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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,【,考纲下载,】,1.,以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理,2,能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的垂直关系的简单命题,.,第,5,讲 直线、平面垂直的判定及其性质,直线和平面垂直的定义,如果一条直线,l,和一个平面,内的,直线都垂直,，,那么就说直线,l,和平面,互相垂直,提示：,定义中的,“,任意一条直线,”,这一词语，它与,“,所有直线,”,是同义词，与,“,无数条直线,”,不是同义词,任意一条,1,直线和平面垂直的定理,(1),判定定理：,如果一条直线和一个平面内的两条,直线都垂直，,那么这条直线垂直于这个平面,(2),性质定理：,如果两条直线,于一个平面，那么这两条直线平行,相交,同垂直,2,【,思考,】,“,垂直于同一平面的两条直线互相平行,”,“,垂直于同一直线的两个平面互相平行,”,“,垂直于同一直线的两条直线互相平行,”,“,垂直于同一平面的两个平面互相平行,”,以上四个命题，你说有几个正确的？,答案：,正确，,错误,平面和平面垂直的定义,如果两个相交平面所成的二面角是,，就说这两个平面互相垂直,平面和平面垂直的定理,(1),判定定理：如果一个平面经过另一个平面的,，那么这两个平面,互相垂直,(2),性质定理：,如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于,的,直线，垂直于另一个平面,直角,一条垂线,它们交线,4,3,【,思考,】,你能用数学符号来表示这两个定理吗？,答案：,判定定理：,a,，,a,.,性质定理：,，,a,，,b,，,b,a,b,.,已知直线,m,、,n,和平面,、,满足,m,n,，,m,，,，则,(,),A,n,B,n,或,n,C,n,D,n,或,n,解析：,由,m,或,m,，当,m,时若,n,m,，,则,n,与,的位置关系不确定，从而,A,、,B,两项不正确,若,n,，又,m,，则,m,n,，这与已知,m,n,矛盾故排除,C,项,答案：,D,1,(2009,山东卷,),已知,、,表示两个不同的平面，,m,为平面,内的,一条直线，则,“,”,是,“,m,”,的,(,),A,充分不必要条件,B,必要不充分条件,C,充要条件,D,既不充分也不必要条件,解析：,由面面垂直的判定定理，知,m,.,答案：,B,2,3.,如图所示，,ABCD-A1B1C1D1,为正方体，下面结论错误的是,(,),A,BD,平面,CB,1,D,1,B,AC,1,BD,C,AC,1,平面,CB,1,D,1,D,异面直线,AD,与,CB,1,所成的角为,60,解析：,异面直线,AD,与,CB,1,所成的角为,45.,答案：,D,4,P,为,ABC,所在平面外一点，且,PA,、,PB,、,PC,两两垂直，则下列命题：,PA,BC,；,PB,AC,；,PC,AB,；,AB,BC,.,其中正确的个数是,_,解析,：如图所示,PA,PC,、,PA,PB,，,PC,PB,=,P,，,PA,平面,PBC,.,又,BC,平面,PBC,，,PA,BC,.,同理,PB,AC,、,PC,AB,.,但,AB,不一定垂直于,BC,.,答案,：,3,个,证明直线和平面垂直的关键是在平面内找到两条相交直线与已知直线垂直在证明时要充分利用平面几何中的知识，以达到通过平面内的垂直关系证明空间中的垂直关系的目的,如图所示，四棱锥,P,ABCD,中，,PA,底面,ABCD,，,AB,AD,，,AC,CD,，,ABC,60,，,PA,AB,BC,，,E,是,PC,的中点,求证：,(1),CD,AE,；,(2),PD,平面,ABE,.,思维点拨：,(1),先证,CD,平面,PAC,；,(2),先证,AE,平面,PCD,，再证,PD,平面,ABE,.,【,例,1,】,证明：,(1),PA,底面,ABCD,，,CD,PA