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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,二级,三级,四级,五级,*,第二十二章 四边形,全章热门考点整合应用,习题课,本章,内容是中考的必考内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与全等、相似、函数知识相结合的综合题其主要考点可概括为：,一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想,1,考点,一个定理,三角形的中位线定理,1,如图所示，已知在四边形,ABCD,中，,AD,BC,且,AC,BD,，点,E,，,F,，,G,，,H,，,P,，,Q,分别是,AB,，,BC,，,CD,，,DA,，,AC,，,BD,的中点,求证：,(1),四边形,EFGH,是矩形；,(2),四边形,EQGP,是菱形,(1),点,E,，,F,，,G,，,H,分别为,AB,，,BC,，,CD,，,DA,的,中点，,EF,AC,且,EF,AC,，,GH,AC,且,GH,AC,，,EH,BD,，,EF,GH,且,EF,GH,，,四边形,EFGH,是平行四边形,又,AC,BD,，,EF,EH,.,EFGH,是矩形,证明：,(2),点,E,，,P,，,G,，,Q,分别为,AB,，,AC,，,DC,，,DB,的,中点，,EP,BC,，,PG,AD,，,GQ,BC,，,QE,AD,.,AD,BC,，,EP,PG,GQ,QE,，,四边形,EQGP,是菱形,在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系,2,如图，在,ABC,中，点,D,，,E,，,F,分别是,AB,，,BC,，,CA,的中点，,AH,是边,BC,上的高求证：,(1),四边形,ADEF,是平行四边形；,(2),DHF,DEF,.,2,考点,一个,性质,直角,三角形,斜边上的中线性质,证明：,(1),点,D,，,E,分别是,AB,，,BC,的中点，,DE,AC,.,同理可得,EF,AB,.,四边形,ADEF,是平行四边形,(2),由,(1),知四边形,ADEF,是平行四边形，,DAF,DEF,.,在,Rt,AHB,中，,D,是,AB,的中点，,DH,AB,AD,，,DAH,DHA,.,同理可得,HF,AC,AF,，,FAH,FHA,.,DAH,FAH,DHA,FHA,.,DAF,DHF,.,DHF,DEF,.,3,考点,四个图形,3,【,中考,凉山州,】如图，分别以,Rt,ABC,的直角边,AC,及斜边,AB,为边向外作等边三角形,ACD,及等边三角形,ABE,.,已知,BAC,30,，,EF,AB,，垂足为点,F,，连,接,DF,.,(1),求证：,AC,EF,；,(2),求证：四边形,ADFE,是平行四,边形,图形,1,平行四边形,证明：,(1),在,Rt,ABC,中，,BAC,30,，,AB,2,BC,.,ABE,是等边三角形，,EF,AB,，,AE,AB,，,AB,2,AF,，,AF,BC,.,在,Rt,BCA,和,Rt,AFE,中，,Rt,BCA,Rt,AFE,(HL),，,AC,EF,.,(2),ACD,是等边三角形，,DAC,60,，,AC,AD,，,DAB,DAC,BAC,90.,又,EF,AB,，,EFA,90,DAB,.,EF,AD,.,AC,EF,，,AC,AD,，,EF,AD,.,四边形,ADFE,是平行四边形,4,如图，在,ABCD,中，点,O,是,AC,与,BD,的交点，过点,O,的,直线与,BA,的延长线，,DC,的延长线分别交于点,E,，,F,.,(1),求证：,AOE,COF,.,(2),连接,EC,，,AF,，则,EF,与,AC,满足什么数量关系时，四,边形,AECF,是矩形？