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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五十三讲,数系的扩充与复数的引入,回归课本,1.,复数的有关概念,.,(1),形如,a+bi,的数叫做复数,其中,a,和,b,都是实数,.,其中,a,叫做复数,z,的实部,b,叫做复数,z,的虚部,.,对于复数,a+bi(a,bR,),当且仅当,b=0,时,它是实数,;,当,b0,时,叫做虚数,;,当,a=0,且,b0,时,叫做纯虚数,.,(2),复数的相等,即如果,a,b,c,d,都是实数,那么,a+bi,=,c+di,a,=c,且,b=d,;,a+bi,=0,a=0,且,b=0,.,注意,:(1),如果两个复数都是实数,则可以比较大小,;,否则,不能比较大小,.,(2),复数相等的条件是把虚数问题转化为实数问题的重要依据,是虚数问题实数化这一重要数学思想方法的体现,.,2.,复平面的概念,建立,直角坐标系,来表示复数的平面,叫做复平面,.x,轴叫做,实轴,y,轴叫做,虚轴,.,实轴上的点都表示,实数,;,除,原点,外,虚轴上的点都表示,纯虚数,;,各象限内的点都表示,虚数,.,复数集,C,和复平面内所有的点组成的集合是,一一对应,的,复数集,C,与复平面内所有以原点,O,为起点的向量组成的集合也是,一一对应,的,.,3.,共轭复数概念,当两个复数的实部,相等,虚部,互为相反数,时,这两个复数叫做互为共轭复数,.,复数,z,的共轭复数用 表示,即,z=,a+bi,则,=,a-,bi,(a,bR,).,注意,:(1),实数,a,的共轭复数仍是,a,本身,即,z=,zR,.,(2)z=,a+bi,与,z=a-,bi(a,bR,),互为共轭复数,则,z+=2a,z-=2bi,|z|=|,z,=|z|,2,=|,2,.,4.,复数的加法与减法,(1),复数的加减法运算法则,(,a+bi)(c+di,)=,(,ac)+(bd)i,.,(2),复数加法的运算定律,复数的加法满足,交换律,结合律,即对任何,z,1,、,z,2,、,z,3,C,有,z,1,+z,2,=,z,2,+z,1,(z,1,+z,2,)+z,3,=,z,1,+(z,2,+z,3,),.,(3),复数加,减法的几何意义,复数加法的几何意义,若复数,z,1,、,z,2,对应的向量 不共线,则复数,z,1,+z,2,是以 为两邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数,.,复数减法的几何意义,复数,z,1,-z,2,是连接向量 的终点,并指向被减数向量,所对应的复数,.,5.,复数的乘法与除法,设,z,1,=a+bi,z,2,=,c+di,(1),复数的乘法运算法则,z,1,z,2,=(,a+bi)(c+di,)=,(ac-,bd)+(bc+ad)i,.,交换律,z,1,z,2,=,z,2,z,1,;,结合律,(z,1,z,2,),z,3,=,z,1,(z,2,z,3,),;,分配律,z,1,(z,2,+z,3,)=,z,1,z,2,+z,1,z,3,.,(2),复数的除法运算法则,(,a+bi)(c+di,)=,(c+di0).,注意,:,特殊复数及其运算,(1)i,4n,=1,i,4n+1,=i,i,4n+2,=-1,i,4n+3,=-,i(nN,*,).,考点陪练,1.(2010,北京,),在复平面内,复数,6+5i,-2+3i,对应的点分别为,A,B.,若,C,为线段,AB,的中点,则,C,对应的复数是,(),A.4+8i B.8+2i,C.2+4i D.4+i,解析,:,两个复数对应的点分别为,A(6,5),B(-2,3),则,C(2,4),故其对应的复数为,2+4i.,答案,:C,2.(2010,陕西,),复数 在复平面上对应的点位于,(),A.,第一象限,B.,第二象限,C.,第三象限,D.,第四象限,答案,:A,3.(2010,湖北,),若,i,为虚数单位,图中复平面内点,Z,表示复数,z,则表示复数 的点是,(),A.E B.F,C.G D.H,答案,:D,答案,:B,答案,:A,类型一复数的概念,解题准备,:,处理有关复数基本概念的问题,关键是掌握复数的相关概念,找准复数的实部与虚部,(,即实部和虚部必须是实数,),从定义出发解决问题,.,本题考查复数集的分类及复数的几何意义,用标准的代数形式,因为容易确定其实部与虚部,.,若不然,则应先化为代数形式后再依据概念求解,.,【,典例,1】,已知复数,z=m,2,(1+i)-m(3+i)-6i,则当,m,为何实数时,复数,z,是,(1),实数,?(2),虚数,?(3),纯虚数,?(4),零,?