2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题6-5 数列的综合应用

专题6.5 数列的综合应用【考情分析】1.理解等差数列、等比数列的概念，掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用。2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系。3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题。【重点知识梳理】知识点一 等差数列和等比数列比较等差数列等比数列定义常数常数通项公式判定方法(1)定义法；(2)中项公式法：为等差数列；(3)通项公式法：(为常数,) 为等差数列；(4)前n项和公式法：(为常数, ) 为等差数列；(5) 为等比数列，且，那么数列 (，且)为等差数列(1)定义法(2)中项公式法： () 为等比数列(3)通项公式法： (均是不为0的常数，)为等比数列(4) 为等差数列(总有意义)为等比数列性质(1)若，且，则(2) (3) ，仍成等差数列(1)若，且，则(2) (3)等比数列依次每项和()，即 ，仍成等比数列前n项和时，；当时，或.知识点二 数列求和1. 等差数列的前n和的求和公式：.2等比数列前n项和公式一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.3. 数列前n项和重要公式：（1） （2）（3） （4） 等差数列中，；等比数列中，.【典型题分析】高频考点一 数列在数学文化与实际问题中的应用【例1】(2020重庆八中模拟)某地区2018年人口总数为45万实施“二孩”政策后，专家估计人口总数将发生如下变化：从2019年开始到2028年，每年人口总数比上一年增加0.5万人，从2029年开始到2038年，每年人口总数为上一年的99%.(1)求实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式(注：2019年为第一年)；(2)若“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值超过49万，则需调整政策，否则继续实施，问到2038年结束后是否需要调整政策？(参考数据：0.99100.9)【解析】(1)由题意知，当1n10时，数列an是首项为45.5，公差为0.5的等差数列，可得an45.50.5(n1)0.5n45，则a1050；当11n20时，数列an是公比为0.99的等比数列，则an500.99n10.故实施“二孩”政策后第n年的人口总数an(单位：万人)的表达式为an(2)设Sn为数列an的前n项和从2019年到2038年共20年，由等差数列及等比数列的求和公式得S20S10(a11a12a20)477.54 950(10.9910)972.5.所以“二孩”政策实施后的2019年到2038年人口平均值为48.63，则49，故到2038年结束后不需要调整政策【方法技巧】数列实际应用中的常见模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定的数，则该模型是等差模型，这个固定的数就是公差(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，则该模型是等比模型，这个固定的数就是公比(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，则应考虑考查的是第n项an与第n1项an1的递推关系还是前n项和Sn与前n1项和Sn1之间的递推关系【变式探究】（2020安徽省铜陵中学模拟）我国古代数学名著九章算术中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺莞生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，莞草每天长高前一天的2倍问第几天蒲草和莞草的高度相同？”根据上述的已知条件，可求得第_天时，蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg 30.477 1，lg 20.301 0)【答案】3【解析】由题意得，蒲草的高度组成首项为a13，公比为的等比数列an，设其前n项和为An；莞草的高度组成首项为b11，公比为2的等比数列bn，设其前n项和为Bn.则An，Bn，令，化简得2n7(nN*)，解得2n6，所以n13，即第3天时蒲草和莞草高度相同。高频考点二等差数列与等比数列的综合问题【例2】(2018高考北京卷)设an是等差数列，且a1ln 2，a2a35ln 2.(1)求an的通项公式；(2)求ea1ea2ean.【解析】(1)设an的公差为d.因为a2a35ln 2，所以2a13d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.(2)因为ea1eln 22，eanan1eln 22，所以ean是首项为2，公比为2的等比数列所以ea1e a2ean22(2n1)2n12.【方法技巧】等差数列、等比数列综合问题的解题策略(1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差(公比)等，确定解题的顺序(2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于1的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的【变式探究】（2020江西省瑞昌市第二中学模拟）设公差不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a2，a5，a11成等比数列，且a112(SmSn)(mn0，m，nN*)，则mn的值是 .【解析】设等差数列an的公差为d(d0)，因为a2，a5，a11成等比数列，所以aa2a11，所以(a14d)2(a1d)(a110d)，解得a12d，又a112(SmSn)(mn0，m，nN*)，所以2ma1m(m1)d2na1n(n1)da110d，化简得(mn3)(mn)12，因为mn0，m，nN*，所以或解得或(舍去)，所以mn9.高频考点三 数列与函数、不等式的综合问题【例3】(2020湖北黄冈中学模拟)设函数f(x)，正项数列an满足a11，anf，nN*，且n2.(1)求数列an的通项公式；(2)对nN*，求证：2.【解析】(1)由anf，所以anan1，nN*，且n2，所以数列an是以1为首项，以为公差的等差数列，所以ana1(n1)d1(n1).(2)证明：由(1)可知4，Sn4()422，得证【方法技巧】数列与其他知识交汇问题的常见类型及解题策略(1)数列与函数的交汇问题已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法(2)数列与不等式的交汇问题函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到；比较方法：作差或者作商比较【变式探究】 (2020湖南岳阳一模)曲线yxln x(nN*)在x处的切线斜率为an，则数列的前n项的和为 【解析】对yxln x(nN*)求导，可得y，由曲线yxln x(nN*)在x处的切线斜率为an，可得ann.所以，则数列的前n项的和为1.【答案】【举一反三】(2020浙江杭州模拟)已知数列an，bn满足a11，且an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，则a5 ，b10 【解析】因为an，an1是函数f(x)x2bnx2n的两个零点，所以an，an1是方程x2bnx2n0的两个根，根据根与系数的关系，可得anan12n，anan1bn，由anan12n，可得an1an22n1，两式相除可得2，所以a1，a3，a5，成公比为2的等比数列，a2，a4，a6，成公比为2的等比数列，又由a11，得a22，所以a51224，a1022432，a1112532，所以b10a10a11323264.【答案】464