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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,对正态曲线方程的理解,对于正态变量的概率密度函数：,其中,是圆周率，是常数,x,是随,机变量的取值，,=EX,为数学期望；,是标准差,.,因此，正,态分布是由它的数学期望,和标准差,唯一决定的,.,利用图,像求正态曲线的方程，关键是确定,、,，结合图像，利,求正态曲线的方程,用正态曲线的两条性质：一是对称轴，二是最值即可求,.,相应参数确定了，代入,【,例,1】,如图所示的一个正态曲线，试根据该图像写出其正,态分布的概率密度函数的解析式，并计算随机变量的期望,和方差,.,【,审题指导,】,由图易知正态曲线的对称轴是,x=20,最大值为,可考虑利用正态密度曲线求,，然后求,.,【,规范解答,】,从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直,线,x=20,对称，峰值是,所以,=20.,于是该正态分布的概率密度函数的解析式是,随机变量的期望是,=20,方差是,【,变式训练,】,若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且,该函数的最大值为 求该正态分布密度函数的解析式,.,【,解题提示,】,求解析式的关键是确定,、,.,【,解析,】,由于该正态分布密度函数是一个偶函数，所以其,图像即正态曲线关于,y,轴对称，即,=0.,而最大值为,=2.,故该正态分布密度函数的解析式是,正态分布在实际生活中的应用,利用正态分布解决实际问题的方法与策略,.,(1),将实际问题抽象为数学问题，利用正态曲线的有关性质解决,.,(2),解决正态曲线的性质问题，应对正态曲线的简单性质熟练掌握并且能够应用，尤其是对称性，最高点的位置，曲线左右无限延伸并逐渐降低，要结合正态曲线的图像理解并掌握,.,(3),灵活把握,3,原则，将所求问题向,P(-,+,),，,P(-2+2),，,P(-3+3),进行转化，然后利用特定值求出相应概率,.,同时要充分利用曲线的对称性和曲线与,x,轴之间的面积为,1,这一特殊性质,.,【,例,2】,在一次数学测验中，某班学生的分数服从正态分布,X,N(110,20,2,),，且知满分为,150,分,.,这个班的学生共,54,人，求这个班在这次数学考试中及格,(,不小于,90,分,),的人数和,130,分以上的人数,.,【,审题指导,】,本题求及格及,130,分以上的人数，可考虑利用正态分布求不小于,90,分和,130,分以上的概率然后求解,.,【,规范解答,】,X,N(110,20,2,),=110,，,=20.,P(110-20X110+20)=0.683,P(X,130)=,(1-0.683)=0.158 5,P(X90)=0.683+0.158 5=0.841 5,及格的人数为,54,0.841 545(,人,),130,分以上的人数为,54,0.158 59(,人,),【,互动探究,】,如果把题设条件,“,这个班的学生共,54,人,”,换成,“,现已知该班同学中不及格的人数有,9,人,”,，求相应结论,.,【,解题提示,】,先根据条件求出该班总人数结合概率求相应问题,.,【,解析,】,X,N(110,20,2,),=110,，,=20.P(110-20X110+20)=0.683,P(X,90)=,(1-0.683)=0.158 5,设该班学生共有,x,人，则,0.158 5x=9,即,x57(,人,),P(X90)=1-0.158 5=0.841 5.,这个班这次数学考试中及格的人数为,0.841 5,5748(,人,),又,P(X,90)=P(X,130),130,分以上的有,9,人,.,【,例,】,有一种精密零件，其尺寸,X(,单位：,mm),服从正态分,布，即,X,N(20,4).,若这批零件共有,5 000,个,.,试求,(1),这批,零件中尺寸在,18 mm,22 mm,之间的零件所占的百分比,.,(2),若规定尺寸在,24 mm,26 mm,间的零件不合格，则这批零,件中不合格的零件大约有多少个？