(5),对应点在第三象限,?,分析,复数,z=,a+bi,的分类取决于其实部,a,与虚部,b,的不同取值,.,解,z=(m,2,-3m)+(m,2,-m-6)i=m(m-3)+(m+2),(m-3)i,(1),当,m=-2,或,m=3,时,z,为实数,;,(2),当,m-2,且,m3,时,z,为虚数,;,(3),当,m=0,时,z,为纯虚数,;,(4),当,m=3,时,z=0;,反思感悟,利用复数的有关概念求解,使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,也是化归思想的重要表现,.,类型二复数的相等,解题准备,:1.,两个复数,z,1,=,a+bi(a,、,bR),z,2,=,c+di(c,、,dR,),当且仅当,a=c,且,b=d,时,z,1,=z,2,特别地,当且仅当,a=b=0,时,a+bi,=0.,即两复数相等,其实部与实部,虚部与虚部分别相等,.,2.,两个实数可以比较大小,但是两个复数,如果不全是实数,它们之间就不能比较大小,只能说相等或不相等,.,3.,复数相等的重要条件提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径,.,【,典例,2】,设存在复数,z,同时满足下列条件,:(1),复数,z,在复平面内对应的点位于第二象限,;(2)z +2iz=8+ai(aR).,试求,a,的取值范围,.,解,设,z=,x+yi(x,yR,),则,=,x-yi,.,由,(1),知,x0.,又,+2iz=8+ai(aR),故,(x+yi)(x-yi)+2i(x+yi)=8+ai,即,(x,2,+y,2,-2y)+2xi=8+ai,y0,4(y-1),2,0,36-a,2,0,即,a,2,36,-6a6,又,2x=a,而,x0,a0,故,-6a0,a,的取值范围为,-6,0).,反思感悟,(1),复数相等当且仅当复数的实部与虚部分别相等,利用这一性质可以解决以下问题,:,解复数方程,;,方程有解时系数的值,;,求轨迹方程,.(2),复数问题实数化是复数问题的最基本也是最重要的思想方法,其转化的依据就是复数相等的充要条件,基本思路是,:,设出复数的代数形式,z=,x+yi(x,yR,),由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组,从而可以确定两个独立的基本量,.,类型三复数代数形式的运算,解题准备,:(1),复数代数运算的实质是转化为实数运算,在转化时常用的知识有复数相等,复数的加,减,乘,除运算法则,模的性质,共轭复数的性质,.,(2),一些常用的结论,(1i),2,=2i;,i,4n,=1,i,4n+1,=i,i,4n+2,=-1,i,4n+3,=-i;,i,4n,+i,4n+1,+i,4n+2,+i,4n+3,=0,其中,nN,*,.,若,=,则,2,=,3,=1,1+,2,=0.,分析,可用,的性质计算,.,反思感悟,复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此时含有虚数单位,i,的看作一类同类项,不含,i,的看作另一类同类项,分别合并即可,但要注意把,i,的幂写成最简单的形式,化简的依据是,i,的周期性,即,i,4n,=1,i,4n+1,=i,i,4n+2,=-1,i,4n+3,=-,i(nN,*,).,复数的代数形式运算,基本思路是直接用法则运算,但有时如果能用上特殊复数,i,或,的一些性质以及一些常见的结论,如,(1+i),2,=2i,(1-i),2,=-2i,=-,i,-b+ai,=,i(a+bi,),可更有效地简化运算,提高计算速度,.,错源一对复数的有关概念的理解不清致误,【,典例,1】,当,m,为何实数时,复数,2m,2,-5m-3+(2m,2,-m-1)i,是纯虚数,?,错解,令,2m,2,-5m-3=0,解得,:m=3,或,所以当,m=3,或,m=,时,复数,2m,2,-5m-3+(2m,2,-m-1)i,为纯虚数,.,剖析,错解只考虑复数的实部,而没有顾及虚部,纯虚数的定义要求复数的实部为零而虚部不为零,.,本例中,当 时,2m,2,-m-1=0,不满足纯虚数的条件,.,正解,由上述分析知,m=3,时,满足上述要求,.,错源二盲目套用实数集上的性质致误,【,典例,2】,若,x=sin15cos15,求,(-i),4x,的值,.,错解,(-i),4x,=(-i),4,x,=1,x,=1.,剖析,错解中没有根据地将实数中底数是正数时的幂指数运算法则,(,a,m,),n,=,a,mn,搬到复数中去,.,正解,因为,x=sin15cos15,所以,4x=2sin30=1.,所以,(-i),4x,=(-i),1,=-i.,技法一函数思想,【,典例,1】,已知复数,z,1,=cos-i,z,2,=,sin+i,求,|z,1,z,2,|,的最大值和最小值,.,解题切入点,本题可以转化成利用三角函数求最值问题,.,技法二数形结合思想,【,典例,2】,如果复数,z,满足,|,z+i|+|z-i,|=2,那么,|z+i+1|,的最小值为,(),解析,从复数的几何意义分析,:|z+i|+|z-i|=2,表示一条线段,线段端点分别为,-i,i,所对应的点,而,|z+i+1|,表示,z,与,-1-i,所对应两点间的距离,问题转化为求这个距离的最小值,.,构图,如图所示,|z+i|+|z-i|=2,表示,z,所对应的点,P,在以,A(0,-1),B(0,1),为端点的线段上,|z+i+1|,表示,P,点到,Q(-1,-1),的距离,从图中不难看出,当,P,点与,A,点重合时,QAAB,|PQ|AQ|=1,故应选,A.,答案,A,方法与技巧,要注意,|AB|=2,|z+i|+|z-i|=2,表示一条线段,而不是一个椭圆,注意,|z-z,1,|+|z-z,2,|=2a,表示椭圆的条件为,0|z,1,-z,2,|2a,而当,|z,1,-z,2,|=2a,时,|z-z,1,|+|z-z,2,|=2a,表示一条线段,.,
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