第一节函数及其表示

基,础,知,识,要,打,牢,高,频,考,点,要,通,关,高,分,障,碍,要,破,除,解,题,训,练,要,高,效,第一节 函数及其表示,数学,(,湖北专版,),知识能否忆起,1,函数的概念,(1),函数的定义：,一般地，设,A,，,B,是两个,的数集，如果按照某种确定的对应关系,f,，使对于集合,A,中的任意一个数,x,，在集合,B,中都有,确定的数,f,(,x,),和它对应；那么就称,f,：,A,B,为从集合,A,到集合,B,的一个函数记作,.,非空,y,f,(,x,),，,x,A,唯一,(2),函数的定义域、值域：,在函数,y,f,(,x,),，,x,A,中，,x,叫做自变量，,x,的取值范围,A,叫做函数的,；与,x,的值相对应的,y,值叫做函数值，函数值的集合,f,(,x,)|,x,A,叫做函数的,显然，值域是集合,B,的子集,(3),函数的三要素：,、,和,(4),相等函数：如果两个函数的,和,完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据,定义域,定义域,值域,对应关系,定义域,对应关系,值域,2,函数的表示法,表示函数的常用方法有：,、,、,3,映射的概念,设,A,，,B,是两个非空的集合，如果按照某一个确定的对应关系,f,，使对于集合,A,中的任意一个元素,x,，在集合,B,中都有唯一确定的元素,y,与之对应，那么称对应,f,：,A,B,为集合,A,到集合,B,的一个映射,4,分段函数,动漫演示更形象，见配套课件,若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的,，这样的函数通常叫做分段函数分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数,解析法,图象法,列表法,对应关系,超链接,小题能否全取,1,(,教材习题改编,),设,g,(,x,),2,x,3,，,g,(,x,2),f,(,x,),，则,f,(,x,),等,于,(,),A,2,x,1,B,2,x,1,C,2,x,3 D,2,x,7,解析：,f,(,x,),g,(,x,2),2(,x,2),3,2,x,7.,答案：,D,答案：,D,3,已知集合,A,0,8,，集合,B,0,4,，则下列对应关系中，,不能看作从,A,到,B,的映射的是,(,),解析：按照对应关系,f,：,x,y,x,，对,A,中某些元素,(,如,x,8),，,B,中不存在元素与之对应,答案：,D,5,(,教材习题改编,),若,f,(,x,),x,2,bx,c,，且,f,(1),0,，,f,(3),0,，则,f,(,1),_.,答案：,8,1.,函数与映射的区别与联系,(1),函数是特殊的映射，其特殊性在于集合,A,与集合,B,只能是非空数集，即函数是非空数集,A,到非空数集,B,的映射,(2),映射不一定是函数，从,A,到,B,的一个映射，,A,、,B,若不是数集，则这个映射便不是函数,2,定义域与值域相同的函数，不一定是相同函数,如函数,y,x,与,y,x,1,，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数；再如函数,y,sin,x,与,y,cos,x,，其定义域与值域完全相同，但不是相同函数因此判断两个函数是否相同，关键是看定义域和对应关系是否相同,3,求分段函数应注意的问题,在求分段函数的值,f,(,x,0,),时，一定要首先判断,x,0,属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集,例,1,有以下判断：,答案,(2)(3),两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示同一函数另外，函数的自变量习惯上用,x,表示，但也可用其他字母表示，如：,f,(,x,),2,x,1,，,g,(,t,),2,t,1,，,h,(,m,),2,m,1,均表示同一函数,A,4,个,B,5,个,C,6,个,D,7,个,答案：,B,函数解析式的求法,(1),配凑法：由已知条件,f,(,g,(,x,),F,(,x,),，可将,F,(,x,),改写成关于,g,(,x,),的表达式，然后以,x,替代,g,(,x,),，便得,f,(,x,),的解析式,(,如例,(1),；,(2),待定系数法：若已知函数的类型,(,如一次函数、二次函数,),，可用待定系数法,(,如例,(3),；,(3),换元法：已知复合函数,f,(,g,(,x,),的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围,(,如例,(2),；,(2),设,f,(,x,),ax,2,bx,c,(,a,0),，,则,f,(,x,),2,ax,b,2,x,2,，,a,1,，,b,2,，,f,(,x,),x,2,2,x,c,.,又方程,f,(,x,),0,有两个相等实根，,4,4,c,0,，,c,1,，故,f,(,x,),x,2,2,x,1.,自主解答,当,x,4,，得,2,x,4,，即,x,4,得,x,2,4,，所以,x,2,或,x,2.,综上可得,x,2.,答案,(,，,2),(2,，,),若本例条件不变，试求,f,(,f,(,2),的值,解：,f,(,2),2,2,4.,f,(,f,(,2),f,(4),16.,求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值若给出函数值,(,或函数值的范围,),求自变量值,(,或自变量的取值范围,),，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值,(,或范围,),是否符合相应段的自变量的取值范围,3.,(2012,衡水模拟,),已知,f,(,x,),的图象如,图，则,f,(,x,),的解析式为,_,题后悟道,解答本题利用了分类讨论思想，由于,f,(,x,),为分段函数，要表示,f,(1,a,),和,f,(1,a,),的值，首先应对自变量,1,a,和,1,a,的范围进行讨论，这样才能选取不同的关系式，列出方程，求出,a,的值得出结果后，应注意检验所谓分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答实质上，分类讨论是,“,化整为零，各个击破，再积零为整,”,的解题策略,A,3,B,3,C,1 D,1,答案：,D,解题训练要高效见,“,课时跟踪检测（四）,”,教师备选题,（给有能力的学生加餐）,答案：,2,2,若函数的定义域为,x,|,3,x,6,，且,x,4,，值域为,y,|,2,y,4,，且,y,0,，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象,解：,本题答案不唯一，函数图象可画为如图所示,3,已知定义域为,R,的函数,f,(,x,),满足,f,(,f,(,x,),x,2,x,),f,(,x,),x,2,x,.,(1),若,f,(2),3,，求,f,(1),；又若,f,(0),a,，求,f,(,a,),；,(2),设有且仅有一个实数,x,0,，使得,f,(,x,0,),x,0,，求函数,f,(,x,),的解析式,解：,(1),因为对任意,x,R,有,f,(,f,(,x,),x,2,x,),f,(,x,),x,2,x,，所以,f,(,f,(2),2,2,2),f,(2),2,2,2,，又,f,(2),3,，从而,f,(1),1.,若,f,(0),a,，则,f,(,a,0,2,0),a,0,2,0,，即,f,(,a,),a,.,(2),因为对任意,x,R,，有,f,(,f,(,x,),x,2,x,),f,(,x,),x,2,x,，又有且仅有一个实数,x,0,，使得,f,(,x,0,),x,0,，故对任意,x,R,，有,f,(,x,),x,2,x,x,0,.,在上式中令,x,x,0,，有,f,(,x,0,),x,x,0,x,0,.,又因为,f,(,x,0,),x,0,，所以,x,0,x,0,，故,x,0,0,或,x,0,1.,若,x,0,0,，则,f,(,x,),x,2,x,，但方程,x,2,x,x,有两个不相同实根，与题设条件矛盾，故,x,0,0.,若,x,0,1,，则有,f,(,x,),x,2,x,1,，易证该函数满足题设条件,综上，所求函数,f,(,x,),的解析式为,f,(,x,),x,2,x,1.,