,，,又,CD,AC,，,PA,AC,A,，,故,CD,平面,PAC,，,AE,平面,PAC,，故,CD,AE,.,(2),PA,AB,BC,，,ABC,60,，故,PA,AC,.,E,是,PC,的中点，故,AE,PC,.,由,(1),知,CD,AE,，,从而,AE,平面,PCD,，故,AE,PD,.,易知,BA,PD,，故,PD,平面,ABE,.,如图所示，已知,PA,矩形,ABCD,所在平面，,M,，,N,分别是,AB,，,PC,的中点,(1),求证：,MN,CD,；,(2),若,PDA,45,，求证：,MN,平面,PCD,.,变式,1,：,证明：,(1),连结,AC,，,AN,，,BN,，,PA,平面,ABCD,，,PA,AC,，,在,Rt,PAC,中,，,N,为,PC,中点,，,AN,=,PC,.,PA,平面,ABCD,，,PA,BC,，又,BC,AB,，,PA,AB,=,A,，,BC,平面,PAB,，,BC,PB,，,(2),连结,PM,、,MC,，,PDA,=45,，,PA,AD,，,AP,=,AD,.,四边形,ABCD,为矩形，,AD,=,BC,，,PA,=,BC,.,又,M,为,AB,的中点，,AM,=,BM,.,而,PAM,=,CBM,=90,，,PM,=,CM,.,又,N,为,PC,的中点，,MN,PC,.,由,(1),知，,MN,CD,，,PC,CD,=C,，,MN,平面,PCD,.,从而在,Rt,PBC,中,，,BN,为斜边,PC,上的中线,，,BN,=,PC,.,AN,=,BN,，,ABN,为等腰三角形，又,M,为底边的中点,，,MN,AB,，,又,AB,CD,，,MN,CD,.,证面面垂直的方法：,1,利用面面垂直的定义，即证明两平面所成的二面角为直二面角,2,利用两个平面垂直的判定定理，即证明一个平面经过另一个,平面的一条垂线,(,a,，,a,),如图所示，已知,BCD,中，,BCD,90,，,BC,CD,1,，,AB,平面,BCD,，,ADB,60,，,E,、,F,分别是,AC,、,AD,上的动点，且,(1),求证：不论,为何值，恒有平面,BEF,平面,ABC,；,(2),当,为何值时，平面,BEF,平面,ACD,.,【,例,2,】,证明：,(1),AB,平面,BCD,，,AB,CD,，,又,CD,BC,且,AB,BC,B,，,CD,平面,ABC,.,(0,1),，,不论,为何值，恒有,EF,CD,，,EF,平面,ABC,，,而,EF,平面,BEF,，,不论,为何值，恒有平面,BEF,平面,ABC,.,(2),解：,由,(1),知，,BE,EF,，若平面,BEF,平面,ACD,，,则,BE,平面,ACD,，故,BE,AC,.,BC,CD,1,，,BCD,90,，,ADB,60,，,AC,.,由,AB,2,AE,AC,，得,平面,BEF,平面,ACD,.,如右图，在四棱锥,P,ABCD,中，平面,PAD,平面,ABCD,，,AB,DC,，,PAD,是等边三角形，已知,BD,2,AD,8,，,AB,2,DC,4 .,(1),设,M,是,PC,上的一点，证明：平面,MBD,平面,PAD,；,(2),求四棱锥,P,ABCD,的体积,变式,2,：,证明：,(1),在,ABD,中，,AD,4,，,BD,8,，,AB,4,，,AD,2,BD,2,AB,2,.,AD,BD,.,又,面,PAD,面,ABCD,，面,PAD,面,ABCD,AD,，,BD,面,ABCD,，,BD,面,PAD,.,又,BD,面,BDM,，,面,MBD,面,PAD,.,(2),解：过,P,作,PO,AD,，,面,PAD,面,ABCD,，,PO,面,ABCD,，,即,PO,为四棱锥,P,ABCD,的高,又,PAD,是边长为,4,的等边三角形，,PO,=2 .,在底面四边形,ABCD,中，,AB,DC,，,AB,=2,DC,，,四边形,ABCD,为梯形,在,Rt,ADB,中，斜边,AB,边上的高为,，此即为梯形的高,S,四边形,ABCD,=24.,V,P,ABCD,=.,垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考查是每年高考必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主，或直接考查垂直和平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活多样，因此，在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象能力、逻辑思维能力及语言表达能力的训练,(2009,江苏,),如图，在直三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，,E,、,F,分别是,A,1,B,，,A,1,C,的中点，点,D,在,B,1,C,1,上，,A,1,D,B,1,C,.,求证：,(1),EF,平面,ABC,；,(2),平面,A,1,FD,平面,BB,1,C,1,C,.,思维点拨：,(1),先证,EF,BC,，再证,EF,平面,ABC,；,(2),先证,A,1,D,平面,BB,1,C,1,C,.,【,例,3,】,证明：,(1),由,E,，,F,分别是,A,1,B,，,A,1,C,的中点知,EF,BC,，,因为,EF,平面,ABC,，,BC,平面,ABC,，,所以,EF,平面,ABC,.,(2),由,三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,为,直三棱柱知,CC,1,平面,A,1,B,1,C,1,，又,A,1,D,平面,A,1,B,1,C,1,，,故,CC,1,A,1,D,.,又因为,A,1,D,B,1,C,，,CC,1,B,1,C,C,，,CC,1,，,B,1,C,平面,BB,1,C,1,C,，故,A,1,D,平面,BB,1,C,1,C,.,又,A,1,D,平面,A,1,FD,，,所以平面,A,1,FD,平面,BB,1,C,1,C,.,如图，在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，点,D,在边,BC,上，,AD,C,1,D,.,(1),求证：,AD,平面,BCC,1,B,1,；,(2),设,E,是,B,1,C,1,上的一点，当,的值为多少时，,A,1,E,平面,ADC,1,？,请给出证明,变式,3,：,证明：,(1),在正三棱柱中,，,CC,1,平面,ABC,，,AD,平面,ABC,，,AD,CC,1,.,又,AD,C,1,D,，,CC,1,交,C,1,D,于,C,1,，且,CC,1,和,C,1,D,都在平面,BCC,1,B,1,内，,AD,平面,BCC,1,B,1,.,(2),解：,由,(1),得,AD,BC,.,在正三角形,ABC,中，,D,是,BC,的中点,当,1,，即,E,为,B,1,C,1,的中点时，,A,1,E,平面,ADC,1,.,在正三棱柱,ABC,A,1,B,1,C,1,中，四边形,BCC,1,B,1,是矩形，,且,D,、,E,分别是,BC,、,B,1,C,1,的中点，,B,1,B,DE,，,B,1,B,DE,.,又,B,1,B,AA,1,，且,B,1,B,AA,1,，,DE,AA,1,，且,DE,AA,1,.,四边形,ADEA,1,为平行四边形，,A,1,E,AD,.,而,A,1,E,平面,ADC,1,，故,A,1,E,平面,ADC,1,.,【,方法规律,】,1,垂直关系的转化,在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直故熟练掌握,“,线线垂直,”,、,“,面面垂直,”,间的转化条件是解决这类问题的关键,2,应用三垂线定理及其逆定理应注意的问题：,(1),两个定理中,“,平面内,”,，这个条件不能省略，否则不一定成立，,需要进一步证明,(2),两个定理的区别：,从两个定理的条件和结论上区分，三垂线定理是,“,线与射影垂直,线与斜线垂直,”,，逆定理相反,从两个定理的作用上区分，三垂线定理解决已知共面直线垂直，,证明异面直线垂直，逆定理相反,利用三垂线定理及其逆定理的关键是要善于从各种图形中找出,“,平面的垂线,”“,平面
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