MP,a,，弹性模,量,E,=1.010,4,MPa,。压杆采用面积相同的两种截面,:,(1),h,=120mm,b,=90mm,的矩形。,(2),b,=104mm,正方形。,试比较二者的临界荷载。,F,cr,3m,h,b,F,cr,3m,b,b,解：,(1).,矩形截面,该压杆为细长杆,临界力用欧拉公式计算,:,F,cr,3m,h,b,(2).,正方形截面,该压杆为中长杆,F,cr,3m,b,b,例 一压杆,长,l,=2m,截面为,10,号工字钢,材料为,Q235,钢,s,=235MPa,E,=206GPa,p,=200MPa,。压杆两端为柱形铰。试求压杆的临界荷载。,轴销,x,y,z,解：先计算压杆的柔度。,在,xz,面内，压杆两端可视为铰支，,=1,。查型钢表，得,i,y,=4.14cm,，故,在,xy,面内，压杆两端可视为固支，,=0.5,。查型钢表，得,i,z,=1.52cm,，故,轴销,x,y,z,压杆将在,xy,面内失稳,Q235,钢,故压杆为中长杆,临界应力,:,横截面面积,:,临界力,:,8-4,压杆的稳定计算,一、压杆的稳定条件,压杆的稳定条件为,n,st,为稳定安全因数；,F,st,为稳定容许压力。,用应力表示的稳定条件为,st,为稳定容许应力。,n,st,的选取除了要考虑在选取强度安全因数时的,那些因素外，还要考虑影响压杆失稳的其它不利因,素，如初曲率、荷载偏心等。,二、压杆的稳定计算,1.,安全因数法,2.,折减因数法,或,称为折减因数；小于,1,大于,0,。,随柔度,变化，,与,的关系可查规范。,例 由,Q,235,钢制成的千斤顶如图。丝杆长,l,=800mm,，直径,d,=40,mm,，上端自由，下端可视为固定。材料,E,=,2.110,5,MPa,。若该丝杆的稳定安全因数,n,st,=3,，是求该千斤顶的最大承载力。,解：先求丝杆的临界压力,F,cr,丝杆,l,F,Q235,钢,故丝杆为细长杆,例,某钢柱长,7m,，由两根,16b,号槽钢组成，材料,为,Q235,钢，横截面如图所示，截面类型为,b,类。钢柱,的两端截面上有,4,个直径为,30mm,的螺栓孔。钢柱,=1.3,，,受,260kN,的轴向压力，材料的,=170MPa,。,（,1,）求两槽钢的间距,h,。,（,2,）校核钢柱的稳定性和强度。,解：,(1),确定两槽钢的间距,h,钢柱两端约束在各方向均相同，因此，最合理的设计应使,I,y,=,I,z,从,而使钢柱在各方向有相同的稳定性。,单根,16b,号槽钢的截面几何性质可由型钢表查得为,:,A,=25.15cm2,，,I,z,=934.5cm4,，,I,y,0,=83.4cm4,，,z,0,=1.75cm,，,=10mm,由平行移轴公式，钢柱截面,对,y,轴的惯性矩为,I,y,=2,I,y,o,+,A,(,z,0,+,h,/2),2,由,I,y,=I,z,的条件得到,2934.5=2,83.4+25.15(1.75+,h,/2),2,整理后得到,12.58,h,2,+85.51,h,-1566.83=0,解出,h,后,舍弃不合理的负值,得,h=,8.23cm,。,A,=25.15cm2,，,I,z,=934.5cm4,，,I,y,0,=83.4cm4,，,z,0,=1.75cm,=10mm,(2),校核钢柱的稳定性,钢柱两端附近截面虽有螺栓孔,削弱,但属于局部削弱,不影响整体,的稳定性。,钢柱截面的,和,i,分别为,A,=25.15cm,2,，,I,z,=934.5cm,4,，,I,y,0,=83.4cm,4,，,z,0,=1.75cm,，,=10mm,查表得,=0.308,，,所以,=0.308170 MPa =52.4MPa,而钢柱的工作应力为,钢柱满足稳定要求。,(3),校核钢柱的强度,对螺栓孔削弱的截面,应进行强度校核。该截面上的工作应力为,故削弱的截面仍有足够的强度。,A,B,4m,例 桁架中,上弦杆,AB,为,Q235,工字钢,材料的容许,应力,=170MPa,已知该杆受