2020-2021学年高三数学一轮复习知识点专题4-1 任意角和弧度制及任意角的三角函数

专题4.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数【考情分析】1.了解任意角的概念；了解弧度制的概念2.能进行弧度与角度的互化3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.【重点知识梳理】知识点一 角的概念 1角的定义角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形2角的分类角的分类3终边相同的角所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合：S|k360，kZ或|2k，kZ知识点二 弧度制及应用 1弧度制的定义把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.2弧度制下的有关公式角的弧度数公式|(弧长用l表示)角度与弧度的换算1 rad；1 rad弧长公式弧长l|r扇形面积公式Slr|r2知识点三 任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么叫做的正弦，记作sin 叫做的余弦，记作cos 叫做的正切，记作tan 各象限符号三角函数线有向线段MP为正弦线有向线段OM为余弦线有向线段AT为正切线【典型题分析】高频考点一 象限角的判断【例1】（2020新课标）若为第四象限角，则（ ）A. cos20B. cos20D. sin20【答案】D【解析】当时，选项B错误；当时，选项A错误；由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；【方法技巧】象限角的两种判断方法图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角；转化法：先将已知角化为k360(0360，kZ)的形式，即找出与已知角终边相同的角，再由角终边所在的象限判断已知角是第几象限角【变式探究】（2020吉林省辽源市实验中学模拟）设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角【答案】B【解析】是第三象限角，2k2k，kZ，kk，kZ，的终边落在第二、四象限，又cos ，cos 0，是第二象限角高频考点二扇形的弧长及面积公式的应用【例2】（2020北京101中学模拟）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l.(1)若60，R10 cm，求扇形的弧长l；(2)已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角；(3)若扇形周长为20 cm，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【解析】(1)60rad，所以lR10(cm)(2)由题意得(舍去)或故扇形圆心角为rad.(3)由已知得l2R20，所以SlR(202R)R10RR2(R5)225，所以当R5 cm时，S取得最大值25 cm2，此时l10 cm，2 rad.【方法技巧】(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积的最大值时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形【变式探究】（2020 湖南衡阳八中模拟）已知扇形弧长为20 cm，圆心角为100，则该扇形的面积为 cm2.【答案】【解析】由弧长公式l|r，得r，所以S扇形lr20.高频考点三 三角函数的概念【例3】(2018浙江卷)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.(1)求sin()的值；(2)若角满足sin()，求cos 的值。【解析】(1)由角的终边过点P，得sin .所以sin()sin .(2)由角的终边过点P，得cos .由sin()，得cos().由()，得cos cos()cos sin()sin ，所以cos 或cos .【方法技巧】三角函数定义解题的技巧 (1)已知角终边上一点P的坐标，可求角的三角函数值先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解(2)已知角的某三角函数值，可求角终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值(3)已知角的终边所在的直线方程或角的大小，根据三角函数的定义可求角终边上某特定点的坐标(4)已知一角的三角函数值(sin ，cos ，tan )中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置注意终边在坐标轴上的特殊情况【变式探究】(2017北京卷)在平面直角坐标系xOy中，角与角均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称若sin ，则sin _。【解析】 (1)方法一当角的终边在第一象限时，取角终边上一点P1(2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角的终边上，此时sin ；当角的终边在第二象限时，取角终边上一点P2(2，1)，其关于y轴的对称点(2，1)在角的终边上，此时sin .综合可得sin .方法二令角与角均在区间(0，)内，故角与角互补，得sin sin .【答案】高频考点四 三角函数线的应用【例4】(2018北京卷)在平面坐标系中，是圆x2y21上的四段弧(如图)，点P在其中一段上，角以Ox为始边，OP为终边，若tan cos sin ，则P所在的圆弧是()A BC D【答案】C【解析】当点P在或上时，由三角函数线易知，sin tan ，不符合题意；当点P在上时，tan 0，sin 0，不符合题意；进一步可验证，只有点P在上时才满足条件。【方法技巧】利用三角函数线求解三角不等式的方法对于较为简单的三角不等式，在单位圆中，利用三角函数线先作出使其相等的角(称为临界状态，注意实线与虚线)，再通过大小找到其所满足的角的区域，由此写出不等式的解集【变式探究】（2020江苏省启东中学模拟）若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos 【答案】C【解析】如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin cos tan .