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2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文数本卷满分150分,考试时间120分钟.参考公式:如果事件A,B互斥,那么如果事件A,B相互独立,那么P(AB)=P(A)+P(B).P(AB)=P(A)P(B).棱柱的体积公式V=Sh.圆锥的体积公式V=13Sh.其中S表示棱柱的底面面积,h表示棱柱的高.其中S表示圆锥的底面面积,h表示圆锥的高.第卷(选择题,共40分)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A=1,2,3,B=y|y=2x-1,xA,则AB=()A.1,3B.1,2C.2,3D.1,2,32.甲、乙两人下棋,两人下成和棋的概率是12,甲获胜的概率是13,则甲不输的概率为()A.56B.25C.16D.133.将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥,得到的几何体的正视图与俯视图如图所示,则该几何体的侧(左)视图为()4.已知双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的焦距为25,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为()A.x24-y2=1B.x2-y24=1C.3x220-3y25=1D.3x25-3y220=15.设x0,yR,则“xy”是“x|y|”的()A.充要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)f(-2),则a的取值范围是()A.-,12B.-,1232,+C.12,32D.32,+7.已知ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连结DE并延长到点F,使得DE=2EF,则AFBC的值为()A.-58B.18C.14D.1188.已知函数f(x)=sin2x2+12sin x-12(0),xR.若f(x)在区间(,2)内没有零点,则的取值范围是()A.0,18B.0,1458,1C.0,58D.0,1814,58第卷(非选择题,共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.i是虚数单位,复数z满足(1+i)z=2,则z的实部为.10.已知函数f(x)=(2x+1)ex, f (x)为f(x)的导函数,则f (0)的值为.11.阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为.12.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,5)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为455,则圆C的方程为.13.如图,AB是圆的直径,弦CD与AB相交于点E,BE=2AE=2,BD=ED,则线段CE的长为.14.已知函数f(x)=x2+(4a-3)x+3a,x0,且a1)在R上单调递减,且关于x的方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解,则a的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.15.(本小题满分13分)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=3bsin A.()求B;()若cos A=13,求sin C的值.16.(本小题满分13分)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:原料肥料ABC甲483乙5510现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.()用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;()问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.17.(本小题满分13分)如图,四边形ABCD是平行四边形,平面AED平面ABCD,EFAB,AB=2,BC=EF=1,AE=6,DE=3,BAD=60,G为BC的中点.()求证:FG平面BED;()求证:平面BED平面AED;()求直线EF与平面BED所成角的正弦值.18.(本小题满分13分)已知an是等比数列,前n项和为Sn(nN*),且1a1-1a2=2a3,S6=63.()求an的通项公式;()若对任意的nN*,bn是log2an和log2an+1的等差中项,求数列(-1)nbn2的前2n项和.19.(本小题满分14分)设椭圆x2a2+y23=1(a3)的右焦点为F,右顶点为A.已知1|OF|+1|OA|=3e|FA|,其中O为原点,e为椭圆的离心率.()求椭圆的方程;()设过点A的直线l与椭圆交于点B(B不在x轴上),垂直于l的直线与l交于点M,与y轴交于点H.若BFHF,且MOA=MAO,求直线l的斜率.20.(本小题满分14分)设函数f(x)=x3-ax-b,xR,其中a,bR.()求f(x)的单调区间;()若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求证:x1+2x0=0;()设a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间-1,1上的最大值不小于14.2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)一、选择题1.A由题意可得B=1,3,5,AB=1,3,故选A.易错警示不能列举出集合B中的所有元素是造成失分的主要原因.2.A设“两人下成和棋”为事件A,“甲获胜”为事件B.事件A与B是互斥事件,所以甲不输的概率P=P(A+B)=P(A)+P(B)=12+13=56,故选A.3.B由几何体的正视图、俯视图以及题意可画出几何体的直观图,如图所示.该几何体的侧视图为选项B.故选B.4.A由题意可得ba=12,a2+b2=5,a0,b0,解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为x24-y2=1,故选A.