,【,审题指导,】,正态分布已经确定，可考虑利用,3,原则进行,求解,.,【,规范解答,】,(1)X,N(20,4),=20,=2.,-,=18,+=22.,于是零件尺寸,X,在,18 mm,22 mm,间的零件所占百分比大约是,68.3%.,(2)-3=20-3,2=14,+3=20+3,2=26,-2=,16,+2=24,零件尺寸,X,在,14 mm,26 mm,间的百分比大约是,99.7%,，而零件尺寸,X,在,16 mm,24 mm,间的百分比大约是,95.4%.,零件尺寸在,24 mm,26 mm,间的百分比大约是,因此尺寸在,24 mm,26 mm,间的大约有,5 000,2.15%108(,个,).,【,变式备选,】,工厂制造的某机械零件尺寸,X,服从正态分布,N(4,，,),，问在一次正常的试验中，取,1 000,个零件时，不,属于区间,(3,，,5),这个尺寸范围的零件大约有多少个？,【,解题提示,】,先求出不属于区间,(3,5),的概率，然后再求零件个数,.,【,解析,】,X,N,(4,),=4,=,.,不属于区间,(3,，,5),的概率为,P(X3)+P(X5)=1-P(3,X,5),=1-P(4-1,X,4+1),=1-P(-3,X,+3),=1-0.997=0.003,，,1 000,0.003=3(,个,),，,即不属于区间,(3,，,5),这个尺寸范围的零件大约有,3,个,.,【,典例,】(12,分,),设,X,N(6,，,1),，求,P(4,X,5).,【,审题指导,】,求,P(4,X,5),可利用正态分布的性质结合,3,原则及对称性求解,.,【,规范解答,】,由已知,=6,，,=1,，,2,分,P(5,X,7)=,P(-,X,+,)=,0.683,，,4,分,P(4,X,8)=P(-2,X,+2)=,0.954,，,6,分,P(4,X,5)+P(7,X,8)=,P(4,X,8)-P(5,X,7)=,0.271,，,8,分,如图：由正态曲线的对称性知,P(4,X,5)=P(7,X,8),，,10,分,P(4,X,5)=,P(4,X,8)-P(5,X,7),=,0.271,=0.135 5.,12,分,【,误区警示,】,对解答本题时易犯的错误具体分析如下：,【,即时训练,】,设,X,N(5,1),，求,P(6,X,7).,【,解析,】,由已知,=5,，,=1,，,P(4,X,6)=0.683,P(3,X,7)=0.954,P(3,X,4)+P(6,X,7)=0.954-0.683=0.271,如图由正态分布曲线的对称性知，,P(3,X,4)=P(6,X,7),P(6,X,7)=,P(3,X,4)+,P(6,X,7),=,0.271=0.135 5.,1.,在正态分布,(0,1),中，数值落在,(-2,2),内的概率为,(),(A)0.683 (B)0.954 (C)0.997 (D)0.317,【,解析,】,选,B.,=0,=1,数值落在,(-2,+2),即,(-2,2),内的概率为,0.954.,2.,设有一正态总体，则这个正态总体的平,均数与标准差分别是,(),(A)6,与,8 (B)6,与,2 (C)8,与,6 (D)2,与,6,【,解析,】,选,B.,由 知,=6,2,2,=8,=2.,3.,若随机变量,N(0,1),则,P(,0)=_.,【,解析,】,由,N(0,1),知正态曲线关于直线,x=0,对称,.,P(,0)=.,答案：,4.,正态总体,N(2,2,),在区间,(,3),内取值的概率为,_.,【,解析,】,由题意知,P(2-,X,2+)=0.683.,答案：,0.683,5.,已知随机变量,X,N(2,4),试计算正态总体落在下列区间的值,.,(1)(2-2,2+2,(2)(2-2,2,2+2,2,(3)(-4,8,【,解析,】,X,N(2,4),，,=2,=2,(1)P(2-2,X2+2)=,P(-,X+,)=0.683.,(2)P(2-2,2,X2+2,2)=P(-2,X+2)=0.954.,(3)P(-4,X8)=P(-3,X+3)=0.997.,
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