第2讲　整式及其运算

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,2,讲整式及其运算,(1),_,单项式和多项式,_,统称为整式,(2),单项式：由,_,数与字母,_,或,_,字母与字母,_,相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做,_,单项式的次数,_,，数字因数叫做,_,单项式的系数,_,(3),多项式：由几个,_,单项式相加,_,组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个,_,多项式的次数,_,，其中不含字母的项叫做,_,常数项,_,1,整式,2,整式运算,(1),整式加减：同类项：多项式中所含,_,字母,_,相同并且,_,相同字母的指数,_,也相同,的项，叫做同类项；整式加减的实质是合并同类项,(2),幂运算法则：,同底数幂相乘：,_,a,m,a,n,a,m,n,(m,，,n,都是整数,，,a0),_,；,幂的乘方：,_,(,a,m,),n,a,mn,(m,，,n,都是整数,，,a0),_,；,积的乘方：,_,(,ab),n,a,n,b,n,(n,是整数,，,a0,，,b0),_,；,同底数幂相除：,_,a,m,a,n,a,m,n,(m,，,n,都是整数,，,a0),_,(4),乘法公式：平方差公式：,_,(a,b)(a,b),a,2,b,2,_,；,完全平方公式：,_,(a,b),2,a,2,2ab,b,2,_,(3),整式乘法：,单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式,里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式；,单项式乘多项式：,m(a,b),_,ma,mb,_,；,多项式乘多项式：,(a,b)(c,d),_,ac,ad,bc,bd,_,(5),单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因子，对于只在被除,式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式，将这个多项,式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加,(1),整体思想：在进行整式运算或求代数式值时，若将注意力和着眼点放在问题的整体,结构上，把一些紧密联系的代数式作为一个整体来处理借助,“,整体思想,”,，可以拓,宽解题思路整体思想最典型的是应用于乘法公式中，公式中的字母,a,和,b,不仅可以表,示单项式，也可以表示多项式，如,(x,2y,z)(x,2y,z),x,(2y,z)x,(2y,z),x,2,(2y,z),2,x,2,4y,2,4yz,z,2,.,(2),数形结合思想：在列代数式时，常常能遇到另外一种类型的题，给你提供一定的图形，通过对图形的观察探索，搜集图形透露的信息，并根据相关的知识去列出相应的代数式；也能用图形验证整式的乘法和乘法公式,(3),观察、比较、归纳、猜想的数学思想：观察才能获取大量信息，成为智慧的源泉，比较才能发现信息的异同；通过归纳使共同点浮出水面，总结归纳的结果获得猜想、有所发现，这就是归纳的思想，也是数学发现的重要方法,1,(2013,宁波,),下列计算正确的是,A,a,2,a,2,a,4,B,2a,a,2,C,(ab),2,a,2,b,2,D,(a,2,),3,a,5,(,C,),2,(2013,嘉兴,),下列运算正确的是,A,x,2,x,3,x,5,B,2x,2,x,2,1,C,x,2,x,3,x,6,D,x,6,x,3,x,3,(,D,),3,(2012,南通,),已知,x,2,16x,k,是完全平方式，则常数,k,等于,A,64,B,48,C,32,D,16,(,A,),4,(2012,温州,),某校艺术班同学，每人都会弹钢琴或古筝，其中会弹钢琴的人数比会弹古筝的人数多,10,人,两种都会的有,7,人设会弹古筝的有,m,人,则该班同学共有,_,人,(,用含,m,的代数式表示,),_,2m,3,_,5,化简：,(1),(2013,台州,),(x,1)(x,1),x,2,；,原式,x,2,1,x,2,1.,(2)(2013,温州,)(1,a)(1,a),a(a,3),原式,1,a,2,a,2,3a,1,3a.,【,问题,】,(1),计算：,(a,3)(a,3),a(3a,2),(2a,1)2,；,(2),完成,(1),计算后回答：,此计算过程中，用到了哪些乘法公式和法则；,此计算过程中，要注意哪些问题,【,解析,】,(1)2a,10,；,(2),完全平方公式、平方差公式，去括号、合并同类项等；,去括号时，要注意变号等,【,归纳,】,复习实数相关概念、运算法则，以及要注意的问题,类型一幂的运算,例,1,下列运算正确的是,(,),A,a,3,a,3,2a,6,B,a,6,a,3,a,3,C,a,3,a,3,2a,3,D,(,2a,2,),3,8a,6,【,思路分析,】,利用整式运算的基本法则,，,分析每一项,，,判断选项正误：,a,3,a,3,2a,3,，,a,6,a,3,a,6,(,3),a,9,，,a,3,a,3,a,6,，,(,2a,2,),3,(,2),3,(a,2,),3,8a,6,，,A,、,B,