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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高二数学,2.1.1合情推理（1）,已知的判断,新的判断,确定,根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫,推理,.,2.1.1,合情推理,归纳推理,佛教,百喻经,中有这样一则故事。从前有一位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买,并告诉他,:,要甜的,好吃的,你才买,.,仆人拿好钱就去了,.,到了果园,园主说,:,我这里树上的芒果个个都是甜的,你尝一个看,.,仆人说,:,我尝一个怎能知道全体呢 我应当个个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠,.,仆人于是自己动手摘芒果,摘一个尝一口,甜的就都买回去,.,带回家去,富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了,.,第一个芒果是甜的,第二个芒果是甜的,第三个芒果是甜的,这个果园的芒果都是甜的,想一想：,故事中仆人的做法实际吗？,换作你，你会怎么做？,铜能导电,铝能导电,金能导电,银能导电,一切金属都能导电,.,三角形内角和,为,凸四边形内角,和为,凸五边形内角,和为,凸,n,边形内角和为,第一个芒果是甜的,第二个芒果是甜的,第三个芒果是甜的,这个果园的芒果都是甜的,第一个数为,2,第二个数为,4,第三个数为,6,第四个数为,8,第,n,个数为,2n.,部分,个别,整 体,一 般,由某类事物的 具有某些特征,推出该类事物的 都具有这些特征,的推理,或者由 概括出,的推理,称为,归纳推理,(,简称归纳,).,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,归纳推理,即是由部分到整体,由个别到一般的推理,.,成语“一叶知秋”,统计初步中的用样本估计总体,通过从总体中抽取,部分对象,进,行观测或试验，进而对,整体,做出推断,.,意思是从一片树叶的凋落，知道秋,天将要来到,.,比喻由,细微的迹象,看出,整体,形势,的变化，由,部分,推知,整体,.,实例,3,3,6,3,7,10,5,7,12,6,3,3,10,3,7,12,5,7,6,3+3,，,8,3+5,10,5+5,1000,29+971,，,1002=139+863,猜想任何一个不小于,6,的偶数都等于两个奇质数的和,.,数学皇冠上璀璨的明珠,哥德巴赫猜想,一个规律：,偶数奇质数奇质数,哥德巴赫猜想的过程：,具体的材料,观察分析,猜想出一般性的结论,归纳推理的过程：,例,1.,观察下图,可以发现,1+3+,+(2,n,1)=,n,2,1=1,2,1+3=4=2,2,，,1+3+5=9=3,2,，,1+3+5+7=16=4,2,，,1+3+5+7+9=25=5,2,由上述具体事实能得出怎样的结论？,让我们一起来归纳推理,1,，,3,，,5,，,7,，,，由此你猜想出第,个数是,_.,这就是从,部分到整体,从,个别到一般,的,归纳推理,.,试一试,例,2.,已知数列,的第一项,=1,且,(,1,，,2,，,3,，,),，,请归纳出这个数列的通项公式为,_.,让我们一起来归纳推理,解：分别把,n=1,2,3,4,代入 得,:,归纳,:,可用,数学归纳法,证明这个猜想是正确的。,例,2.,已知数列,的第一项,=1,且,(,1,，,2,，,3,，,),，,请归纳出这个数列的通项公式为,_.,练习：,1.,已知数列 的第一项,=1,且,(,n,2,),，,请归纳出这个数列的通项公式为,_,。,露一手,例,3.,数一数图中的凸多面体的面数,F,、顶点数,V,和棱数,E,然后探求面数,F,、顶点数,V,和棱数,E,之间的关系,.,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,让我们一起来归纳推理,凸多面体,面数（,F,）,顶点数（,V,）,棱数（,E,）,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,凸多面体,面数（,F,）,顶点数（,V,）,棱数（,E,）,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,四棱柱,6,8,12,凸多面体,面数（,F,）,顶点数（,V,）,棱数（,E,）,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,凸多面体,面数（,F,）,顶点数（,V,）,棱数（,E,）,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,凸多面体,面数（,F,）,顶点数（,V,）,棱数（,E,）,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,凸多面体,面数（,F,）,顶点数（,V,）,棱数（,E,）,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,5,5,8,四棱锥,凸多面体,面数（,F,）,顶点数（,V,）,棱数（,E,）,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,四棱柱,6,8,12,6,4,4,三棱锥,12,8,6,八面体,6,9,5,三棱柱,5,5,8,四棱锥,9,16,9,尖顶塔,6,9,5,9,5,5,8,16,9,凸多面体,面数（,F,）,顶点数（,V,）,棱数（,E,）,四棱柱,三棱锥,八面体,三棱柱,四棱锥,尖顶塔,6,8,12,6,4,4,12,8,6,猜想凸多面体的,面数,F,、,顶点数,V,和,棱数,E,之间的关系式为：,F,V,E,2,欧拉公式,归纳推理的基础,归纳推理的作用,归纳推理,观察、分析,发现,新,事实、获得,新,结论,由,部分,到,整体、,个别,到,一般,的推理,注意,归纳推理的结论,不一定成立,费马猜想：,任何形如,的数都是质数,反例,归纳推理的结论不一定正确,2.1.1合情推理类比推理,由,两类对象,具有,某些,类似特征,和其中,一类对象的某些,已知特征,推出,另一类对,象也具有,这些特征,的推理称为,类比推理,.,类比推理,等式的性质：,(1)a=b,a+c=b+c;,(2)a=b,ac=,bc,;,(3),a=b,a,2,=b,2,;,等等。