平衡方程组的解法与完全消耗系数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,经 济 数 学 线 性 代 数,第17讲,平衡方程组的解法与完全消耗系数,教师：边文莉,下一步,一、平衡方程组的解法,消耗平衡方程组,（2）已知，可求,（1）已知，可求,下一步,分配平衡方程组,已知，可求,定理,:若 为直接消耗系数矩阵，,E-A,可逆。,下一步,定理,:若 阶矩阵 满足,则 当 非负时，存在非负解,例,设某工厂有三个车间，在某一个生产周,期内各车间之间的直接消耗系数及最终需求,如表，求各车间的总产值。,下一步,车间,直耗系数,车间,最终需求,0.25 0.1 0.1,0.2 0.2 0.1,0.1 0.1 0.2,235,125,210,解,下一步,即三个车间的总产值分别为,400,，,300,，,350,。,下一步,由 计算各部门的流量,消耗部门,最终产品,总产出,1 2 3,生产部门,1,2,3,100 30 35,80 60 35,40 30 70,235,125,210,400,300,350,净产值,180 180 210,总产值,400 300 350,下一步,二、完全消耗系数,实际的经济活动中，比如冶金部门的生产除直接消耗电力外，还要消耗煤炭；而煤炭部门的生产也要消耗电力；电力部门的生产又要消耗钢材。这表明，一个部门除了直接消耗另一个部门的产品外，还通过其他部门间接消耗该部门的产品，为了改进平衡方程组，我们给出间接消耗和直接消耗系数的概念。,下一步,直接消耗系数只反映各部门间的直接消耗，,不能反映各部门间的间接消耗，为此我们给出,如下定义。,定义,第,j,部门生产单位价值量直接和间,接消耗的第,i,部门的价值量总和，称为第,j,部,门对第,i,部门的完全消耗系数，记作,。,下一步,由 构成的,n,阶方阵 称为各部门间的,完全消耗系数矩阵,。,定理,第,j,部门对第,i,部门的完全消耗系数,满足方程,定理,设,n,个,部门的直接消耗系数矩阵为,A,，完全消耗系数矩阵为,B,，则有,下一步,证明,由,定理,知，,将 个等式用矩阵表示为,由,定理,知,(,E,-,A,),可逆,，故,下一步,例：设某个经济系统划分为三个部门，讨论第二个部门对第一个部门的完全消耗系数,第二个部门对第一个部门的直接消耗系数为 第三个部门对第一个部门的完全消耗系数为,第二个部门对第三个部门的直接消耗系数为 第二个部门通过第三个部门对第一个部门的间接消耗系数为,下一步,例,假设某公司三个生产部门间的报告价值,型投入产出表如,产出,投入,中间消耗,最终需求,总产出,1 2 3,中间投入,1,2,3,1500 0 600,0 610 600,250 1525 3600,400,1840,625,2500,3050,6000,求各部门间的完全消耗系数矩阵。,下一步,解,依次用各部门的总产值去除中间消耗栏中,各列，得到,直接消耗系数矩阵,为,下一步,故所求,完全消耗系数矩阵,为,由此例可知，,完全消耗系数矩阵,的值比,直接,消耗系数矩阵,的值要大的多。,下一步,分配平衡方程组,又因为,所以,下一步,定理,如果第,j,部门最终需求增加 ，而,其他部门的最终需求不变，那么部门总产出,X,的增量为,其中,为单位坐标向量。,证明,由,定理,知 ，由前述讨论,下一步,由定理假设，部门最终需求增量,于是,下一步,定理,表明，由第,j,部门最终需求的增加,（其他部门的最终需求不变），引起了各部门,总产值的增加。从数量上表示了各,部门的增加量。如果没有这些追加，第,j,部门要,完成增加 最终需求的任务就不能实现。,如果,定理,的结论用分量表示,下一步,特别取 ，则有,上式的经济意义是，当第,j,部门的最终需求,增加一个单位，而其他部门最终需求不变时，,第,i,部门总产值的增加量为 ，当第,i,部门的最终,需求增加一个单位而其他部门的最终需求不变,时，第,i,部门总产值的增加量为 。,下一步,若令,用矩阵表示为,将 代入上式，则,下一步,例,利用第一例中的数据，求完全消耗系数矩阵,B,。,解,由例知直接消耗系数矩阵,于是有,下一步,最后得完全消耗系数矩阵,下一步,例,下列完全消耗系数表,部门,直耗系数,部门,0.,384 0.367 0.31,1.2994 0.9774 0.904,1.158 1.328 0.893,已知下一周期三部门的社会需求预测（,90,，,70,，,160,），求三部门总产量的计划值。,下一步,若第一部门的产品需求预测值改变为,100,，求各部门总产品量。,下一步,下一步,小结,消耗平衡方程组的解法。,2分配平衡方程组的解法。,3完全消耗系数的定义，完全消耗系数矩阵。,4某部门需求变化时对总产量的影响。,下一步,