基本不等式(公开课课件)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,基本不等式,这是,2002,年在北京召开的第,24,届国际数学家大会会标会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。,思考：这会标中含有哪些几何图形？,思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？,探究,1,a,b,1,、正方形,ABCD,的,面积,S=,、四个直角三角形的,面积和,S,=,、,S,与,S,有什么,样的不等关系？,探究：,S,S,问：那么它们有相等的情况吗？,A,D,B,C,E,F,G,H,b,a,重要不等式：一般地，对于任意实数,a,、,b,，我们有,当且仅当,a=b,时，等号成立。,A,B,C,D,E(FGH),a,b,思考：,你能给出不等式 的证明吗？,证明：（作差法）,结论：,一般地，对于任意实数,a,、,b,，总有,当且仅当,a=b,时，等号成立,文字叙述为,:,两数的平方和,不小于,它们积的,2,倍,.,适用范围：,a,b,R,问题一,问题一,替换后得到：,即：,即：,你能给出不等式的证明吗？,问题二,要证,只要证,显然是成立的，当且仅当,_,时，等号成立,下面证明不等式：,证明：,要证，只要证,要证，只要证,分析法,所以,特别地，若,a,0,，,b,0,，则,基本不等式,：,注：当且仅当,a,=,b,时取等号,.,基本不等式,在数学中，我们把 叫做正数,a,，,b,的算术平均数，,叫做正数,a,，,b,的几何平均数；,文字叙述为：,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,.,适用范围：,a,0,b,0,变式：,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗,?,问题三,RtACDRtDCB,，,A,B,C,D,E,a,b,O,如图,AB,是圆的直径,O,为圆心，点,C,是,AB,上一点,AC=,a,BC=,b,.,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,连接,AD,、,BD,、,OD.,如何用,a,b,表示,CD?CD=_,如何用,a,b,表示,OD?OD=_,你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗,?,问题三,如何用,a,b,表示,CD?CD=_,如何用,a,b,表示,OD?OD=_,OD,与,CD,的大小关系怎样,?OD_CD,如图,AB,是圆的直径,O,为圆心，点,C,是,AB,上一点,AC=,a,BC=,b,.,过点,C,作垂直于,AB,的弦,DE,连接,AD,、,BD,、,OD.,A,D,B,E,O,C,a,b,适用范围,文字叙述,“=”,成立条件,a,=,b,a,=,b,两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数,两数的平方和不小于它们积的,2,倍,a,b,R,a,0,b,0,填表比较：,注意从不同角度认识基本不等式,例,1,：,(1),如图,用篱笆围成一个面积为,100m,2,的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？,解：如图设,BC=,x,，,CD=,y,，,则,xy,=100,，篱笆的长为,2(,x,+,y,)m.,当且仅当 时，,等号,成立,因此，这个矩形的长、宽都为,10m,时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是,40m.,此时,x,=,y,=,10.,x,=,y,A,B,D,C,若,x,、,y,皆为正数，,则当,xy,的值是常数,P,时，,当且仅当,x,=,y,时,，,x+y,有最小值,_.,例,1,：,(2),如图，用一段长为,36m,的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设,BC=,x,，,CD=,y,，,则,2(,x,+,y,)=36,x,+,y,=18,矩形菜园的面积为,xy,m,2,得,xy,81,当且仅当,x,=,y,时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为,9m,时，,菜园面积最大，最大面积是,81m,2,即,x,=,y,=9,A,B,D,C,若,x,、,y,皆为正数，,则当,x+y,的值是常数,S,时，,当且仅当,x,=,y,时,，,xy,有最大值,_,；,各项皆为,正数,；,和或积为,定值,；,注意,等号,成立的条件,.,一“正”,二“定”,三“相等”,利用基本不等式求最值时，要注意,已知,x,y,都是正数,P,S,是常数,.,(1),xy,=,P,x,+,y,2,P,(,当且仅当,x,=,y,时,取“,=”,号,),.,(2),x,+,y,=,S,xy,S,2,(,当且仅当,x,=,y,时,取“,=”,号,),.,1,4,变式,：,如图，用一段长为,24m,的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：如图，设,BC=,x,，,CD=,y,，,则篱笆的长为,矩形花园的面积为,xy,m,2,A,B,D,C,得,144,2,xy,当且仅当,时，等号成立,因此，这个矩形的长为,12m,、宽为,6m,时，,花园面积最大，最大面积是,72m,2,即,xy,72,即,x,=12,，,y,=6,x,+2,y,=24,x,=2,y,变式,：,如图，用一段长为,24m,的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,分析：设,AB=,x,，,BC=24,2,x,，,A,B,D,C,变式,：,如图，用一段长为,24m,的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？,解：设,AB=,x,，,BC=24,2,x,，,矩形花园的面积为,x,(24,2,x,),m,2,因此，这个矩形的长为,12m,、宽为,6m,时，,花园面积最大，最大面积是,72m,2,当,x,=6,时，函数,y,取得最大值为,72,若,x0,，求 的最小值,。,练习,:,解：,因为,x0,，由基本不等式得,当且仅当 时，即,x=2,时，,取得最小值,12,。,当且仅当,x=1-x,，即 时，,f(x,),取得,最大值。,若,0 x1,，求 的最大值。,练习,因为,0 x0,，由基本不等 式，得,:,解：,=(,x,+1)+,-,1,1,x,+1,f,(,x,)=,x,+,1,x,+1,=1,2 (,x,+1),-,1,1,x,+1,当且仅当 取“,=”,号,.,当,x,=0,时,函数,f,(,x,),的最,小,值是,1.,x,+1=,即,x,=0,时,1,x,+1,解,:,x,-1,x,+10.,练求函数,f,(,x,)=,x,+,(,x,-1),的最小值,.,1,x,+1,配凑系数,分析,:,x,+(1,-,2,x,),不是,常数,.,2,=1,为,解,:,0,x,0.,1,2,y,=,x,(1,-,2,x,)=,2,x,(1,-,2,x,),1,2,2,2,x,+(1,-,2,x,),2,1,2,1,8,=.,当且仅当,时,取“,=”,号,.,2,x,=,(1,-,2,x,),即,x,=,1,4,当,x,=,时,函数,y,=,x,(1,-,2,x,),的最大值是,.,1,4,1,8,练习 若,0,x,0,b,0,”,可以变化吗,？,三,、,应用,例,2,、,已知,求函数 的最大值,.,变式,:,已知,求函数 的最大值,.,发现运算结构，应用不等式,