,猜想不等式的性质：,(1)ab,a+cb+c;,(2)a,b,ac,bc,;,(3),a,b,a,2,b,2,;,等等。,问：这样猜想出的结论是否一定正确？,类比推理的结论不一定成立,.,例,4.,试根据等式的性质猜想不等式的性质,.,让我们一起来类比推理,.,.,探究,试将平面上的圆与空间的球进行类比,.,试将平面上的圆与空间的球进行类比,.,圆的定义：,平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合,.,球的定义：,空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合,.,圆,弦,直径周长,面积,球,截面圆,大圆,表面积,体积,线,面,线,面,线,面,面,体,例,5.,类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想,a,b,c,o,A,B,C,s,1,s,2,s,3,c,2,=a,2,+b,2,S,2,ABC,=S,2,AOB,+S,2,AOC,+S,2,BOC,猜想,:,让我们一起来类比推理,感悟,开普勒,(Kepler,1571-1630),说,:,“,我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,.,”,数学家波利亚,(,Polya,),曾指出：,“,类比是一个伟大的引路人,”,总结：,1.,进行类比推理的,步骤,：,(1),找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；,(2),用一类对象的已知特征去猜测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；,(3),检验这个猜想,.,2,、类比推理的一般模式,:,所以,B,类事物可能具有性质,d,.,A,类事物具有性质,a,b,c,d,B,类事物具有性质,a,b,c,(,a,b,c,与,a,b,c,相似或相同）,观察、比较,联想、类推,猜想新结论,类比推理,以,旧,的知识为基础,推测,新,的结果，具有,发现的功能,由,特殊,到,特殊,的推理,类比推理的结论,不一定成立,注意,类比推理,由,特殊,到,特殊,的推理,;,以旧的知识为基础,推测,新,的结果；,结论不一定成立,.,归纳推理,由,部分,到,整体,、,特殊,到,一般,的推理,;,以观察分析为基础,推测,新,的结论,;,具有,发现,的功能,;,结论不一定成立,.,具有,发现,的功能,;,小结,归纳推理和类比推理的过程,从具体问题出发,观察、分析、比较、联想,归纳、类比,提出猜想,通俗地说，合情推理是指,“合乎情理”,的推理,.,合情推理,归纳推理,类比推理,传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的,64,个圆环,.,古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起,“,过渡,”,的作用,.,1.,每次只能移动,1,个圆环；,2.,较大的圆环不能放在较小的圆环上面,.,如果有一天，僧侣们将这,64,个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了,.,请你试着推测：把 个圆环从,1,号针移到,3,号针,最少需要移动多少次,?,1,2,3,游戏：河内塔（Tower of Hanoi）,课外思考,2.,如图所示，有三根针和套在一根针上的若干金属片,.,按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上,.,(1),每次只能移动,1,个金属片；,(2),较大的金属片不能放在较小的金属片上面；,试推测：把,n,个金属片从,1,号针移到,3,号针，最少需要移动多少次？,1,2,3,让我们一起来归纳推理,1,2,3,第,1,个圆环从,1,到,3,.,设 为把 个圆环从,1,号针移到,3,号针的最少次数，则,1,时，,1,2,时，,1,2,3,前,1,个圆环从,1,到,2,;,第,2,个圆环从,1,到,3,;,第,1,个圆环从,2,到,3,.,3,第,1,个圆环从,1,到,3,.,设 为把 个圆环从,1,号针移到,3,号针的最少次数，则,1,时，,1,n,3,时，,前,2,个圆环从,1,到,2,;,第,3,个圆环从,1,到,3,;,前,2,个圆环从,2,到,3,.,7,2,时，,前,1,个圆环从,1,到,2,;,第,2,个圆环从,1,到,3,;,第,1,个圆环从,2,到,3,.,3,第,1,个圆环从,1,到,3,.,设 为把 个圆环从,1,号针移到,3,号针的最少次数，则,1,时，,1,1,2,3,猜想,a,n,=,2,n,-1,再 见,善于观察勤于思考敢于猜想的人,常常会冒出创造的灵感火花,!,
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