填空题的做法第二讲改

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第2讲 填空题的做法,1.填空题的类型,填空题具有小巧灵活、结 构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解 过程而只需要写出结论等特点.从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写.,2.填空题的特征,只需要将 结论直接写出的“求解题”.,填空题与选择题也有质的区别：,第一，表现为填空题没有备选项，,第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题,或断言中，抽出其中的一些内容（既可以是条件，,也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考,查方法比较灵活.,3.解填空题的基本原则,解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是,“巧做”.解填空题的常用方法有：直接法、特例法、数,形结合法等.,一、直接法,例1,（2009海口模拟）在等差数列,a,n,中，,a,1,=-3，11,a,5,=5,a,8,-13，则数列,a,n,的前,n,项和,S,n,的最小值为,.,思维启迪,计算出基本量,d,，找到转折项即可.,解析,设公差为,d,，则11(-3+4,d,)=5(-3+7,d,)-13，,d,=.,数列,a,n,为递增数列.,令,a,n,0，-3+（,n,-1）0，,n,，,n,N,*,，,前6项均为负值，,S,n,的最小值为,S,6,=-.,答案,变式训练1,（2009全国理，14）设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,若,S,9,=72，则,a,2,+,a,4,+,a,9,=,.,解析,设等差数列的首项为,a,1,，公差为,d,则,a,2,+,a,4,+,a,9,=,a,1,+,d,+,a,1,+3,d,+,a,1,+8,d,=3(,a,1,+4,d,),又,S,9,=72，,S,9,=9,a,1,+,d,=9(,a,1,+4,d,)=72,a,1,+4,d,=8,a,2,+,a,4,+,a,9,=24.,24,二、特例法,例2,（2009东营调研）在,ABC,中，角,A,、,B,、,C,所对的边分别为,a,、,b,、,c,，如果,a,、,b,、,c,成等差数列，则,=,.,思维启迪,由题意知，本题结果与,ABC,的形状无关，只需取符合要求的特殊值即可.,解析,方法一,取特殊值,a,=3,b,=4,c,=5，,则,cos,A,=,cos,C,=,0,.,方法二,取特殊角,A,=,B,=,C,=,cos,A,=cos,C,=,.,答案,探究提高,当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，但填空题结论唯一或题设条件暗示答案为定值时，可以考虑采用特殊化技巧.在解题过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位置，特殊点等）进行处理，从而快速得出结论，大大简化推理论证过程.,变式训练2,已知直线,ax,+,by,+,c,=0与圆,O,：,x,2,+,y,2,=1相交于,A,、,B,两点，且|,AB,|=，则 =,.,解析,特殊化，取,a,=1,b,=0,c,=-,设,A,（,x,1,y,1,）,B,(,x,2,y,2,)，则,x,1,=,x,2,=,y,1,y,2,=-=-,=,x,1,x,2,+,y,1,y,2,=-=-.,三、转化法,有的题目可以将命题转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉，从而将问题解决.,例3,若数列,a,n,中，,a,1,=1,a,n,+1,=3,S,n,(,n,1)，则,S,n,=,.,解析,方法一,a,n,+1,=3,S,n,(,n,1),a,n,=3,S,n,-1,(,n,2),-得,a,n,+1,-,a,n,=3(,S,n,-,S,n,-1,)=3,a,n,(,n,2),a,n,+1,=4,a,n,(,n,2)，又,a,2,=3,S,1,=3,a,1,=3，,=4(,n,2)，,a,2,a,3,a,n,是首项为3，公比为4的等比数列，,S,n,=,当,n,=1时，4,n,-1,=1，即,S,n,=4,n,-1,(,n,1).,方法二,a,n,+1,=3,S,n,(,n,1)，,S,n,+1,-,S,n,=3,S,n,（,n,1），即,S,n,+1,=4,S,n,（,n,1），,又,S,1,=,a,1,=1，=4（,n,1），,即,S,n,是首项为1，公比为4的等比数列.,S,n,=4,n,-1,（,n,1）.,答案,4,n,-1,探究提高,以上两种解法体现了对关系式,a,n,+1,=,3,S,n,（,n,1,）的两种不同的处理方法，方法一是消去,S,n,，此时要用变量观点看待关系式,a,n,+1,=,3,S,n,（,n,1,），先得到其姊妹式,a,n,=,3,S,n,-1,（,n,2,），然后通过两式相减得到,a,n,+1,与,a,n,的关系式，再对,a,n,+1,与,a,n,的关系式进行处理，求出,a,n,的通项公式，进而求出,S,n,.