、,C,选项错,，,D,选项正确,【,答案,】,D,【,解后感悟,】,(1),幂的运算法则是进行整式乘除法的基础，要熟练掌握，解题时要明确运算的类型，正确运用法则；,(2),在运算的过程中，一定要注意指数、系数和符号的处理,1,若,3,9,m,27,m,3,21,，则,m,的值是,A,3,B,4,C,5,D,6,(,B,),(,A,),类型二整式的加减运算,【,思路分析,】,去括号，合并同类项，原式,x,2,12,15x,14x,10.,【,答案,】,D,【,解后感悟,】,整式的加减，实质上就是，有括号的，先去括号只要算式中没有同类项，就是最后的结果,3,若,4x,a,y,x,2,y,b,3x,2,y,，则,a,b,_,3,_,类型三整式的混合运算,例,3,化简：,2(m,1)m,m(m,1)(m,1)m,m(m,1),若,m,是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？,【,思路分析,】,根据单项式乘以多项式法则先计算括号里的乘法，再去括号合并同类项，,即可算出结果,【,答案,】,2(m,1)m,m(m,1)(m,1)m,m(m,1),2(m,2,m,m,2,m)(m,2,m,m,2,m),8m,3,.,原式,(,2m),3,，,表示,3,个,2m,相乘的数,【,解后感悟,】,(1),对于整式的加、减、乘、除、乘方运算，要充分理解其运算法则，注,意运算顺序，正确应用乘法公式以及整体和分类等数学思想,(2),在应用乘法公式时，,要充分理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件,4,(2011,南通,),先化简，再求值：,(4ab,3,8a,2,b,2,)4ab,(2a,b)(2a,b),，其中,a,2,，,b,1.,【,答案,】,原式,2a(2a,b),，将,a,2,，,b,1,代入得,12.,类型四乘法公式,【,思路分析,】,根据整式的乘法法则，用其中一个多项式的每一项乘另一个多项式的每,一项，再把所得的积相加；单项式乘多项式，可以按照乘法分配律进行；最后再根据,合并同类项法则进行整式加减运算,【,解后感悟,】,对于整式乘法运算，能用乘法公式要充分运用公式；在应用时，要充分,理解乘法公式的结构特点，分析是否符合乘法公式的条件,5,(1),(2013,绍兴,),化简：,(a,1),2,2(a,1),；,【,答案,】,原式,a,2,2a,1,2a,2,a,2,3.,(2),(2013,台州,),化简：,(x,1)(x,1),x,2,.,【,答案,】,原式,x,2,1,x,2,1.,类型五整式运算的应用,例,5,(2012,宁波,),用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：,(1),第,5,个图形有多少颗黑色棋子？,(2),第几个图形有,2013,颗黑色棋子？请说明理由,【,思路分析,】,(1),根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；,(2),根据,(1),所找出的规律，列出式子，即可求出答案,【,答案,】,(1),第一个图需棋子,6,颗，,第二个图需棋子,9,颗，,第三个图需棋子,12,颗，,第四个图需棋子,15,颗，,第五个图需棋子,18,颗，,第,n,个图需棋子,3(n,1),颗,答：第,5,个图形有,18,颗黑色棋子,(2)3(n,1),2013,，,n,670.,【,解后感悟,】,解决整式的规律性问题应充分发挥数形结合的作用，从分析图形的结构入手，分析图形结构的形成过程，从简单到复杂，进行归纳猜想，从而获得隐含的数学规律，并用代数式进行描述,6,小敏将一张直角边为,1,的等腰直角三角形纸片,(,如图,1),，沿它的对称轴折叠,1,次后得,到一个等腰直角三角形,(,如图,2),，再将图,2,的等腰直角三角形沿它的对称轴折叠后得到,一个等腰直角三角形,(,如图,3),，则图,3,中的等腰直角三角形的一条腰长为,_,_,；同上,操作，若小敏连续将图,1,的等腰直角三角形折叠,n,次后所得到的等腰直角三角形,(,如图,n,1),的一条腰长为,_,_.,【,感悟,】,本题需要先通过阅读掌握新定义方法，再利用类似方法解决问题关键是观察问题，分析问题，解决问题的能力,幂的运算的常见错误,【,试题,】,计算,(1)x,3,x,5,;(2)x,4,x,4,;(3)(a,m,1,),2,;(4)(,2a,2,b),2,;(5)(m,n),6,(n,m),3,.,【,分析,】,学生错误,(1)x,3,x,5,x,3,5,x,15,；,(2)x,4,x,4,2x,4,；,(3)(a,m,1,),2,a,2m,1,；,(4)(,2a,2,b),2,2,2,a,4,b,2,；,(5)(m,n),6,(n,m),3,(m,n),6,3,(m,n),3,.,每种幂的运算法则不同，应分清问题所对应的基本形式，以便合理应用法则；还有符号的处理，应当特别引起重视,【,正解,】,(1)x,3,x,5,x,3,5,x,8,；,(2)x,4,x,4,x,4,4,x,8,；,(3)(a,m,1,),2,a,(m,1),2,a,2m,2,；,(4)(,2a,2,b),2,(,2),2,a,4,b,2,4a,4,b,2,；,(5)(m,n),6,(n,m),3,(n,m),6,(n,m),3,(n,m),3,.,