61总体与样本

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,6.1 总体与样本,一、总体与个体,二、,样本,三、,样本的联合分布,数理统计是运用概率论的知识，研究如何有效地对带有随机性影响的数据进行收集、整理、分析和推断的学科。,数理统计的应用很广泛,内容很丰富。本课程只介绍,参数估计、假设检验、方差分析与回归分析,的基本内容,。,本章介绍总体、随机样本及统计量等基本概念，并介绍,几个常用的统计量及其抽样分布。,在数理统计中，我们将研究对象的某项数量指标,x,的值的全体称为,总体,或,母体,。而把构成总体的每个元素称为,个体,。,例1,研究某厂生产的一批灯泡的质量，这时该批灯泡的全体就组成了总体，而其中每个灯泡即为个体。然而，通常总是把使用寿命作为体现灯泡质量特征的指标。于是，便把每个灯泡的使用寿命这个指标值看成个体，而全部灯泡的寿命就组成了总体。,一、总体与个体,例2,炮弹的质量往往由它的重量、穿透率、射程等方面的特征指标来体现。如果只研究这批炮弹的重量指标时，各发炮弹重量的全体就是一个总体，每发炮弹的重量是个体。如果需要考察这批炮弹的穿透率指标时，各发炮弹穿透率的全体就是总体，而每发炮弹的穿透率就是个体。如果同时要考虑炮弹的重量、穿透率及射程指标时，则各发炮弹的重量、穿透率、射程便构成一个三维向量指标，这三维向量指标值的全体就组成一个总体。,有限总体,和,无限总体,用,X,来表示研究对象的特征指标，如果研究的是个体的,n,项特征指标，则,X,表示一个,n,维向量。如上例1中,X,表示“灯泡的寿命”；例2中,X,分别表示“炮弹的重量”，“炮弹的穿透率”或三维向量“重量、穿透率、射程”。就某一特征指标,X,而言,每个个体所取的数值不一定相同,而且在抽到某个个体之前,这个个体的指标值,X,是不能确定的,因此可以认为,X,是一个随机变量。,例如，考察某工厂10月份生产的灯泡的寿命所成的总体。我们知道灯泡寿命落在各个时间区间内有一定的百分比，如灯泡寿命落在1000小时,1300,小时的占灯泡总数的85%，落在1300小时,1800,小时的占灯泡总数的5%等等。即灯泡寿命的取值有一定的分布。,它的取值在客观上有一定的分布。我们对总体的研究，就是对相应的随机变量,X,的分布的研究。因此，把随机变量,X,的分布函数称为,总体分布函数,。当,X,为离散型随机变量时，称,X,的分布律为,总体分布律,；当,X,为连续型随机变量时，称,X,的概率密度为,总体概率密度,。,今后将不区分总体和相应的随机变量,X,有时也称总体,X。,X,的分布函数及数字特征分别称为总体的,分布函数和数字特征,。,总体分布一般是全部或部分未知，为了研究总体分布的规律,初看起来，最理想的办法是对每个个体逐个进行观察，但这是不可能，也是不现实的。因此，一般总是从总体中抽出有限个个体，通过对这些个体的逐一观测，从而对总体分布规律作出较为合理的判断或推测。,这种从总体,X,中抽出有限个个体的过程称为,抽样,，被抽出的这些个体称为,样品,，所有样品便构成了总体的,样本,。样本中所含个体的数目称为,样本容量,。,二、,样本,设,X,i,(,i,=1，2，,n,),表示抽取的被列为样本的第,i,个样品，是一个随机变量,。,由,n,个样品,X,1,，,X,2,，,X,n,组成一个容量为,n,的样本，记作(,X,1,，,X,2,，,X,n,)，,这是一个,n,维随机变量。在一次具体的抽样之后，得到一组确定的数值，记为(,x,1,，,x,2,，,x,n,)，,称之为样本(,X,1,，,X,2,，,X,n,),的一组观察值，也称,样本观察值,或简称,样本值,。,样本观察值是对总体分布进行分析、推断的基础。,随机抽样的目的是为了对总体,X,的分布进行各种分析推断，所以要求抽取的样本能很好地反映总体特征，为此我们要求随机样本(,X,1,，X,2,，,，,X,n,),满足：,（1）,代表性,即样本的每个分量,X,i,与,X,有相同的分布,F。,（2）,独立性,即,X,1,，X,2,，,，,X,n,是相互独立的随机变量，也就是说，,n,次观察值之间是相互独立的。,满足上面两条的样本称为,简单随机样本,。,例如,：有重复的抽样得到的样本就是,简单随机样本,；而不重复的抽样得到的样本就不是简单随机样本，但如果抽出的样本数量,n,相对总体,N,来说小得多（一般,n,/,N,0.1）,时，也可近似看成简单随机样本。,由概率论讨论可知，若总体,X,具有分布函数,F,(,x,)，,则样本(,X,1,，,X,2,，,X,n,),的联合分布函数为,如果总体为连续型随机变量，其概率密度函数为,f,(,x,)，,则样本的联合概率密度为,三、,样本的联合分布,如果总体为离散型随机变量，其分布律为,P,X,=,a,i,=,p,i,(,i,=1，2，)，,则样本的联合分布律为,其中 为 的任一组可能的观察值。,例1,设（,X,1,X,2,X,n,）,为来自总体,XN(,2,),的样本，试写出（,X,1,X,2,X,n,）,的联合概率密度，并计算 ，,其中 。,解：由于,X,的概率密度函数,因此样本的联合概率密度,又因为,E(X)=，D(X)=,2,，,所以,例2,设总体,X,()，X,1,，X,2,，,X,n,是来自总体,X,的样本。求（,X,1,，X,2,，,X,n,）,的联合分布律。,解：由于 （,k=0,1,2,0）,从而 （,i=1,2,n）,故,