易错警示容易把双曲线标准方程中a,b,c的关系与椭圆标准方程中a,b,c的关系混淆,这是失分的主要原因.5.C令x=1,y=-2,满足xy,但不满足x|y|;又x|y|y,xy成立,故“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件.6.Cf(x)是偶函数且在(-,0)上单调递增,f(x)在(0,+)上单调递减,且f(-2)=f(2),原不等式可化为f(2|a-1|)f(2).故有2|a-1|2,即|a-1|12,解得12af(2)转化为2|a-1|2,解该不等式即可.7.B建立如图所示的平面直角坐标系.则B-12,0,C12,0,A0,32,所以BC=(1,0).易知DE=12AC,FEC=ACE=60,则EF=14AC=14,所以点F的坐标为18,-38,所以AF=18,-538,所以AFBC=18,-538(1,0)=18.故选B.疑难突破利用公式ab=|a|b|cos求解十分困难,可以考虑建立适当的平面直角坐标系,利用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键.8.Df(x)=1-cosx2+12sin x-12=12(sin x-cos x)=22sinx-4,x(,2),0,x-4-4,2-4,f(x)在区间(,2)内没有零点,有以下两种情况:-4,2-4(2k,2k+),kZ,则有-42k,2-42k+,kZ,得2k+14,k+58,kZ,当k=0时,14,58;-4,2-4(2k+,2k+2),kZ,则有-42k+,2-42k+2,kZ,得2k+54,k+98,kZ,当k=-1时,-34,18,又0,0,18.综上,0,1814,58,故选D.疑难突破将函数化简为f(x)=22sinx-4,将x-4看作一个整体,借助函数y=sin x的图象得出f(x)在(,2)内没有零点时需满足的条件,建立不等式组求解.二、填空题9.答案1解析z=21+i=1-i,z的实部为1.10.答案3解析f (x)=2ex+(2x+1)ex=(2x+3)ex,f (0)=3.11.答案4解析由程序框图可知,S=8,n=2;S=2,n=3;S=4,n=4,此时退出循环,输出S=4.易错警示审题不清是失分的主要原因.12.答案(x-2)2+y2=9解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0),由题意可得|2a|5=455,(-a)2+(5)2=r2,解得a=2,r2=9,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.方法总结待定系数法是求解圆方程的常用方法,一般步骤为设出圆的方程;列出关于系数的方程组,并求出各系数的值;检验各值是否符合题意,并写出满足题意的圆的方程.有时也可利用圆的几何性质进行求解.13.答案233解析连结AC,BC.由同弧所对的圆周角相等知DBA=ACE,又易知DBA=DEB=AEC,故而有AEC=ACE,所以AC=AE.BE=2AE=2,AC=AE=1,AB=3.易知ACB为直角三角形,ACB=90,AC=1,AB=3,则cos A=13.在ACE中,由余弦定理易得CE=12+12-21113=233.14.答案13,23解析函数f(x)在R上单调递减,-4a-320,0a1,3a1,解得13a34.在同一直角坐标系下作出函数y=|f(x)|与y=2-x3的图象,如图所示.方程|f(x)|=2-x3恰有两个不相等的实数解等价于y=|f(x)|的图象与y=2-x3的图象恰有两个交点,则需满足3a2,得a23,综上可知,13a23.易错警示(1)f(x)在R上单调递减,需满足-4a-320,0a0时,令f (x)=0,解得x=3a3,或x=-3a3.当x变化时, f (x), f(x)的变化情况如下表:x-,-3a3-3a3-3a3,3a33a33a3,+f (x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为-3a3,3a3,单调递增区间为-,-3a3,3a3,+.()证明:因为f(x)存在极值点,所以由()知a0,且x00.由题意,得f (x0)=3x02-a=0,即x02=a3,进而f(x0)=x03-ax0-b=-2a3x0-b.又f(-2x0)=-8x03+2ax0-b=-8a3x0+2ax0-b=-2a3x0-b=f(x0),且-2x0x0,由题意及()知,存在唯一实数x1满足 f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=-2x0.所以x1+2x0=0.()证明:设g(x)在区间-1,1上的最大值为M,maxx,y表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:(1)当a3时,-3a3-113a3,由()知, f(x)在区间-1,1上单调递减,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(1), f(-1),因此M=max|f(1)|,|f(-1)|=max|1-a-b|,|-1+a-b|=max|a-1+b|,|a-1-b|=a-1+b,b0,a-1-b,b0.所以M=a-1+|b|2.(2)当34a3时,-23a3-1-3a33a3123a3,由()和()知f(-1)f -23a3=f 3a3, f(1)f 23a3=f -3a3,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f3a3, f-3a3,因此M=maxf3a3,f-3a3=max-2a93a-b,2a93a-b=max2a93a+b,2a93a-b=2a93a+|b|2934334=14.(3)当0a34时,-1-23a323a31,由()和()知f(-1)f 23a3=f -3a3,所以f(x)在区间-1,1上的取值范围为f(-1), f(1),因此M=max|f(-1)|,|f(1)|=max|-1+a-b|,|1-a-b|=max|1-a+b|,|1-a-b|=1-a+|b|14.综上所述,当a0时,g(x)在区间-1,1上的最大值不小于14.思路分析()求含参数的函数f(x)的单调区间,需要进行分类讨论;()由第()问可知a0,要证x1+2x0=0,只需证出f(-2x0)=f(x0),其中x1=-2x0,即可得结论;()求g(x)在-1,1上的最大值,对a分情况讨论即可.
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