计算方差-协方差矩阵

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,1.,*,l e c t u r e,10,FINANCIAL MODELING,金融建模,第,10,章 计算方差,-,协方差矩阵,要计算有效投资组合，我们就必须计算股票收益数据的方差-协方差矩阵。本章中，我们将讨论在Excel中怎样实现这个计算。其中最显而易见的计算为样本方差-协方差矩阵：这是直接由历史收益计算而得的矩阵。我们介绍几种计算方差-协方差的方法，包括在电子表中用超额收益矩阵直接计算、VBA实现该方法计算。,即使样本方差-协方差矩阵看起来像一个很明显的选择，但我们将用大量的文字说明它也许不是方差与协方差最好的估计。样本方差-协方差矩阵有两个不尽人意的缺陷：一是它常使用不现实的参数，二是它难以用于预测。这些将主要在10.5和10.6节中讨论。作为样本矩阵的替换，10.9和10.10节将讨论用于优化方差-协方差矩阵估计的“压缩”方法。,在开始本章之前，你应先阅读第34章数组函数的内容。里面有一些Excel函数，其参数是向量和矩阵；它们的实施与标准Excel函数略有不同。本章重点讨论这些数组函数Transpose()和MMult()，还有“自制”的数组函数的使用。,10.1,引言,我们用我们的数字例子来说明计算方差,-,协方差矩阵的矩阵方法。我们通过减去资产各自的平均收益，得到超额收益矩阵（接下来的电子表中的,42-52,行）。在,55-61,行中我们计算样本方差,-,协方差矩阵。,一个稍微更有效率的替代方法,正如你所期望那样，的确存在其他计算方差,-,协方差矩阵可选方法。这里所介绍的方法跳过了超额收益的计算，并且直接使用单元格,B71,：,G76,中的公式进行计算。它通过使用数组函数,=MMULT(TRANSPOSE(B23,：,G33-B35,：,G35),，,B23,：,G33-B35,：,G35)/10,。通过写入,B23,：,G33-B35,我们直接将每项收益减去均值得到超额收益向量：,10.3,我们应该除以,M,还是,M-1,？,Excel,与统计量？,在前面的计算中我们除以,M-1,而非,M,，以此得到无偏的方差和协方差的估计。不过这个选择看起来几乎没有多大影响。我们引用主流的教科书：“对于为什么要用,M-1,取代,M,这儿有一段很长的历史。如果你从来没有听说过，你可以参考任何一本好的统计教材。这里我们主要想提醒你，如果你在计算一个分布的方差时，这个分布存在已知的先验的均值，而不需要从历史数据估计的时候，那么,M-1,应该变回,M,。（我们同样想说关于在分母上用,M-1,替代,M,上，我们认为对你是已知的，但这却是对你不负责任的,例如，试图用图例说明去证明一个充满疑问的假设）”,Excel,本身某程度上在除以,M,还是,M-1,这个问题上也有些混乱。在下面的电子表中我们给出几种计算均值，方差，标准差和协方差的方法。,Excel,区分总体方差（,Varp,，除以,M,）、样本方差（,Var,，除以,M-1,），以及总体和样本标准差（分别为,Stdevp,和,Stdev,）。但是,Excel,并没有在协方差函数,Covar,中作此区分。你可以看到,B30,中,Covar,除以,M,，和,Varp,一样。如果你想得到一个相应的除以,M-1,的协方差函数，那么你得像单元格,B33,那样用,Covar,乘以,，或者你需要使用像单元格,B32,那样的数组函数,=MMULT(TRANSPOSE(B3,：,B13-B16),，,C3,：,C13-C16)/10,。如果,Excel,是完全合理的，它应该有两个函数：,Covarp,，它除以,M,（对应,Varp,或,Stdevp,），以及,Covar,，它除以,M-1,（对应,Var,或,Stdev,）。,困惑了吗？没关系！正如该部分开始的教科书引用指出的那样，它不是一个至关重要的问题。,10.4,计算方差,-,协方差矩阵的其他方法,在这一节中，我们介绍两种替代计算方差,-,协方差矩阵的方法。第一种是使用一个,VBA,数组函数，它可以直接计算出样本方差,-,协方差矩阵。第二种是使用,Excel,的,Offset,函数。,一个计算方差,-,协方差矩阵的,VBA,函数,我们的第一种替代方法是用一个,VBA,函数：,我们的第一种替代方法是用一个,VBA,函数：,Function VarCovar(rng.Range)As Variant,Dim i As Integer,Dim j As Integer,Dim numCols As Integer,numCols=rng.Columns.Count,Dim matrix()As Double,ReDim matrix(numCols-1,numCols-1),For i=j To numCols,For j=1 To numCols,matrix(i-1,j-1)=,Application.WorksheetFunction.,Covar(rng.Columns(i),rng.Columns(j),Next j,VarCovar=matrix,End Function,这个函数是一个数组函数。