方法二是利用,a,n,+1,=,S,n,+1,-,S,n,消去,a,n,+1,从而得到,S,n,+1,与,S,n,的关系式，通过研究数列,S,n,的特性，再求出其通项公式.,变式训练3,二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,x,R,)的部分对应值如下表：,则不等式,ax,2,+,bx,+,c,0的解集是,.,解析,据表中可得,c,=-6,ax,2,+,bx,+,c,=0的两根分别为,x,1,=-2,x,2,=3,=-6得,a,=1,-=-2+3得,b,=-1,y,=,x,2,-,x,-6,x,2,-,x,-6,0的解集是(-,-2)(3,+).,(-,-2)(3,+),x,-3,-2,-1,0,2,3,4,y,6,0,-4,-6,-4,0,6,四、图象分析法（数形结合法）,依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显.,例4,已知,A,=,x,|-2,x,a,，,B,=,y,|,y,=2,x,+3，,x,A,，,C,=,z,|,z,=,x,2,，且,x,A,，若,C,B,，则实数,a,的取值范围为,.,解析,y,=2,x,+3在-2,a,上是增函数，,-1,y,2,a,+3，即,B,=,y,|-1,y,2,a,+3.,作出,z,=,x,2,的图象，该函数定义域右端点,x,=,a,有三种不同的位置情况如图所示.,答案,（-,-2）,3,探究提高,解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.,变式训练4,若,a,0，,b,0，且当 时，恒有,ax,+,by,1，则以,a,，,b,为坐标的点,P,（,a,，,b,）所形成的平面区域的面积等于,.,解析,平面区域如图所示，,令目标函数,z,=,ax+by,恒有,ax,+,by,1，,z,max,1，而,z,=,ax,+,by,是一组斜率为-的直线，因为,b,0，所以直线越向上,z,值越大，,当-,-1时，,z,在,A,点取最大，,z,max,=,b,1,当-,-1时，,z,在,B,点取最大值,z,max,=,a,1，,a,b,满足 平面区域为边长为1的正方形，面积为1.,答案,1,五、构造法,构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.,例5,函数,f,(,x,)=的最大值为,M,，最小值为,m,，则,M,+,m,=,.,解析,分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式,f,(,x,)=1+,f,(,x,)-1为奇函数，,则,m,-1=-（,M,-1），,M,+,m,=2.,2,探究提高,整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.,变式训练5,已知定义在,R,上的函数,y=f,（,x,）,满足,f,（,x+,）=-,f,（,x,）,且函数,y,=,f,（,x,-,）为奇函数，则下列命题中错误的是,.,函数,f,（,x,）,的最小正周期是,3,函数,f,（,x,）,的图象关于点（-,0,）对称,函数,f,（,x,）,的图象关于,y,轴对称,方程,f,（,x,）,=0,在区间,0,，,2 004,上恰有,668,个根,解析,方法一,（逆向思维法）由,f,（,x,+,）,=-,f,(,x,),得,f,（,x,+3,）,=,f,（,x,）,故为真；因函数,y,=,f,（,x,-,）为奇函数，其图象关于原点,O,对称，将,y,=,f,（,x,-）的图象向左平,移 个单位，得到,y,=,f,(,x,),，所以函数,y,=,f,(,x,),的图象关于点,（-,0,）对称，为真；由,y,=,f,（,x,-,）为奇函数，,得,f,（-,x,-）,=-,f,（,x,-）,用,x,-替换上式中的,x,得,f,（,-,x,）,=-,f,（,x,-）.,又知,f,（,x,-,+,）,=-,f,（,x,-）,则,f,(-,x,)=,f,(,x,),即,f,（,x,）,为偶函数，则为真；对，由、，画出图形，不难判断在区间,0，2 004,上有,1 336,个根.,方法二,（构造函数法）由题意构造函数,f,(,x,),=,sin,（,x,+）,+,k,，因为,f,(,x,),的最小正周期为,3,，所以,=,，因为函数,y,=,f,（,x,-,）,为奇函数,所以,f,（,-,x,-,）,=-,f,(,x,-)，,所以,sin (-,x,-)+,k,=-sin (,x,-)+-,k,所以,k,=0,=，,所以,f,(,x,)=-cos,x,，,易知选项、为真，故选,答案,规律方法总结,1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法.解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.,2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：,（1）要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；,（2）要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；,（3）要重视对所求结果的检验.,1.（2009北京理，14）已知数列,a,n,满足：,a,4,n,-3,=1,a,4,n,-1,=0,a,2,n,=,a,n,n,N,*,则,a,2 009,=,a,2 014,=,.,解析,a,2 009,=,a,4503-3,=1,a,2 014,=,a,1 007,=,a,2524-1,=0.,1,0,2.已知函数,f,(,x,)=,那么,f,(1)+,f,(2)+,f,(3)+,f,(4)+,f,+,f,+,f,=,.,解析,f,（,x,）+,f,=,=1,f,（1）+,f,（1）=,f,（2）+,f,=,f,（3）+,f,=,f,（4）+,f,=1.原式=,3.曲线方程|,x,2,-1|=,x,+,k,的实根随,k,的变化而变化，那,么它的实根的个数最多有,个.,解析,如图所示，参数,k,是直线,y,=,x,+,k,在,y,轴上的截距，通过观察,直线,y,=,x,+,k,与,y,=|,x,2,-1|的公共点的,变化情况，并通过计算可知，当,k,-1时，有0个实根；当,k,=-1时，,有1个实根；当-1,k,1时，有2个实根；,当,k,=1时，有3个实根；当1,k,时，有2个实根.,综上所述，可知实根个数最多为4个.,4,4.离心率为黄金比 的椭圆称为“优美椭圆”.,设 =1(,ab,0)是优美