请说明理由,图形,2,矩 形,(1),证明：,四边形,ABCD,是平行四边形，,OA,OC,，,AB,CD,，,AEO,CFO,.,在,AOE,和,COF,中，,AOE,COF,(AAS),(2),解：,当,AC,EF,时，四边形,AECF,是矩形理由如下：,由,(1),知,AOE,COF,，,OE,OF,.,AO,CO,，,四边形,AECF,是平行四边形,又,AC,EF,，,四边形,AECF,是矩形,5,如图，在,ABC,中，,D,，,E,分别是,AB,，,AC,的中点，,过点,E,作,EF,AB,，交,BC,于点,F,.,(1),求证：四边形,DBFE,是平行四边形,(2),当,ABC,满足什么条件时，四边形,DBFE,是菱,形？为什么？,图形,3,菱 形,(1),证明：,D,，,E,分别是,AB,，,AC,的中点，,DE,是,ABC,的中位线，,DE,BC,.,又,EF,AB,，,四边形,DBFE,是平行四边形,(2),解：,当,AB,BC,时，四边形,DBFE,是菱形,理由：,D,是,AB,的中点，,BD,AB,.,DE,是,ABC,的中位线，,DE,BC,.,又,AB,BC,，,BD,DE,.,又,四边形,DBFE,是平行四边形，,四边形,DBFE,是菱形,6,如图，已知在,Rt,ABC,中，,ABC,90,，先把,ABC,绕点,B,顺时针旋转,90,后至,DBE,，再把,ABC,沿射线,AB,平移至,FEG,，,DE,，,FG,相交于,点,H,.,(1),判断线段,DE,，,FG,的位置关系，并说明理由；,(2),连接,CG,，求证：四边形,CBEG,是正方形,图形,4,正方形,(1),解：,DE,FG,.,理由如下：由题意，得,A,EDB,GFE,，,ABC,DBE,90,，,EDB,BED,90.,GFE,BED,90,，,FHE,90,，即,DE,FG,.,(2),证明：,ABC,沿射线,AB,平移至,FEG,.,CB,GE,，,CB,GE,.,四边形,CBEG,是平行四边形,ABC,GEF,90,，,四边形,CBEG,是矩形,BC,BE,，,四边形,CBEG,是正方形,7,如图，,E,，,F,分别是,ABCD,的,AD,，,BC,边上的点，且,AE,CF,.,(1),求证：,ABE,CDF,；,(2),若,M,，,N,分别是,BE,，,DF,的中点，连接,MF,，,EN,，试,判断四边形,MFNE,是怎样的四,边形，并证明你的结论,判定与性质,1,平行四边形,4,四个判定与性质,考点,(1),证明：,四边形,ABCD,是平行四边形，,AB,CD,，,A,C,.,AE,CF,，,ABE,CDF,(SAS),(2),解：,四边形,MFNE,是平行四边形证明如下：,ABE,CDF,，,AEB,CFD,，,BE,DF,.,又,M,，,N,分别是,BE,，,DF,的中点，,ME,FN,.,四边形,ABCD,是平行四边形，,BC,AD,，,AEB,FBE,.,CFD,FBE,.,EB,DF,，即,ME,FN,.,四边形,MFNE,是平行四边形,本题是一道猜想型问题，先猜想结论，再证明结论本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形,规律总结：,8,【,中考,湘西州,】如图，在,ABCD,中，,DE,AB,，,BF,CD,，垂足分别为,E,，,F,.,求证：,(1),ADE,CBF,；,(2),四边形,DEBF,为矩形,判定与性质,2,矩形,(1),四边形,ABCD,是平行四边形，,A,C,，,AD,CB,.,又,DE,AB,，,BF,CD,，,DEA,BFC,90.,ADE,CBF,.,(2),ADE,CBF,，,AE,CF,.,CD,AB,，,DF,BE,.,又,CD,AB,，,四边形,DEBF,为平行四边形,又,DEB,90,，,四边形,DEBF,为矩形,证明：,9,如图，在,ABC,中，,BAC,的平分线交,BC,于点,D,，,E,是,AB,上一点，且,AE,AC,，,EF,BC,交,AD,于点,F,.,求证：四边形,CDEF,是菱形,判定与性质,3,菱形,证明：,如,答,图，连接,CE,，交,AD,于点,O,.,AC,AE,，,ACE,为等腰三角形,AO,平分,CAE,，,AO,CE,，且,OC,OE,.,EF,CD,，,2,1.,又,DOC,FOE,，,DOC,FOE,(,ASA,),OD,OF,.,即,CE,与,DF,互相垂直且平分，,四边形,CDEF,是菱形,10,如图，,E,为正方形,ABCD,的边,AB,的延长线上一点，,DE,交,AC,于点,F,，交,BC,于点,G,，,H,为,GE,的中点,求证：,FB,BH,.,判定与性质,4,正方形,四边形,ABCD,是正方形，,CD,CB,，,DCF,BCF,45,，,DC,AE,，,CBE,90,，,CDF,E,.,又,CF,CF,，,DCF,BCF,.,CDF,CBF,.,CBF,E,.,H,为,GE,的中点，,HB,HG,GE,.,HGB,HBG,.,CDG,CGD,90,，,CGD,HGB,HBG,，,FBG,HBG,90,，即,FBH,90,，,FB,BH,.,证明：,11,如图，在矩形,ABCD,中，,AB,10,，,BC,5,，点,E,，,F,分别在,AB,，,CD,上，将矩形,ABCD,沿,EF,折叠，,使点,A,，,D,分别落在矩形,ABCD,外部的点,A,1,，,D,1,处，,求阴影部分图形的周长,技巧,1,解与四边形有关的折叠问题的技巧,(,轴对称变换法,),5,四个技巧,考点,在矩形,ABCD,中，,AB,10,，,BC,5,，,CD,AB,10,，,AD,BC,5.,又,将矩形,ABCD,沿,EF,折叠，使点,A,，,D,分别落在矩形,ABCD,外部的点,A,1,，,D,1,处，,根据轴对称的性质可得,A,1,E,AE,，,A,1,D,1,AD,，,D,1,F,DF,.,设线段,D,1,F,与线段,AB,交于点,M,，则阴影部分的周长为,(,A,1,E,EM,MD,1,A,1,D,1,),(,MB,MF,FC,CB,),AE,EM,MD,1,AD,MB,MF,FC,CB,(,AE,EM,MB,),(,MD,1,MF,FC,),AD,CB,AB,(,FD,1,FC,),10,AB,(,FD,FC,),10,10,10,10,30.,解：,12,如图，正方形,ABCD,的对角线相交于点,O,，点,O,也,是正方形,A,B,C,O,的一个顶点，如果两个正方形,的边长都等于,1,，那么正方形,A,B,C,O,绕顶点,O,转,动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规,律？请说明理由,技巧,2,解与四边形有关的旋转问题的技巧,(,特殊位置法,),两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是,.,理由如下：,四边形,ABCD,是正方形，,OB,OC,，,OBE,OCF,45,，,BOC,90.,四边形,A,B,C,O,是正方形，,EOF,90.,EOF,BOC,.,EOF,BOF,BOC,BOF,，,即,BOE,COF,.,BOE,COF,.,S,BOE,S,COF,.,两个正方形重叠部分的面积等于,S,BOC,.,S,正方形,ABCD,11,1,，,S,BOC,S,正方形,ABCD,.,两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是,.,解：,13,如图，在边长为,10,的菱形,ABCD,中，对角线,BD,16,，,对角线,AC,，,BD,相交于点,G,，点,O,是直线,BD,上的动点，,OE,AB,于,E,，,OF,AD,于,F,.,(1),求对角线,AC,的长及菱形,ABCD,的面积,(2),如图,，当点,O,在对角线,BD,上运动时，,OE,OF,的,值是否发生变化？请说明理由,(3),如图,，当点,O,在对角线,BD,的延长线上时，,OE,OF,的值是否发生变化？若,不变，请说明理由；若,变化，请探究,OE,，,OF,之间的数量关系,技巧,3,解与四边
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