（意味着它必须使用,Ctrl-Shift-Enter,）。下面有一个例子：,应注意以上,6,只股票的,GMVP,包含两个空头（,BA,和,MSFT,）且在,GE,及,IBM,上有一个非常大正向头寸。这是一个潜在的不主张使用样本方差,-,协方差矩阵计算,GMVP,的例子：一个寻找最小方差的投资者是不会将,77%,的,BA,和,10%,的,MSFT,的卖空得资金，投放到投资组合的,61%,的,GE,和,100%,的,IBM,上去的。这些用样本方差,-,协方差矩阵计算产生的不合理的投资组合使得我们必须寻找各种其他方法来计算该矩阵，它们将在节中讨论。但在进入这些主题之前，我们还是先讨论有效投资组合的计算。,该电子表中的行,16,给出了每只股票在数据的最后一天的市场价值（从,2004,年,1,月开始）。行,17,计算出以每项资产的市场权重为投资比例的投资组合。市场权重和有效投资组合权重之间有显著差别。,该电子表显示了另外两个利用样本方差,-,协方差矩阵优化配置投资组合所产生的问题。,第一个问题是，这个最优的投资组合包含了一些非常大的卖空和一些的不切实际的非常大的多头。在运行模拟运算表计算不同,c,值下的包络线投资组合时我们发现，整条有效前沿均含有非常大的空头和多头投资组合。被标注的部分显示出由,c,变化而导致的变动。只有,JNJ,在所有包络线组合中保持着正的权数。,如果我们认为通过这样的方式获得投资组合的比例是不合理的，那么在该优化过程中，不是方差,-,协方差矩阵出了问题，就是均值向量出了问题（甚至两者都是）。我们将在本章的节和第,13,章的,Black-Litterman,模型中再回到该主题上。,这个例子揭示的第二个问题与该样本方差,-,协方差矩阵不像真实的相关系数有关。在接下来的电子表中我们给出相关系数矩阵。在调查期内，最大的相关系数（通用汽车公司和波音公司之间）为,0.89,；检查该矩阵显示存在一些非常大且不像真实的相关系数：有,6,个相关系数大于,0.5,。这是难以置信的！最小的相关系数（波音公司和家乐氏之间）为,-0.1,，这也许也是一个问题：当波音公司的收益上升时，谷类食品销量会下降？,使用,Excel,中的数组函数（见第,35,章），我们可以计算,SIM,方差,-,协方差函数：,这个数组函数需要被单独提取出来：,它包含了一个,If,函数，我们知道它包括三部分：,IF,（,condition,，,answer if condition is,ture,，,answer if condition is false,）。,条件,B24,：,G24=A25,：,A30,表示在行,B24,：,G24,的“跨越输入”（它包含了一行股票名字）是和列向量,A25,：,A30,的输入相等。为了让大家更清楚地看到这个条件，我们在下面的电子表中插入了公式,IF,（,B24,：,G24=A25,：,A30,，,1,，,0,），可以发现它生成了一个对角线上为,1,，而其余为,0,的电子表：,首先，在我们的,SIM,方差,-,协方差矩阵中的第一个,IF,条件为,IF,（,B24,：,G24=A25,：,A30,，,B18,：,G18,，,）。这说明了假如我们在对角线上，我们应该放在资产的收益方差中。,其次，,IF,条件说明当不在对角线上时，我们应该输入,MMULT(TRANSPOSE(B20,：,G20),，,B20,：,G20)*H18,。公式,MMULT(TRANSPOSE(B20,：,G20),，,B20,：,G20),生成了一个,矩阵。该公式用,S&P500,的方差乘以该矩阵，在,H,列给出。,在电子表中我们通过该,6,只股票样本相关系数均值来确定该常数相关系数（单元格,B19,）。当然这是允许变化的：假如我们觉得股票平均相关系数在未来是,0.3,，那么可以从收益数据中直接估计出该方差,-,协方差矩阵。,目前很少理论涉及怎么选择合适的收缩估计。我们建议选择一个收缩因子使得,GMVP,所有权数均为正（详见下一节）。,GMVP,的平均收益为,12.73%,（单元格,F17,），标准差为,7.73%,（单元格,F19,）。,有一个更加简洁的计算方法：,这是一个更加简洁的方法，它借用了数组函数,IF(A14,：,A19=A14,：,A19,，,1,，,0),来计算,1,的向量。,用替代方差,-,协方差矩阵的方法计算,GMVP,在本节中我们用另外三种计算方差,-,协方差的方法来重复上面的计算。用单指数模型（,SIM,）我们得到下面,GMVP,：,当中最显著的变化并非,GMVP,的统计量，而是,GMVP,的组成，现在它全部由股票的正比例组成。,接下来的电子表中我们使用常数,-,相关系数矩阵：,使用收缩方差,-,协方差矩阵，我们得到以下结果：,我们使用了,Excel,的条件格式功能来标记所有的卖空投资组合。,